nbhkdz.com冰点文库

4.函数的定义域和值域


第二章 函数
2.1 函数及其表示 (二课时)

一.定义域问题
1、函数的定义域: 要使函数有意义的自变量x的取值的集合。 求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零的零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 (5)正切函数 x

? ? ? k? (k ? Z )
2

如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的,那么 它的定义域是由各基本函数定义域的交集。

2.复合函数定义域:

(1)已知f(x)的定义域为 x ? ?a, b? ,其复合函数

f ?g ( x)? 定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出。

(2)已知f(g(x))的定义域是[a,b],求f(x)的定义域,求 f(h(x))的定义域 是指: f(g(x))的定义域是[a,b]是指a≤x≤b,则 m ≤ g(x) ≤ n,[m,n]才是所求的f(x)的定义域; 则m ≤ g(x) ≤ n,即m ≤ h(x) ≤ n,求出的x才是f(h(x)) 的定义域 3.求函数的定义域的步骤 (1)写出函数式有意义的不等式(组) (2)解不等式(组) (3)写出函数的定义域(用集合表示)

例 1 求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?

0 ( x ? 1) 2 4 ? x ? 1; (2) f ( x ) ? . | x | ?x

(1)要使函数有意义,必须满足
2 ? 4 ? x ≥ 0, ? 即 ? 3 ≤ x ≤ 3, ?2 ≤ x ≤ 2. ? 2 4 ? x ≥ 1, ? ? ?该函数的定义域为[? 3, 3]. (2)要使函数有意义,必须满足

? x ? 1 ? 0, ? x ? ?1, ?? ? ?| x | ? x ? 0, ? x ? 0,

?该函数的定义域为 ( ??, ?1) ? ( ?1,0).

回顾反思
1. 求解步骤:

(1)列出使函数有意义的不等式或者不等式组;
(2)解得到的不等式或不等式组; (3)用集合或者区间表示解集. 2. 思维误区:定义域应该用集合或者区间表示.

例 2 已知函数 y ?
2

f ( x ) 定义域为 [0,1],求函

4 数 y ? f ( x ) ? f ( x ? ) 的定义域. 3
? 0 ≤ x 2 ≤ 1, 1 ? 解得 ?1 ≤ x ≤ - . 解 由题意 ? 4 3 ? 0 ≤ x ? 3 ≤ 1, ? 1 ?定义域为[?1, - ]. 3

例 3 已知函数 y ? 函数

f ( x ) 的定义域为[0,1], 求

y ? f ( x ? a ) ? f ( x ? a )(a ? 0) 的定义域.

? 0 ≤ x ? a ≤ 1, ? ?a ≤ x ≤ 1 ? a, 解 由题意, ? 即? ? 0 ≤ x ? a ≤ 1, ?a ≤ x ≤ 1 ? a.

? a ? 0,??a ? a,1 ? a ? 1 ? a. 1 1 当1 ? a ? a, 即 a ? 时, x ? ; 2 2 1 当1 ? a ? a, 即 a ? 时, a ≤ x ≤ 1 ? a; 2 1 当1 ? a ? a, 即 a ? 时,解集为 ? , 2 此时该函数不存在. 1 综上所述,当 0 ? a ≤ 时,函数 f ( x )的定义 2 域为[a ,1 ? a ].

练习:

已知函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数
f (x ) g ( x) ? 1 ? lg( x ? 1) 的定义域为_____.
? ? 9? 9 ? ? 答案: -1,-10?∪?-10, 2? ? ? ? ? ? ? ? ?

2

?- 2≤x≤ 2 0≤x2≤2 ? ?x>-1 ? 解析:由?x+1>0 ,得? ? ?x≠- 9 ?1+lg?x+1?≠0 10 ?
9 9 ∴-1<x<- 或- <x≤ 2. 10 10
? 9? ? 9 ? 故函数g(x)的定义域为?-1,- ?∪?- , 2?. 10? ? 10 ? ?

二.值域问题

1.求函数值域的方法 ①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围 ②二次函数法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域 ③反函数法:将求分式函数的值域转化为求它的反函数的 定义域(也可用分离常数法解) ④判别式法:运用方程思想,依据二次方程有实根,求出 y的取值范围; ⑤换元法:运用代数或三角代换,将所有函数化成值域 容易确定的另一个函数,从而求得原函数的值域 ⑥单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑦不等式法:利用基本不等式求值域; ⑧图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域 ⑨求导法:当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求 最值,再得值域; ⑩几何意义法:由数形结合,转化斜率、距离等求值域。

2.基本初等函数的值域

1) y ? kx ? b( k ? 0)
k 3) y ? ( k ? 0) xx

2) y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

4) y ? a (a ? 0且a ? 1)

5) y ? loga x(a ? 0且a ? 1)

6) y ? sinx, y ? cos x, y ? tan x

题型举例(一)求基本函数的值域
1.数形结合法
?a,a≥b, 例 1.对 a,b∈R,记 max|a,b|=? 函数 ?b,a<b.

f(x)=max||x+1|,|x-2||(x∈R)的值域是________.
?|x+1|,x≥1, ? 2 [解析] f(x)=? ?|x-2|,x<1 2, ?

[答案]

? ? ? ?

? 3 ? ,+∞ ? 2 ?

? 3 由图象知函数的值域为 2,+∞? ?.

? ? ?

例 2.求函数 y= ? x+32 ? +16+ ? x-52 ? +4的值域为______.
解析:函数y=f(x)的几何意义为:平面内一点P(x,0)到两点A(-3, 4)和B(5,2)距离之和.由平面几何知识,找出B关于x轴的对称点 B′(5,-2).连接AB′交 x轴于一点 P即为所求的点,最小值 y= |AB′| = 82+62=10.

即函数的值域为[10,+∞).

? 答案:[10,+∞)

2.判别式法 a1x2+b1x+c1 对于形如 y= 2 (a ,a2 不同时为零)的函数求值域,通常 a2x +b2x+c2 1 把其转化成关于 x 的一元二次方程,由判别式 Δ≥0,求得 y 的取值 范围,即为原函数的值域. x2-x 例 2.(1)求函数 y= 2 的值域为________. x -x+1
[解析] 解法一 (配方法)

? 1? 1 3 3 ? 2 2 ∵y=1- 2 ,又 x -x+1=?x-2? + ? 4≥4, x -x+1 ? ? ? 1 ? 1 4 1 ? ∴0< 2 ≤3,∴-3≤y<1.∴函数的值域为?-3,1? ?. x -x+1 ? ?

解法二 (判别式法) x2-x 由 y= 2 ,x∈R,得(y-1)x2+(1-y)x+y=0. x -x+1 ∵y=1 时,x∈?,∴y≠1. 又∵x∈R,∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,
? 1 ? 1 ? ∴-3≤y<1.∴函数的值域为?-3,1? ?. ? ?

[答案]

? ? ? ?

1 ? -3,1? ? ?

mx2+4 3x+n (2).已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为-1, x2+1 则 m+n 的值为( A.-1 ) B.4 C .6 D.7

解析:函数式可变形为(y-m)x2-4 3x+(y-n)=0,x∈R,由已知得 y-m≠0, 所以 Δ=(-4 3)2-4(y-m)· (y-n)≥0,即 y2-(m+n)y+(mn-12)≤0,① 由题意,知不等式①的解集为[-1,7],则-1、7 是方程 y2-(m+n)y+(mn-12)=0
?1+?m+n?+mn-12=0, 的两根,代入得? ?49-7?m+n?+mn-12=0, ?m=5, ?m=1, 解得? 或? 所以 m+n=6. n = 1 n = 5. ? ?

答案:C

3.换元法

例3.求下列函数的值域
(1) y ? 2x ? 1 ? 2x

换元法,化为二次函数

(2) y=sinx+cosx+sinxcosx 换元法,化为二次函数 (3) y ? x ? 1 ? x 2

三角换元法

y? ax ? b ? cx ? d 的函数可令 cx ? d ? t (t ? 0) , 形如: 2 则 x ? t ? d 转化为关于t的二次函数求值,注意t范围 c
形如含有 a 2 ? x 2 的结构的函数,可用三角换元 ] 令 x=acosθ( θ∈ [0, ? )求解。

2 3 ? 2 x ? x ? 0, 得 ? 1 ? x ? 3. 解:①配方法:由

? y ? 4 ? ? ( x ? 1) 2 ? 4 ,? 当 x

? 1 时, ymin ? 4 ? 2 ? 2 .

当 x ? ?1 或 3 时, y max ? 4 .
1 ? 2t 2 ②换元法:令 t ? 1 ? 2x (t ? 0) ,则 x ? 2

1 1 5 5 3 t? ? y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? y ? x? max 2即 2 4 ,? 当 4 ,无最小值. 8 时,

(3)三角换元法:函数的定义域是 {x | ?1 ? x ? 1} ,设
x ? sin t ,?
?

?
2 ?

?t?
?

?

2 ,则 y ? x ?
?

1? x2

化为

y ? sin t ? cos t , y ? 2 sin( t ?

?
4

).

3? ?? ? t ? ?? ? t ? ? 2 2 4 4 4

,

??

2 ? ? sin(t ? ) ? 1 ? ?1 ? y ? 2 , ? 原来的函 2 4

数的值域是 [?1, 2 ] .

4. 其它方法
例 4.求下列函数的值域. (1)y=x2+2x(x∈[0,3]); 4 (2)y=x+x(x<0);

2x (3) y ? x 4 ?1
(4) y ? x ?5
2

x2 ? 4

4sin x ? 1 (5) y ? 2 cos x ? 4

[解答] (1)(配方法)y=x2+2x=(x+1)2-1, ∵y=(x+1)2-1在[0,3]上为增函数, ∴0≤y≤15,即函数y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].
? ? 4 4 ? (2)(基本不等式法)∵x<0,∴x+x=-? ?-x- ?≤-4, x? ?

当且仅当 x=-2 时等号成立.∴y∈(-∞,-4]. 4 ∴函数 y=x+x(x<0)的值域为(-∞,-4].

(3)由

2x y? x ? 4 ?1

1 2x ? 1 2x

?

1 2 2x ? 1 2x

?

1 2

1 ?0 ? y ? y ? 0 又 . 2

?

1 (0, ] 函数的值域为 2

(4)

y?

x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

2 令 t ? x ? 4 ? 2 ,故不能使用

不等式,但是
?y ? 2?

y?t?

1 t在

t ? 1 时为增函数.

5 1 5 [ ,?? ) ? 2 2 .?函数的值域为 2

4 sin x ? 1 (5)? y ? 2 cos x ? 4 , x ? R
? 2 y cos x ? 4 sin x ? 4 y ? 1 ? sin(x ? ? ) ? 4y ?1 16 ? 4 y 2

?| sin(x ? ? ) |? 1
2

? |

4y ?1 16 ? 4 y
2

|? 1

平方整理得

12y ? 8 y ? 15 ? 0 故

y max ?

3 5 y min ? ? 2 6,

练习. x-3 (1)函数 y= 的值域为________. x+1 (2)在实数的原有运算中,我们定义新运算“⊕”如下:当 a≥b 时, a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2.设函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x), x∈[-2,2],则函数 f(x)的值域为________.

x-3 x+1-4 4 解析:(1)y= = =1- , x+1 x+1 x+1 4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈ R,y≠1}.
?x-2,x∈ [-2,1], (2)由题意知 f(x)=? 3 ?x - 2,x∈ ?1,2],

当 x∈ [-2,1]时,f(x)∈ [-4;-1]; 当 x∈ (1,2]时,f(x)∈ (-1,6], 即当 x∈[-2,2]时,f(x)∈[-4,6].

? 答案:(1){y|y∈R,y≠1}

(2)[-4,6]

(二)求复合函数的值域
例 5.(1)已知函数
?3 4 ? , ? f ( x) 的值域是 ? ? 8 9 ? ,则函

数 y ? f ( x) ? 1? 2 f ( x) 的值域是

3 4 ?3 4 ? 解:由于 f ( x) 的值域为 ? , ? ,即 ? f ( x) ? ,于是 8 9 ?8 9 ? 1 1 1 1 ? 1 ? 2 f ( x) ? ,令 1 ? 2 f ( x) ? t ( ? t ? ) , 9 4 3 2 1 1 1 2 2 2 则 f ( x) ? (1 ? t ) ? y ? (1 ? t ) ? t ? ? (t ? 1) ? 1 2 2 2





1 7 1 7 ?1 1 ? 1? ? , ? ,则 t ? 时, y 有最小值为 ;当 t ? 时, y 有最大值 , 3 9 2 8 ?3 2 ?

?7 7? ? y 的值域为 ? , ? ?9 8?

(2) 求函数 y ? 2 的值域。

x?5

? log3 x ?1 (2 ? x ? 10)

x ?5 y ? 2 , y 2 ? log3 x ? 1 解:令 1

则 y 1 , y 2 在[2,10]上都是增函数 所以 y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数

当 x=2 时,

y min ? 2

?3

? log3

1 2 ?1 ? 8

5 y ? 2 ? log3 9 ? 33 当 x=10 时, max

?1 ? ? 8 ,33? ? 故所求函数的值域为: ?

(三)已知函数的值域,求字母的 取值范围或值
例 6.已知函数 2 2 f(x)= (1-a )x +3(1-a)x+6. 若 f(x)的值域为[0,+∞),求实数 a 的取值范围.

∵函数 f(x)的值域为[0,+∞), ∴函数 g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 取一切非负实数,∴ 2 ? 1 - a >0, ?
? 2 2 ?Δ=9(1-a) -24(1-a )≥0 ? ? ?-1<a<1, 5 ? ? ?-1<a≤- . 11 ? ?(a-1)(11a+5)≥0

当 a=-1 时,f(x)= 6x+6的值域为[0,+∞),符合题目要 5? ? 求.故所求实数 a 的取值范围为 -1,-11 . ? ?

变式: 设

?x2,|x|≥1, ? f(x)=? g ( x ) 是二 ? ?x,|x|<1,

次函数,若 f[g(x)]的值域是[0,+∞), 则 g(x)的值域是( ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞)

解: 画出 f(x)的图象, 由 f[g(x)] 的值域为[0,+ ? ),得 g(x)的值 域为(-∞,-1]∪[0,+ ? ),且 g(x) 为二次函数,其值域应不包 含(-∞,-1],得 g(x)的值域为 [0,+∞). 故选 C.

5.与函数定义域、值域有关的参数问题

例 7.(1)若函数 f(x)= lg( x ? 2ax ? a) 的定义域为 R,
2

则 a 的取值范围为________.

变式:若函数f(x)的值域为R,则a的取值范围如何?

(2) 若函数 的定义 域用 D 表示,则使 f ( x) ? 0 对 x ?D 均成立的 实数 k 的范围是________

(k ? 1) x 2 ? (k ? 3) x ? (2k ? 8) f ( x) ? (2k ? 1) x 2 ? (k ? 1) x ? (k ? 4)

练习: 1 (2014 年石家庄模拟)若函数 f(x)= 的定义域为: log3? 2 x+c?
? ? ? ?

1 ? ,1? ∪(1,+∞),则实数 c 的值等于( 2 ? ? B.-1 C.-2

) 1 D.- 2

A .1

解析:由2x+c>0且log3(2x+ c)≠0, 1- c c 得 x>- 且 x≠ . 2 2
?1 ? 又f(x)的定义域为? ,1?∪ (1,+∞), ?2 ?

1- c ∴ =1.∴ c=-1. 2

? 答案:B

例8.甲乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 c 千米 / 时,已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分 与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b,固定 部分为a元, ①把全程运输成本y元表示为速度v(千米/时)的函数, 并指出这个函数的定义域, ②为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

解:①由题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程成本为:
y ? a? S S a ? bv 2 ? ? S ( ? bv ) v v v
? y ? S( a ? bv ) v
ab

S v



v ? (0, c ]

? bv ) ? 2 S ① 由题意知 S、a、b、v 都为正数,故有 S ( a v

,当且仅



a ? bv即v ? v

a b

时“=”成立。若
a ?c b

a ? c则v ? b

a b

时,全程运输成 c] 时 有

本 最 小 ; 若
S(



v ∈ (0,

a a 1 1 S ? bv ) ? S ( ? bc ) ? S [a ( ? ) ? b(v ? c)] ? (c ? v)( a ? bcv ) v c v c vc
2

? c ? v ? 0且a ? bc

? a ? bcv ? a ? bc ? 0 ? S (
2

a a ? bv ) ? S ( ? bc ) v c

∴当且仅当 v=c 时“=”成立即 v=c 时全程运输成本最小; 综上所述:当
a ? c时v ? b a b

时,全程运输成本最小;当

a ?c时 b

v=c 时全程运输成本最小。


函数的定义域和值域4

函数的定义域和值域4_数学_高中教育_教育专区。教学设计方案 XueDa PPTS Learning...注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。函数定义域是研究...

函数定义域和值域的求法

4. 函数 y= x2 的定义域是___,值域是___. x2 ? 1 [答案]R, [0,1) [解析]定义域是 R.当 x=0 时,y=0;当 x≠0 时, y? x2 1 1 ? ....

课时作业4 函数的定义域与值域

课时作业 4 1.函数 f(x)= 3x-x2的定义域为( B.[0,3] ). 函数的定义域与值域 D.(0,3) ? 3? A.?0, ? ? 2? C.[- 3,0] 2.若函数 y=...

第4讲函数的定义域和值域

内部资料,请勿外传 第 4 讲 定义域和值域一、定义域 [基本知识] 1.求具体函数的定义域. 2.求抽象函数的定义域. 3.函数定义域的逆向问题. [典型例题]例 1...

考点4 函数的定义域、值域

考点4 函数的定义域值域_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档考点4 函数的定义域值域_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...

第4讲:函数的定义域、值域与分段函数

第4讲:函数的定义域值域与分段函数_数学_高中教育_教育专区。第四讲一.扎实基础 1,函数 y ? A.(0,1) 函数的定义域值域与分段函数 x ln(1 ? x) ...

函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

图像左右平移没有改变函数的值域 二、例题分析: (一)函数的定义域 1.据解析式求定义域 例 1. (1) 《名师一号》P13 对点自测 1 4 (2014· 山东) 函数 ...

4函数的定义域、值域

2012 高考第一轮总复习定义域值域、 第 4 讲:定义域值域、最值高考要求 掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法) ;掌握二次函数值域(最值)...

函数值域定义域值域练习题

2 +3 的值域为[1,7],则 x 的取值范围是( ) A.[2,4] B.(﹣∞,0)...若函数 f(x)=x ﹣2ax+b(a>1)的定义域与值域都是[1,a],则实数 b= ...