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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业54 理 新人教A版


课时作业 54

直线的交点与距离公式

一、选择题 1.已知直线 l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+ay-1=0,则“a=-1”是“l1⊥

l2 的”(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:l1⊥l2

的充要条件为(a-2)+a(a-2)=0 解得 a=-1 或 a=2,故“a=-1”是 l1⊥l2 的充分不必要条件,故选 A. 答案:A 2. 已知直线 l1: y=2x+3, 直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称, 则直线 l2 的斜率为( A. 1 2 1 B.- 2 D.-2 )

C.2 解析:∵l2,l1 关于 y=-x 对称, 1 3 ∴l2 的方程为-x=-2y+3.即 y= x+ . 2 2 1 ∴l2 的斜率为 . 2 答案:A

3. P 点在直线 3x+y-5=0 上, 且 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2, 则 P 点坐标为( A.(1,2) C.(1,2)或(2,-1) B.(2,1) D.(2,1)或(-1,2)

)

|x-5+3x-1| 解析:设 P(x,5-3x),则 d= 2 = 2,|4x-6|=2,4x-6=±2,∴x=1 2 1 +?-1? 或 x=2,∴P(1,2)或(2,-1). 答案:C 4.直线 x-2y+1=0 关于直线 y-x=1 对称的直线方程是( A.2x-y+2=0 C.2x+y-2=0 B.3x-y+3=0 D.x-2y-1=0 )

解析:设所求直线上任一点的坐标为(x1,y1),它关于 y-x=1 对称点的坐标为(x0,y0),
1

y -y ? ?x -x =-1 则? y +y x +x ? ? 2 - 2 =1
1 0 1 0 1 0 1 0

,得对称点的坐标为(y1-1,x1+1),且点(y1-1,x1+1)在直线

x-2y+1=0 上,所以 y1-1-2(x1+1)+1=0,化简得 2x1-y1+2=0,故选 A.
答案:A 5.已知平面内两点 A(1,2),B(3,1)到直线 l 的距离分别是 2, 5- 2,则满足条件 的直线 l 的条数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:由题知满足题意的直线 l 在线段 AB 两侧各有 1 条,又因为|AB|= 5,所以还有 1 条为过线段 AB 上的一点且与 AB 垂直的直线,故共 3 条. 答案:C 6.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的 点 C 的个数为( A.4 C.2
2 2

) B.3 D.1

解析:设点 C(t,t ),直线 AB 的方程是 x+y-2=0,|AB|=2 2,且 S△ABC=2. 1 则△ABC 中 AB 边上的高 h 满足方程 ×2 2h=2, 2 即 h= 2. 由点到直线的距离公式得 2=
2 2

|t+t -2| . 2

2

∴t +t-2=2 或者 t +t-2=-2,这两个方程各自有两个不相等的实数根,故这样的 点 C 有 4 个. 答案:A 二、填空题 7.过两直线 7x+5y-24=0 与 x-y=0 的交点,且与点 P(5,1)的距离为 10的直线的 方程为________. 解析:设所求的直线方程为 7x+5y-24+λ (x-y)=0,即(7+λ )x+(5-λ )y-24= 0. ∴ |?7+λ ?×5+?5-λ ?-24| = 10,解得 λ =11. 2 2 ?7+λ ? +?5-λ ?

故所求直线方程为 3x-y-4=0.

2

答案:3x-y-4=0 8.已知实数 x、y 满足 2x+y+5=0,那么 x +y 的最小值为________. 解析: x +y 表示点(x,y)到原点的距离.根据数形结合得 x +y 的最小值为原点到 直线 2x+y+5=0 的距离,即 d= 答案: 5 1 1 9.已知 + =1(a>0,b>0),点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离的最小值为________. 5 = 5. 5
2 2 2 2 2 2

a b

解析:点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离 d=

a+2b
5



1

1 1 1 2b (a+2b)( + )= (3+ + a b a 5 5

a 1 3 5+2 10 )≥ (3+2 2)= . b 5 5
2+ 2 2 2 当 a =2b 且 a+b=ab,即 a=1+ 2,b= 时取等号. 2 3 5+2 10 答案: 5 三、解答题 1 10.已知直线 l1:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+ky+k+ =0,分别求满足 2 下列条件的 k 的值: (1)l1,l2,l3 相交于一点; (2)l1,l2,l3 围成三角形.
?2x+3y+8=0, ? 解:(1)直线 l1,l2 的方程联立得? ? ?x-y-1=0,

解得?

?x=-1, ? ?y=-2, ?

即直线 l1,l2 的交点为 P(-1,-2).

又点 P 在直线 l3 上, 1 1 所以-1-2k+k+ =0,解得 k=- . 2 2 1 (2)由(1)知 k≠- . 2
?2k-3≠0, ? 当直线 l3 与 l1,l2 均相交时,有? ? ?k+1≠0,

3 解得 k≠ 且 k≠-1, 2

3

1 3 综上可得 k≠- ,且 k≠ ,且 k≠-1. 2 2 11.光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程. 解:

作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′,D 关于 y 轴的对称点为 D′, 则易得 A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C.

y-6 x-1 故 BC 所在的直线方程为 = ,即 10x-3y+8=0. 6+4 1+2

1.若动点 A、B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A.3 2 C.3 3 ) B.2 2 D.4 2

解析:依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 距离都 相等的直线,则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点 M 所在直线的方程为

x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得

|m+7| |m+5| = ? |m+7|=|m+5|? m=-6,即 x 2 2

|-6| +y-6=0,根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为 =3 2. 2 答案:A 2.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k y-4k -4=0 与两坐标轴 围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为________. 解析:由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线 l2 的横截
2 2

4

1 1 ? 1?2 2 2 2 距为 2k +2,所以四边形的面积 S= ×2×(4-k+4)+ ×2k ×4=4k -k+8=4?k- ? + 2 2 ? 8? 127 1 ,故面积最小时,k= . 16 8 1 答案: 8 3.在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的 点的坐标是________. 解析:设平面上任一点 M,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当 A,M,C 共线时取等号, 同理|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当 B,M,D 共线时取等号,连接 AC,BD 交于一点 M,若|MA| +|MC|+|MB|+|MD|最小,则点 M 为所求. 6-2 又 kAC= =2, 3-1 ∴直线 AC 的方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0.① 5-?-1? 又 kBD= =-1, 1-7 ∴直线 BD 的方程为 y-5=-(x-1), 即 x+y-6=0.②
? ?2x-y=0, 由①②得? ?x+y-6=0, ?

∴?

? ?x=2, ?y=4, ?

∴M(2,4).

答案:(2,4)

4.如图,函数 f(x)=x+

2

x

的定义域为(0,+∞).设点 P 是函数图象上任一点,过点

P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N.
(1)证明:|PM|·|PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 解:(1)证明:设 P?x0,x0+

? ?

x0 ?

2?

?(x0>0).

5

则|PN|=x0,|PM|=

? 2? ? ? ? x0 ? 1
2

= ,因此|PM|·|PN|=1.

x0

(2)直线 PM 的方程为 y-x0- 即 y=-x+2x0+ 2 .

2

x0

=-(x-x0),

x0

y=x, ? ? 解方程组? 2 y=-x+2x0+ , ? x0 ? S 四边形 OMPN=S△NPO+S△OPM
1 1 = |PN||ON|+ |PM||OM| 2 2 1 ? 1 ? 2? 2? = x0?x0+ ?+ ?x0+ ? 2 ? x0 ? 2x0 ? 2x0? 1? 2 1 ? = 2+ ?x0+ 2?≥1+ 2, x0? 2?

得 x=y=x0+

2 2x0



1 当且仅当 x0= ,即 x0=1 时等号成立,

x0

因此四边形 OMPN 面积的最小值为 1+ 2.

6


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