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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第80课 参数方程

时间:2013-12-02


考纲要求
1.了解合情推理和的演绎推理含义,并能进行简单的推理. 2.了解证明的基本方法:分析法、综合法、反证法.

知识梳理
1.参数方程的定义 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数
? x ? f (t ) , 且对于 t 的每一个允许值, 方程所确定的点 M ( x, y) 都 t 的函

数 ? ? y ? g (t )

在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程, t 叫做参变数.

2.常用曲线的参数方程 曲线 直角坐标方程 参数方程
? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?
? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? b ? r sin ?

直线

y ? y0 ? tan ? ? ( x ? x0 ) ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2



椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ?

基础自测
1. (2012 海淀二模)直线 ?

?x ? 1? t ( t 为参数)的倾斜角的大小为 ? y ? 1? t



【答案】

3? 4

【解析】∵直线的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,

3? ∴ tan ? ? ?1 ,∵ ? ?[0, ? ) ,∴ ? ? . 4

? x ? 2 cos ? , 2. (2012 石景山一模)圆 ? 的圆心坐标是 y ? 2sin ? ? 2 ?



【答案】 (0, 2) 【解析】圆的方程为 x
2

? ( y ? 2)2 ? 4 ,∴圆心坐标为 (0, 2) .

3. (2012 西城二模)椭圆 ?

? x ? 3cos ? (? 是参数 ) 的离心率是 ? y ? 5sin ?



【答案】

4 5

x2 y2 ? ? 1, 【解析】椭圆的方程为 9 25
c 4 ∴ a ? 5, b ? 3, c ? 4 , e ? ? . a 5

? x ? t ?1 4. (2012 湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? ( t 为参数)与 y ? 1 ? 2t ?
曲线 C2 : ?

? x ? a sin ? ( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 x 轴上,则 a ? ? y ? 3cos ?



【答案】

3 2 3 2

【解析】曲线 C1 的方程为 y ? 3 ? 2 x ,∴曲线 C1 与 x 轴交点为 ( , 0) ;

x2 y 2 曲线 C2 的方程为 2 ? ? 1,∴曲线 C2 与 x 轴交点为 (?a,0),(a,0) , a 9
∵ a ? 0 ,曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,∴ a ?

3 . 2

典例剖析
考点1 参数方程与普通方程的互化 ? x ? sin ? ? cos ? 【例 1】把参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程是 ? y ? sin 2?
【答案】 y ? 1 ? x , x ? [? 2, 2]
2



【解析】∵ x ? sin ? ? cos? , ∴ x ? 1 ? sin 2? ? 1 ? y .
2

又 x ? sin ? ? cos ? ? ∴? 2 ? x ?

2 sin(? ? ) , 4

?

2.
2

∴普通方程为 y ? 1 ? x , x ? [? 2, 2] .

1 ? x? t? ? ? t , ( t 为参数, t ? 0 ) 【变式】已知曲线 C 的参数方程为 ? ,则曲线 ? y ? 3(t ? 1) ? t ? . C 的普通方程是
【答案】 3x ? y ? 6 ? 0
2

【解析】∵ x ? t ? 即x ?2?t? ?
2

1 1 ,∴ x 2 ? t ? ? 2 , t t

1 t

y , 3
2

∴曲线 C 的普通方程为 3x ? y ? 6 ? 0 .

考点2 参数方程的应用

? x ? 3cos ? ? 1 【例 2】(2012 东城二模)若圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数), ? y ? 3sin ?
则圆 C 的圆心坐标为 ,圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 的交点个数为 .

【答案】 (1, 0) , 2
【解析】圆 C 的方程为 ( x ? 1)
2

? y2 ? 9 ,
1? 0 ? 3 2 ? 2 ?3? r.

∴圆心 C (1, 0) 到直线的距离为 d ? ∴圆 C 与直线有 2 个交点.

【变式】 (2012 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方

? ? x =1 ? ? x= 5 cos ? ? ? ? 程分别为 ? ( ? 为参数, ? ? ? ) ? 和 0 2 ? y = 5 sin ? ? y= ? ? ? ? 曲线 C1 和 C2 交点坐标为 .
【答案】 (2,1)
2 2 【解析】曲线 C1 的方程为 x ? y ? 5 ( 0 ? x ?

2 t 2 ( t 为参数) 则 . 2 t 2

5) ,

曲线 C2 的方程为 y ? x ? 1 ,

? x2 ? y2 ? 5 ? x ? 2 或 x ? ?1 (舍去) , ? ? y ? x ?1
则曲线 C1 和 C2 的交点坐标为 (2,1) .

考点3 与参数相关的轨迹问题
【例 3】已知动圆: x ? y ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? 0 ( a, b 是正常数, a ? b ,
2 2

? 是参数),则其圆心的轨迹是______.
【答案】椭圆 【解析】∵ ( x ? a cos ? ) ? ( y ? b sin ? ) ? a cos ? ? b sin ? ,
2 2

2

2

2

2

? x ? a cos ? x2 y 2 其圆心为 ? ,∴ 2 ? 2 ? 1 , a b ? y ? b sin ?
∵ a ? b ,∴该方程表示一个椭圆.

? x ? 1 ? cos ?, 【变式】曲线 C 的参数方程是: ? ( ? 为参数) ,设 O 为坐标原点, ? y ? sin ? .
点 M ( x0,y0 ) 在 C 上运动,点 P( x,y ) 是线段 OM 的中点,则点 P 轨迹的 普通方程为
2 2



【答案】 (2 x ? 1) ? 4 y ? 1

? ?x ? ? 【解析】∵由 ? ?y ? ? ?

x0 ? x0 ? 2 x 2 ,得 ? , y0 ? y0 ? 2 y 2

? x0 ? 1 ? cos ?, ?2 x ? 1 ? cos ?, ∵? ∴? ?2 y ? sin ? . ? y0 ? sin ? .
∴ (2 x ? 1) ? 4 y ? 1 .
2 2

归纳反思
把参数方程化为普通方程的关键是消参,同时要注意变量 x, y 的取值范围 要前后一致.