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教案2:椭圆的简单几何性质(2课时)

时间:2013-09-10


椭圆的简单几何性质(一) 教学目标: 知识与技能:掌握椭圆的范围、对称性、顶点,掌握 a, b, c 几何意义以及 a, b, c 的相互关系,初步学 习利用方程研究曲线性质的方法。过程与方法:利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以 来的第一次,通过初步尝试,使学生经历知识产生与形成的过程,不仅注意对研究结果的掌握和应用,更 重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问

题能力的培养;以自主探究为主,通过体验数学发现和创 造的历程,培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。情感、态度与价值观:通过自主探究、交 流合作使学生亲身体验研究的艰辛,从中体味合作与成功的快乐,由此激发其更加积极主动的学习精神和 探索勇气;通过多媒体展示,让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美,培养学生的审美习 惯和良好的思维品质。 重点难点:重点:从知识上来讲,要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质;从学生 的体验来说,需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现,如思维角度和思维方法。难点:椭 圆几何性质的形成过程,即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。 教学过程 (一)复习与引入过程:引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要 注意通过对椭圆的标准方程的讨论,研究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的培 养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的性质得到椭圆的对称性;③先 定义圆锥曲线顶点的概念, 容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、 短轴的概念; ④探究椭圆的扁平程度量---椭圆的离心率. 〖板书〗椭圆的简单几何性质. (二)新课探析 (1)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、 对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (2)椭圆的简单几何性质:①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? 2 ? 0 ,进一步得:?a ? x ? a , b2 a

同理可得:?b ? y ? b , 即椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性: 由以 ?x 代 x , 以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以

x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心;③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称
轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的

对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;④离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率 a

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ( 0 ? e ? 1) ? , ;? . ?椭圆图形越扁 ?椭圆越接近于圆
(3)例题讲解与引申、扩展 例 1、 求椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 扩展:已知椭圆 mx2 ? 5 y2 ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ?

10 ,求 m 的值. 5

解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦点在 x 轴上,即

0 ? m ? 5 时, a ? 5, b ? m, c ? 5 ? m , 有 ∴

5?m 5 ?

?

2 5

, m ?3; 得 ②当焦点在 y 轴上, m ? 5 即

时,有 a ?

m, b ? 5, c ? m ? 5 ,∴

m?5 m

10 25 . ?m? 5 3
25 4 的距离的比是常数 ,求点 M 的 4 5 25 的距 4

例 2、如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ? 轨迹方程. 分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ? 离d ? x ?

? x ? 4?

2

? y2 ,到直线 l : x ?

25 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4
a2 的距离比是 c

引申: (用《几何画板》探究)若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c,0? 的距离和它到定直线 l : x ?

常数 e ?

c a2 M 的轨迹方程是椭圆.其中定点 F ? c,0? 是焦点,定直线 l : x ? 相应 ? a ? c ? 0? ,则点 a c

于 F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ?c,0? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ? (三)课堂练习:

a2 . c

(四)反思小结: (1)利用方程研究椭圆的几何性质时,若椭圆的方程不是标准方程,首先应将方程化为 标准方程,然后找出相应的 a, b, c 。利用椭圆的几何性质,可以简化画图过程,保证图形的准确性; (2) 掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项:①以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形;②由矩形四边的中点确定 椭圆的四个顶点; ③用曲线将四个顶点连成一个椭圆; ④画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性。 (五)课后作业:

椭圆的几何性质(二) 教学目标:1.熟悉椭圆的几何性质;2.了解椭圆的简单应用. 教学重点:椭圆的几何性质的应用。 教学过程 (一)复习:1、椭圆定义、椭圆的标准方程。2、椭圆的几何性质。 (二)引入新课 1.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ,那么这 个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率。
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 a2 2.椭圆的准线方程:对于 2 ? 2 ? 1 ,相对于左焦点 F1 (?c,0) 对应着左准线 l1 : x ? ? ;相对于 c a b
右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ?

a2 a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? 焦点到准线的距离 p ? (焦参数) c c c c
王新敞
奎屯 新疆

注: (1)椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式

王新敞
奎屯

新疆

(2)椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称。 (三)例题探析 例 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点P(-3,0) 、Q(0,-2) ; 例 2、求椭圆的准线方程: (1) x 2 ? 4 y 2 ? 4 (2)长轴的长等于 20,离心率等于 (2)

3 . 5

x2 y2 ? ?1 16 81

x2 y2 ? ? 1 上有一点 P,它到椭圆的左准线距离为 10,求点 P 到椭圆的右焦点的距离。 例 3、椭圆 100 36
(三)小结: 1、掌握椭圆的几何性质:范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;2、掌握椭圆标准方程中 a、 b、c、e 之间的关系。 (四)课堂练习: 1、求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
2 2

2、过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为(B)

(A) 2 (五)课后作业:

(B)

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4


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