nbhkdz.com冰点文库

3.3导数在研究函数中的应用(教学设计)(2)


3.3 导数在研究函数中的应用(教学设计) (2) §3.3.2 函数的极值与导数 教学目标: 知识与技能目标: 了解函数在某点了取得极值的必要条件和充分条件,理解极大值、极小值的概念,掌握求可导函数的极值的步骤。 过程与方法目标: 多让学生举例,经历利用函数单调性求极值的过程,培养学生全面、准确的学习数学知识和方法的习惯,提升他 们分析问题和解决问题的能力。 情感、态度与价值观

目标: 通过在教学过程中让学生多动手、勤思考,使学生养成自主学习、积极参与探索的学习态度,体验应用数学知识解 决简单问题的乐趣。 教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程: 一、复习回顾: 1、求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

二.创设情景、新课引入: 观察图 3.3-8,我们发现, t ? a 时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数 h(t ) 在此点的导数是多少呢? 此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规律? 放大 t ? a 附近函数 h(t ) 的图像, 如图 3.3-9. 可以看出 h?( a ) ; t ? a , t ? a 时, 在 当 函数 h(t ) 单调递增, ?(t ) ? 0 ; h 当 t ? a 时,函数 h(t ) 单调递减, h?(t ) ? 0 ;这就说明,在 t ? a 附近,函数值先增( t ? a , h?(t ) ? 0 )后减( t ? a ,

h?(t ) ? 0 ) .这样,当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时, h?(t ) 先正后负,且 h?(t ) 连续变化,于是有 h?(a) ? 0 .

对于一般的函数 y ? f ? x ? ,是否也有这样的性质呢? 附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间 而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 三.师生互动,新课讲解: 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数
王新敞
奎屯 新疆

1

f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x) 的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着 它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1 是极大值点,
王新敞
奎屯 新疆

x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 )

王新敞
奎屯

新疆

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在 区间的内部,也可能在区间的端点 4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 , 且在 x0 的两侧 f (x) 的导数异号, x0 是 f (x) 的极值点,f ( x0 ) 是极值, 则 并且如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f (x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则

x0 是 f (x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值

王新敞
奎屯

新疆

5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值 的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右 不改变符号即都为正或都为负,那么 f(x)在这个根处无极值 如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

例 1(课本 P94 例 4)求 f ? x ? ? 解: 因为 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值 3

王新敞
奎屯

新疆

1 3 x ? 4 x ? 4 ,所以 3

f ' ? x ? ? x2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 。 f ' ? x ? ? 0, x ? 2, x ? ?2
下面分两种情况讨论: (1)当 f ' ? x ? >0,即 x ? 2 ,或 x ? ?2 时; (2)当 f
'

? x ? <0,即 ?2 ? x ? 2 时.
'

当 x 变化时, f

? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:
x
y?

? ??,2?
+

-2 0

(-2,2) -

2 0

? 2,???
+

2

y



极大值

28 3



极小值 ?

4 3



因此,当 x ? ?2 时, f ( x ) 有极大值,并且极大值为 f ( ?2) ? 当 x ? 2 时, f ( x ) 有极小值,并且极小值为 f (2) ? ? 函数 f ? x ? ?

28 ; 3

4 。 3

1 3 x ? 4 x ? 4 的图像如图所示。 3
y 1 f(x)= x3-4x+4 3

2 -2
O

x

例 2:求下列函数的极值. (1)y=x2-7x+6 (2)y=x3-27x (1)解:y′=(x2-7x+6)′=2x-7 令 y′=0,解得 x=

7 . 2
7? ? ? ??, ? 2? ?

当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表.

x
y?
y

7 2

?7 ? ? , ?? ? ?2 ?

- ↘

0 极小值 ?

+

25 4



∴当 x=

25 7 时,y 有极小值,且 y 极小值=- . 4 2

(2)解:y′=(x3-27x)′=3x2-27=3(x+3)(x-3) 令 y′=0,解得 x1=-3,x2=3. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表.

x
y?
y

? ??, ?3?
+ ↗

-3 0 极大值 54

(-3,3) - ↘

3 0 极小值-54

?3,???
+ ↗

∴当 x=-3 时,y 有极大值,且 y 极大值=54. 当 x=3 时,y 有极小值,且 y 极小值=-54
王新敞
奎屯 新疆

3

课堂练习: (课本 P96 练习:NO:1;2) 四、课堂小结,巩固反思 : 函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数 f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某 一点附近的小区间而言的,在整个定义区间可能有多个极值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为 0,但导数 为零的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 五.布置作业: A 组: 1、 (课本 P98 习题 3.3 A 组:NO:4)
王新敞
奎屯 新疆

2、 (课本 P98 习题 3.3 A 组:NO:5(1) (2) (4) (3) )

3、(tb6007401)求函数 f(x)=

2x ? 2 的极值。 x ?1
2

(答:当 x=-1,极小值:-3;当 x=1 时,极大值:-1)

4、(tb11505502)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且知当 x= -1 时,f(x)取得极大值 7;当 x=3 时,f(x)取得极小值,试求函 数 f(x)的极小值,并求 a,b,c 的值。 (答: a= -3;b= -9;c=2) B 组: 1、(tb11505501)已知函数 f(x)= ax3+bx2+cx (a ? 0)在 x= ? 1 时取得极值,且 f(1)= -1, (1)求 a,b,c 的值; (2)试判断 f(x)的极大值、极小值分别是多少? (答: (1)a=

1 3 ,b=0,c ? ;(2)当 x=-1 时有极大值:1,当 x=1 时有极小值:-1) 2 2

2、(tb11505503)已知函数 f(x)=ax3+bx2-2x 在 x= -2 和 x=1 处取得极值。 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调区间。 (答:(1)f(x)=

1 3 1 2 x ? x ? 2x ; (2)增区间:(- ? ,-2),(1,+ ? ),减区间:(-2,1) ) 3 2

3、(tb4908505)已知函数 f(x)=x3+bx2-3x 在 x ? ?1 时有极值。 (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程。 (答: (1)f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值; (2)切点(-2,-2) ,切线方程:9x-y+16=0)

C 组: 1、(tb11505801)直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有三个相异的交点,求 a 的取值范围。 (答:-2<a<2)

4


3.3导数在研究函数中的应用(教学设计)(2)

3.3 导数在研究函数中的应用(教学设计) (2) §3.3.2 函数的极值与导数 教学目标: 知识与技能目标: 了解函数在某点了取得极值的必要条件和充分条件,理解极大...

3.3导数在研究函数中的应用2

3.3导数在研究函数中的应用2_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 3.3导数在研究函数中的应用2_高三数学_数学_高中教育_教育...

3.3导数在研究函数中的应用(教学设计)(3)

3.3 导数在研究函数中的应用(教学设计) (3) §3.3.3 函数的最大(小)值...导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)...

3.3导数在研究函数中的应用(教学设计)(1)

3.3 导数在研究函数中的应用(教学设计) (1) §3.3.1 函数的单调性与导数(2 课时) 教学目标: 知识与技能目标: 在观察、探索的基础上,归纳出函数的单调性...

3.2导数在研究函数中的应用(一)

高三数学学案 第章 导数及其应用函数的单调性 §3.2 导数在研究函数中的应用(一) 一、内容提要 1、设函数 f ( x ) 在区间 A 内可导,则(1)如果在 A...

3.3《导数在研究函数中的应用》习题

3.3导数在研究函数中的应用》习题_数学_高中教育_教育专区。导数在研究函数...∞) 内为单调函数的是( 1.下列函数在 (?∞,A. y ? x 2 ? x C. y...

选修2-2 3.3 导数在研究函数中的应用

选修2-2 3.3 导数在研究函数中的应用_数学_高中教育_教育专区。选修 2-2 3.3 导数及其应用一、选择题 1.函数 f ( x) ? ?2?x? 的导数是(C 2 ) ...

1.3导数在研究函数中的应用 教学设计 教案

1.3导数在研究函数中的应用 教学设计 教案。教学准备 1. 教学目标(1)理解极大值、极小值的概念. (2)能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. (...

1.3导数在研究函数中的应用 教学设计 教案

1.3导数在研究函数中的应用 教学设计 教案。教学准备 1. 教学目标(1)使学生理解函数的最大值和最小值的概念,能区分最值与极值的概念 (2)使学生掌握用导数求...