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2013高中数学奥数培训资料之托勒密定理


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)
平面几何的几个重要定理--托勒密定理
托勒密定理:圆内接四边形中, 两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对 边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).
设四边形 ABCD 内接于圆,则有:

即:

AB ? CD ? AD

? BC ? AC ? BD ;

定理:在四边形

ABCD 中,有:

AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD ;

并且当且仅当四边形

ABCD 内接于圆时,等式成立

证:在四边形

ABCD 内取点 E ,使 ? BAE ? ? CAD , ? ABE ? ? ACD

则: ? ABE 和 ? ACD 相似 ? AB AC 又? AB AC ? BE CD ? AE AD 且 ? BAC ? ? EAD

A
? AB ? CD ? AC ? BE

D E

? ? ABC 和 ? AED 相似 ? BC AC ? ED AD ? AD ? BC ? AC ? ED

B

C

? AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? ( BE ? ED ) ? AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD 且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆时成立;

一、直接应用托勒密定理 例 1 如图 2,P 是正△ABC 外接圆的劣弧 上任一点

(不与 B、C 重合), 求证:PA=PB+PC.
1

分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁冗. 若借助托勒密定理论证,则有 PA·BC=PB·AC+PC·AB, ∵AB=BC=AC. ∴PA=PB+PC.

二、完善图形 借助托勒密定理 例 2 证明“勾股定理”: 在 Rt△ABC 中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2 证明:如图,作以 Rt△ABC 的斜边 AC 为一对角线的矩形 ABCD,显然 ABCD 是圆 内接四边形. 由托勒密定理,有 AC·BD=AB·CD+AD·BC. ① 又∵ABCD 是矩形, ∴AB=CD,AD=BC,AC=BD. ② 把②代人①,得 AC2=AB2+BC2. 例 3 如图,在△ABC 中,∠A 的平分 线交外接∠圆于 D,连结 BD,求证: AD·BC=BD(AB+AC). 证明:连结 CD,依托勒密定理, 有 AD·BC=AB·CD+AC·BD. ∵∠1=∠2,∴ BD=CD. 故 AD·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC). 三、构造图形 借助托勒密定理 例 4 若 a、b、x、y 是实数,且 a2+b2=1,x2+y2=1. 求证:ax+by≤1.
2

证明:如图作直径 AB=1 的圆,在 AB 两边任作 Rt△ACB 和 Rt△ADB, 使 AC=a,BC=b,BD=x,AD=y. 由勾股定理知 a、b、x、y 是满足题设条件的. 据托勒密定理,有 AC·BD+BC·AD=AB·CD. ∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1. 四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理 例 5 已知 a、b、c 是△ABC 的三边,且 a2=b(b+c),求证:∠A=2∠B. 分析:将 a2=b(b+c)变形为 a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一 个等腰梯形,使两腰为 b,两对角线为 a,一底边为 c. 证明:如图 ,作△ABC 的外接圆,以 A 为圆心,BC 为半径作弧交圆于 D,连结 BD、DC、DA. ∵AD=BC,

∴∠ABD=∠BAC. 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2.

依托勒密定理,有 BC·AD=AB·CD+BD·AC. ① 而已知 a2=b(b+c),即 a·a=b·c+b2. ②

∴∠BAC=2∠ABC.
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五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理 例 6 在△ABC 中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,

分析:将结论变形为 AC·BC+AB·BC=AB·AC,把三角形和圆联系起来,可联 想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形. 如图,作△ABC 的外接圆,作弦 BD=BC,边结 AD、CD. 在圆内接四边形 ADBC 中,由托勒密定理, 有 AC·BD+BC·AD=AB·CD 易证 AB=AD,CD=AC,∴AC·BC+BC·AB=AB·AC,

4

1.已知△ABC 中,∠B=2∠C。求证:AC =AB +AB·BC。 【分析】过 A 作 BC 的平行线交△ABC 的外接圆于 D,连结 BD。 则 CD=DA=AB,AC=BD。 由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。

2

2

2. 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。 求证: 。(第 21 届全苏数学竞赛)

3 .由 ? ABC 外接圆的弧 求证: BC ? AC ? AB

BC 上一点 P 分别向边

BC 、 AC 与 AB 作垂线 PK 、 PL 和 PN ,

PK PL PM 证:连接 PA 、 PB 、 PC ,对于四边形

ABPC 利用托勒密定理有:

BC ? AP ? AC ? BP ? AB ? CP BC AC AB 即: ? AP ? PK ? ? BP ? PL ? ? CP ? PM PK PL PM 由 ? KBP ? ? LAP 可知 Rt ? KBP 和 Rt ? LAP 相似 ? PK PL ? PB PA BP ? PL ? CP ? PM AC AB ? AP ? PK ? BP ? PL
5

同理可得: BC

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