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青阳中学2016届高三数学周末检测 2015.11.29

时间:2015-12-03


青阳中学 2016 届高三数学周末检测
一.填空题 1. 复数 z ? i (其中 i 是虚数单位)的虚部为 2?i .

2015.11.29
开始

2 5 8 . 3

? 1 x ?1 ? ( ) , x ? 0, 2.已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f (1 ? log 2 3) =

? ? f ( x ? 1), x ? 0,
3.如图是计算 ?
k ?1 10

S ? 0, n ?1

n<a Y
S ?S?1 n
n?n?2

N

1 的值的一个流程图,则满足条件的最大正整数 a 2k ? 1

的值是 4.若 f ( x ) ? kx 则 k ? a 的值为
?a
2

.21
a ? R )为幂函数,且 f ( x ) 的图象过点(2,4) (k, ,

输出 S

. ?3

结束

5.已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 和 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 ,则 l1 / / l2 的充要 条件是 a ? .?1

A1 B1 D

C1

AB ? 2 , 6. 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D 为棱 AA 若 AA 1 的中点. 1 ?4,
则四棱锥 B ? ACC1D 的体积为 7.下列说法中正确的个数为 .2 .2 3

A B

C

①命题: “若 a ? 0 ,则 a 2≥0 ”的否命题是“若 a≥0 ,则 a 2 ? 0 ” ; ②若复合命题“ p ? q ”为假命题,则 p, q 均为假命题; ③“三个数 a , b, c 成等比数列”是“ b ? ac ”的充分不必要条件; ④命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 8.将函数 y ? sin ? x (? ? 0) 向左平移
y 1

? 个单位,平移后的图像如图所示, 6 ? 则平移后图像所对应的函数解析式为 . y ? sin( 2 x ? ) 3 9.正方形 ABCD 的中心为(3,0) ,AB 所在直线的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,
则正方形 ABCD 的外接圆的方程为______________. ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 10

7π 12 O x

-1

第6题图

10. 在锐角△ ABC 中, 若 tan A ,tan B ,tan C 依次成等差数列, 则 tan A tan C 的值为
11. 已知数列 {an } 满足 a1

. 3

? a2 ? 1 ,

an ? 2 an ?1 ? ? 1,则 a6 ? a5 的值为 an ?1 an

.96

2 2 12.已知正实数 a , b 满足 9a + b = 1 ,则

ab 的最大值为 3a + b



2 12

3 ? ? x ,x≤a , 13.设函数 f ( x ) ? ? 2 若存在实数 b ,使得 g ( x ) ? f ( x ) ? b 有两个零点,则实数 a 的 ? ? x ,x ? a.

取值范围是

. (??,0) ? (1,??)

14 . 如 图 ,

是直线上三点, =________. ?

?BPC ? 30? ,则
二.解答题

是 直 线 外 一 点 , AB ? BC ? 1 , ?APB ? 90? , P 4

7

300 C

A ??? B ? ???? 15. (本题满分 14 分)在直角坐标系 xoy 中,不共线的四点 A, B, C , D 满足 AB ? DC ,且

??? ? ??? ? AC ? (1, 2) , DB ? (3, 4) , ??? ? ???? 求: (1) AB , AD 的坐标; (2)四边形 ABCD 的面积.

16. (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 P—ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ?BAC ? 60? , E,F 分别是 AP,AC 的中点,点 D 在棱 AB 上,且 AD ? AC . 求证: (1) EF // 平面 PBC; (2)平面 DEF ? 平面 PAC. 证: (1)在△PAC 中,因为 E,F 分别是 AP, AC 的中点,所以 EF // PC.???2 分 又因为 EF ? 平面 PBC, PC ? 平面 PBC, 所以 EF // 平面 PBC.??????5 分 (2)连结 CD.因为 ?BAC ? 60? , AD ? AC , 所以△ACD 为正三角形. A D B P

E F

C

因为 F 是 AC 的中点,所以 DF ? AC .???????????????7 分 因为平面 PAC ? 平面 ABC, DF ? 平面 ABC,平面 PAC I 平面 ABC ? AC , 所以 DF ? 平面 PAC. ??????????????????????11 分 因为 DF ? 平面 DEF,所以平面 DEF ? 平面 PAC.??????????14 分

17. (本题满分 15 分)如图,河的两岸分别有生活小区 ABC 和 DEF ,其中 AB ? BC ,

EF ? DF , DF ? AB , C , E , F 三点共线, FD 与 BA 的延长线交于点 O ,测得 9 3 AB ? 3 km, BC ? 4km , DF ? km , FE ? 3km , EC ? km . 若以 OA, OD 所 4 2 x?b 在直线分别为 x , y 轴建立平面直角坐标系 xOy ,则河岸 DE 可看成是曲线 y ? x?a (其中 a , b 为常数)的一部分,河岸 AC 可看成是直线

y ? kx ? m (其中 k , m 为常数)的一部分.
(1)求 a, b, k , m 的值; (2) 现准备建一座桥 MN , 其中 M , N 分别在 DE , AC 上, 且 MN ? AC ,设点 M 的横坐标为 t . ①请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数关系式 l ? f (t ) , 并注明定义域; ②当 t 为何值时, l 取得最小值?最小值是多少?

y F M D N E C

O

A
第 17 题图

B

x

, ) , ( 3 E ,4 ) 17. 解: (1) 将 D (0

7 4

两点坐标代入到 y ?

x?b 中, x?a
????3 分

? 7 b ? ? ? 4 a 得? ,??2 分 3 ? b ?4 ? ? 3? a ?

解得 ?

?a ? ?4 . ?b ? ?7

3 ? 0? k?m ? 3 9 ? 2 再将 A( , 0), C ( , 4) 两点坐标代入到 y ? kx ? m 中,得 ? ,???4 分 2 2 ?4 ? 9 k ? m ? ? 2 4 ? ?k ? 解得 ? ????5 分 3. ? ?b ? ?2 4 (2)①由(1)知直线 AC 的方程为 y ? x ? 2 ,即 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . ???6 分 3 t ?7 ) ,则利用点到直线的距离公式, 设点 M 的坐标分别为 M (t , t?4 t ?7 | 4t ? 3 ? ?6| 1 9 t ? 4 ? | 4t ? ?9|, 得l ? ????8 分 2 2 5 t ?4 4 ?3 又由点 D, E 向直线 AC 作垂线时,垂足都在线段 AC 上,所以 0 ? t ? 3 ,

所以 l ? f (t ) ?

1 9 | 4t ? ?9 |,0 ? t ? 3. 5 t?4

????9 分

(2t ? 5)(2t ? 11) 9 ? 9, 0 ? t ? 3 ,因为 g ?(t ) ? , t ?4 (t ? 4) 2 5 11 所以由 g ?(t ) ? 0 ,解得 t ? 或 t ? (舍) , ????11 分 2 2 5 所以当 t ? (0, ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递增; 2 5 当 t ? ( , 3) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递减. 2 5 5 从而当 t ? 时, g (t ) 取得最大值为 g ( ) ? ?5 , ????13 分 2 2 5 即当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . ????15 分 2 方法二:因为 0 ? t ? 3 ,所以 1 ? 4 ? t ? 4 , 9 9 9 ? 9 ? 4(t ? 4) ? ? 7 ? 7 ? [4(4 ? t ) ? ] ????11 分 则 4t ? t ?4 t ?4 4?t 9 ? 7 ? 2 4(4 ? t ) ? ? 7 ? 2 ? 6 ? ?5 , 4?t 9 5 当且仅当 4(4 ? t ) ? ,即 t ? 时取等号, ????13 分 4?t 2 5 即当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . ????15 分 2 9 ? 9 ? 0, 方法三:因为点 M 在直线 AC 的上方,所以 4t ? t?4 1 9 ? 9) , 0 ? t ? 3 , 所以 l ? f (t ) ? ? (4t ? ????11 分 5 t ?4
② 方法一:令 g (t ) ? 4t ? 以下用导数法或基本不等式求其最小值(此略,类似给分). ????15 分 DE 相切, 方法四:平移直线 AC 至 AC 1 1 ,使得 AC 1 1 与曲线 则切点即为 l 取得最小值时的 M 点. ????11 分

3 3 4 x?7 5 ? ,且 0 ? t ? 3 ,解得 t ? , 13 分 由y? ,得 y ? ? ,则由 k ? 2 2 x?4 2 ( x ? 4) (t ? 4) 3 5 故当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . ??15 分 2

18. (本题满分 15 分) 已知圆 M 的方程为 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ?APB ? 60 ? ,试求点 P 的坐标; (2) 若 P 点的坐标为 (2,1) , 过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点 ,当 CD ?

2 时,求直线

CD 的方程;

(3)经过 A, P , M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不 经过,请说明理由.
2 2 解:(1)设 P(2m, m) ,由题可知 MP ? 2 ,所以 (2m) ? (m ? 2) ? 4 ,

解之得: m ? 0, m ?

4 8 4 , 故所求点 P 的坐标为 P(0, 0) 或 P ( , ) . 5 5 5

(2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,易知

k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的

距离为

2 2 ?2k ? 1 1 ,所以 , 解得, k ? ?1 或 k ? ? , ? 2 2 2 7 1? k

故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 . (3)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q ( m,

m ? 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆,
2 故其方程为: ( x ? m) ? ( y ?

m m ? 1) 2 ? m2 ? ( ? 1)2 2 2

化简得: x ? y ? 2 y ? m(2x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,故
2 2

? x? ?x ? 0 ? ? 解得 ? 或? ?y ? 2 ?y ? ? ?

4 5 2 5

所以经过 A, P , M 三点的圆必过异于点 M 的定点 ( , )

4 2 5 5

19. (本题满分16分)已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;

k 1 在 [ 2 , ?? ) 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围; x e 1 k ( 3 )是否存在实数 k ,使得对任意的 x ? ( , ??) ,都有函数 y ? f ( x) ? 的图象在 2 x x e g ( x) ? 的图象的下方?若存在,请求出最大整数 k 的值;若不存在,请说理由. x
(2)若函数 y ? f ( x) ? (参考数据: ln 2 ? 0.6931 , e ? 1.6487 ).
1 2

1 ,所以 f ?(1) ? 1 ,则所求切线的斜率为 1 , ??2 分 x 又 f (1) ? ln1 ? 0 ,故所求切线的方程为 y ? x ? 1 . .............4 分 k k k ?1 ? (2)因为 f ( x) ? ? ln x ? ,则由题意知方程 ln x ? ? 0 在 ? 2 , ?? ? 上有两个不同的根. x x x ?e ? k 由 ln x ? ? 0 ,得 ? k ? x ln x , ?????6 分 y x 1 令 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? ln x ? 1,由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? . 1 1 e e e O ? 1 1? 2 当 x ? ? 2 , ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; ? 1 e 1 e e ? ? 1 ? 1e ?1 ? 当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, 1 ?e ? 1 1 1 所以当 x ? 时, g ( x) 取得最小值为 g ( ) ? ? . ?????8 分 e e e 1 2 又 g ( 2 ) ? ? 2 , g (1) ? 0 (图象如右图所示) , e e 1 2 2 1 所以 ? ? ? k ? ? 2 ,解得 2 ? k ? . ?????10 分 e e e e k ex 1 (3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ? ? 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x x 1 即 k ? e x ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x 令 h( x) ? e ? x ln x ,则 h?( x) ? e x ? ln x ?1 , ?????12 分 1 x 令 r ( x) ? e x ? ln x ? 1,则 r ?( x) ? e ? , x 1 因为 r ?( x) 在 ( , ??) 上单调递增, 2 1 1 1 r ?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , r?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且 r ?( x) 的图象在 ( ,1) 上不间断, 2 2 1 1 x 所以存在 x0 ? ( ,1) ,使得 r?( x0 ) ? 0 ,即 e 0 ? ? 0 ,则 x0 ? ? ln x0 , 2 x0 1 所以当 x ? ( , x0 ) 时, r ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, r ( x) 单调递增, 2
19. 解: (1)因为 f ?( x) ?
2 2

x

则 r ( x) 取到最小值 r ( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ?
x

1 1 ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 ,?14 分 x0 x0

所以 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增.
1 1 1 1 1 1 2 所以 k ? h( ) ? e ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 2 所以存在实数 k 满足题意, 且最大整数 k 的值为 1 .

1 2

????16 分

20. (本题满分 16 分)己知数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,数列 ?bn ?是等比数列. (1)若 cn ? ? an?1 ? an ? bn (n∈N*) ,求证: ?cn ? 为等比数列; (2)设 cn ? anbn (n∈N*) ,其中 an 是公差为 2 的整数项数列, bn ? ?

? 12 ? ? ,若 ? 13 ? 且当 n ? 17 时, 求数列 ?an ? 的通项公式; ?cn ?是递减数列, c5 ? 2c4 ? 4c3 ? 8c2 ? 16c1 , ?a b ? a ? cn (3) 若数列 ?c n ?使得 ? n n ? 是等比数列, 数列 ?d n ?的前 n 项和为 n , 且数列 ?d n ? c c n ? n ? 1 ? dn ? M 满足:对任意 n ? 2 , n ?N*,或者 dn ? 0 恒成立或者存在正常数 M ,使 M 恒成立,求证:数列 ?c n ?为等差数列.

n

(1)证明: cn ? bn (an?1 ? an ) ,设 ?an ? 公差为 d 且 d ? 0 , ?bn ?公比为 q ,

?

cn?1 bn?1 (an? 2 ? an?1 ) bn?1 ? ? ? q =常数,??cn ? 为等比数列………3 分 cn bn (an?1 ? an ) bn

(2)由题意得: cn?1 ? 2cn 对 n ? 1, 2,3, 4 恒成立且 cn ? cn?1 对 ?n ? 17 恒成立, …5 分

? 12 ? cn ? an bn ? ? ? ? (2n ? t ) ? 13 ? ? 12 ? ?? ? ? 13 ?
?t ??
n n ?1

n

? 12 ? (2n ? t ? 2) ? 2? ? (2n ? t ) ? 14t ? 24 ? 28n 对 n ? 1,2,3,4 恒成立 ? 13 ?
………… ……7 分
n ?1

n

44 7

? 12 ? ? 12 ? ? ? (2n ? t ) ? ? ? ? 13 ? ? 13 ?
? t ? ?10
? ?10 ? t ? ?

(2n ? t ? 2) ? t ? 24 ? 2n 对 n ? 17 恒成立
………… ……9 分

44 而 t ? Z ? t ? ?9, ?8, ?7 7
………… ……10 分
n

? an ? 2n ? 7 或 an ? 2n ? 8 或 an ? 2n ? 9 .
ab A ?q ? n (3)证明:设 bn ? A q , n n ? A2 q2 ? an ? 2 ? 2 ? ? cn cn A1 ? q1 ?
n 1 1

不妨设

n A2 q Aq n cn ? cn ? A , 2 ? q ? an ? Aqn ? cn ? ? di ? ? Aq n ? 1 A1 q1 cn i ?1

即 d n ? A(q ? 1) q ? dn ? ? di ? ? di ? ? A(q ? 1) ? q n?1 (n ? 2) ,
i ?1 i ?1

n

n ?1

n ?1

(n ? 2 ) . ……13 分

若 q ? 1 ,满足 d n ? 0(n ? 2) , 若 q ? 1 ,则对任给正数 M,则 n 取 (log q

M , ??) 内的正整数时, A(q ? 1)

d n ? M ,与

1 ? d n ? M 矛盾. M

若 0 ? q ? 1 ,则对任给正数 T=

T 1 ? ?) 内的正整数时 ,则 n 取 (log q M A(q ? 1)

dn ? T =

1 1 ? d n ? M 矛盾. ,与 M M

? q ? 1 ,? an ? Acn 而 an 是等差数列,设公差为 d ? ,

? cn ?1 ? cn ?

1 d? (an ?1 ? an ) ? 为定值,? cn 为等差数列. A A

………… ……16 分


2015年11月29日932241815的高中数学组卷

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