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九年级数学下册教学课件26.3 实践与探索(第3-1课时二次函数与一元二次方程的关系)

时间:2015-01-11


26.3实践与探索
第3课时

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质

1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线 顶点坐标 对称轴 倍 速 课 时 学 练 开口方向 增减性
当x ? ?

y=ax2+bx+c(a>0) ? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直 线x ? ? 2a
向上

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直 线x ? ? 2a

向下

最值

b b 时,y随着x的增大而增 时 ,y随着x的增大而减小. 当x ? ? 2a 2a b b 当 x ? ? 时 , y随着x的增大而减 当x ? ? 时 , y随着x的增大而增大. 2a 2a 2 2

当x ? ?

b 4ac ? b 时, 最 小 值 为 2a 4a

当x ? ?

b 4ac ? b 时, 最 大 值 为 2a 4a

二次函数与一元二次方程

?二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所
y=x2+2 x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2

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?(1).每个图象与x轴有几个交点?
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

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?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况 ? ①有两个交点, ? ②有一个交点, ? ③没有交点. ? 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.

?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点(有几个)

一元二次方程 ax2+bx+c=0的根

一元二次方程ax2+bx+c 根的判别式Δ=b2-4a

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有两个交点 有一个交点 没有交点

有两个相异的 实数根 有两个相等的 实数根 没有实数根

b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

例:已知抛物线y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B,且 它的顶点为P,求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4x(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y

(2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27

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A P

B

x

二次函数与一元二次方程综合题
的交点坐标为(x1,O)、(x2,O),且,

例:已知二次函数y=x2-mx-4.设该函数的图象与x轴

求m的值,并求出该函数图象的顶点坐标.

1 1 ? ? ?1 x1 x2

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解:因为该函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为 (x1,0)、 (x2,O),所以x1、x2是方程x2-mx-4=0的 两个实数根,所以x1+x2=m,x1· x 2= -4 .

所以二次函数的解析式为y=x2-4x-4=(x-2)2-8,因 此坐标顶点为(2,-8)

已知y关于x的函数:y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1中满足
k≤3. (1)求证:此函数图象与x轴总有交点.

(2)当关于z的方程
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有增根时,

求上述函数图象与x轴的交点坐标.

【解析】(1)当k=2时,函数为y=-2x+3,图象与x轴有

交点.
当k≠2时,Δ=4(k-1)2-4(k-2)(k+1)=-4k+12,

当k≤3时,Δ≥0,此时抛物线与x轴有交点.
因此,k≤3时,y关于x的函数y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1

的图象与x轴总有交点.
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(2)关于z的方程去分母得:z-2=k+2z-6,k=4-z.

由于原分式方程有增根,其增根必为z=3.这时k=1,
这时函数y=-x2+2,它与x轴的交点是

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1 2 15 已知函数 y ? ? x ? 7 x ? 2 2 ⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点,以 及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然 后画出函数图像的草图; (2)自变量x在什么范围内时, y随着x的增大而增 大?何时y随着x的增大而减少;并求出函数的最 大值或最小值。
(-7,32)
y

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(-14,7.5) (-15,0)
0

.

(0,7.5) (1,0)
x

2、已知二次函数的图像如图所示,下列结 论: ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是( D )A 1个 B 2 y 个 C 3个 D 4个
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-1 1

0

x

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1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1)求这条抛物线的解析式. (2)求出这个二次函数的最大值或最小值. (3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2), 且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小. 2,若函数y=4x2,的图像与平行x轴的直线 y=1.5交于两点,求这两点间的距离.

3,如图直线l经过点A(4,0) 和B(0,4)两点,它与二次 函数y=ax2的图像在第一 象限内相交于P点,若 △AOP的面积为4.5,求 二次函数的解析式.

y B P O A

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x

4,将抛物线y=x2向下平移后,使 它的顶点C与它在x轴上的两个 交点A,B组成等边三角形ABC, 求此抛物线的解析式.
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5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的 图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.
6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴 上的点A, 所得的抛物线与y轴交于点B,且线 段OA,OB满足关系OA-1 =OB,试说明平移 方法.

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请用两种方法将二次函数

y=x2-4x+6化为y=a(x-h)2+k的 形式.

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