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数列综合练习题附答案

时间:2012-10-24


数列综合练习题附答案
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. (文)(2011· 山东)在等差数列{an}中, 已知 a1=2, 2+a3=13, a4+a5+a6 等于( a 则 A.40 B.42 C.43 D.45 )

S3 S2 (理)(2011· 江西)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足

3 - 2 =1,则数列{an}的公 差是( 1 A.2 ) B.1 C.2 D.3

2. (2011· 辽宁沈阳二中检测, 辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n 1 ∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log3(a5+a7+a9)的值是( A.-5 1 B.-5 C.5 ) 1 D.5 )

3. (文)已知{an}为等差数列, n}为正项等比数列, {b 公式 q≠1, a1=b1, 11=b11, 若 a 则( A.a6=b6 C.a6<b6 B.a6>b6 D.以上都有可能

(理)(联考)已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( A.ab=AG C.ab≤AG ) B.ab≥AG D.不能确定

1 4.(2011· 潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2,2a3,a1 成等 a3+a4 差数列,则 的值为( a4+a5 1- 5 A. 2 B. 5+1 2 ) C. 5-1 2 D. 5+1 5-1 或 2 2

5.已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),则该数列前 2011 项的和等 于( ) A.1341 B.669 C.1340 D.1339

6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1、a3、a7 为等比数列{bn}的连续三项,则数 列{bn}的公比为( A. 2 ) B.4 C.2 1 D.2

a11 7.(文)已知数列{an}为等差数列,若a <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得
10

Sn>0 的最大值 n 为( A.11

) B.19 C.20 D.21

S1 S2 S15 (理)在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0,则在a ,a ,…,a 中最大
1 2 15

的是( S1 A.a 1

) S8 B.a 8 S9 C.a 9 S15 D.a 15

8.(文)(2011· 天津河西区期末)将 n2(n≥3)个正整数 1,2,3,…,n2 填入 n×n 方格中,使得每 行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做 n 阶幻方.记 f(n)为 n 阶幻方对 角线上数的和,如右表就是一个 3 阶幻方,可知 f(3)=15,则 f(n)=( 8 3 4 1 A.2n(n2+1) 1 C.2n2(n2+1) 1 5 9 6 7 2 1 B.2n2(n+1)-3 D.n(n2+1) ) )

1 (理)(2011· 海南嘉积中学模拟)若数列{an}满足: n+1=1-a 且 a1=2, a2011 等于( a 则
n

A.1

1 B.-2

C.2

1 D.2

9.(文)(2011 湖北荆门市调研)数列{an}是等差数列,公差 d≠0,且 a2046+a1978-a2 =0, 2012 {bn}是等比数列,且 b2012=a2012,则 b2010· 2014=( b A.0 B.1 C.4 ) D.8

(理)(2011· 豫南九校联考)设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为 首项,2 为公比的等比数列,则 ab1+ab2+…+ab10=( A.1033 B.1034 C.2057 ) D.2058

10. (文)(2011· 绍兴一中模拟)在圆 x2+y2=10x 内, 过点(5,3)有 n 条长度成等差数列的弦,

?1 2? 那么 n 的取值集合为( 最短弦长为数列{an}的首项 a1, 最长弦长为 an, 若公差 d∈ 3,3 , ? ?
A.{4,5,6} C.{3,4,5} B.{6,7,8,9} D.{3,4,5,6}

)

(理)(2010· 青岛质检)在数列{an}中,an+1=an+a(n∈N*,a 为常数),若平面上的三个不 共线的非零向量, 满足=a1+a2010, , 三点 A、 C 共线且该直线不过 O 点, S2010 等于( B、 则 A.1005 B.1006 C.2010 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 13.(2011· 江苏镇江市质检)已知 1,x1,x2,7 成等差数列,1,y1,y2,8 成等比数列,点 M(x1,y1),N(x2,y2),则线段 MN 的中垂线方程是________. 14.(2010· 无锡模拟)已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,若以(an,Sn)为坐 D.2012 )

1 标的点在曲线 y=2x(x+1)上,则数列{an}的通项公式为________.

? π? ?π ? 15.(2011· 苏北)已知 α∈ 0,2 ∪ 2,π ,且 sinα,sin2α,sin4α 成等比数列,则 α 的 ? ? ? ?
值为________. 16.(文)(2011· 湖北荆门调研)秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近 30 天每天入院治疗 流感的人数依次构成数列{an},已知 a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n (n∈N*),则该 医院 30 天入院治疗流感的人数共有________人. (理)(2011· 浙江宁波八校联考)在如图的表格中, 每格填上一个数字后, 使每一横行成等 差数列,每一纵列成等比数列,且从上到下所有公比相等,则 a+b+c 的值为________. a c B 1 2 6

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 广西田阳质检){an}是公差为 1 的等差数列,{bn}是公比 为 2 的等比数列,Pn,Qn 分别是{an},{bn}的前 n 项和,且 a6=b3,P10=Q4+45. (1)求{an}的通项公式;(2)若 Pn>b6,求 n 的取值范围. (理)(2011· 四川广元诊断)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn =3-bn. 1 1 ①求数列{an}和{bn}的通项公式; ②设 cn=4an· bn, 求数列{cn}的前 n 项和 Rn 的表达式. 3 18.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 河南濮阳)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1= 2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正数,前 n 项和为 Tn,且 T3=

15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn. 1 (理)(2011· 六校联考)已知数列{bn}前 n 项和为 Sn,且 b1=1,bn+1=3Sn. (1)求 b2,b3,b4 的值; (2)求{bn}的通项公式; (3)求 b2+b4+b6+…+b2n 的值.

19.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 宁夏银川一中模拟)在各项均为负数的数列{an}中,已 2 8 知点(an,an+1)(n∈N*)在函数 y=3x 的图象上,且 a2· 5=27. a (1)求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项; (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=an+n,求 Sn. (理)(2011· 黑龙江)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n= 1,2,3,…. (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;

(2)设 Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项. 20.(本小题满分 12 分)数列{bn}的通项为 bn=nan(a>0),问{bn}是否存在最大项?证明你 的结论. 21. (本小题满分 12 分)(2011· 湖南长沙一中月考)已知 f(x)=mx(m 为常数, 且 m≠1). m>0 设 f(a1),f(a2),…,f(an)…(n∈N)是首项为 m2,公比为 m 的等比数列. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 bn=anf(an),且数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 m=2 时,求 Sn; (3)若 cn=f(an)lgf(an),问是否存在正实数 m,使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 四川资阳模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+ 1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:an= b1 b2 b3 bn + + +…+ n ,求数列{bn}的通项公式; 3+1 32+1 33+1 3 +1

anbn (3)令 cn= 4 (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. (理)(2011· 湖南长沙一中期末)已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2=2, a3=1,且数列{an+1-an}是等差数列,n∈N*. 求数列{an}和{bn}的通项公式;

必修五数列练习题答案 1、 (文)B(理)C 2、A 3、 (文)B(理)C4、C5、A6、C7、 (文)B(理)B 8、 (文)A(理)C9、 (文)C(理)A10、 (文)A(理)A 13、[答案] x+y-7=014、an=n 15、[答案] 16、 (文)255(理)22 17、 (文)[解析] (1)由题意得 2π 3

?a1+5=4b1 ? ? ?a1=3 ?? ,∴an=3+(n-1)=n+2. ? 10×9 b1?1-24? ?b1=2 ? ?10a1+ 2 = 1-2 +45 ?
n?n+2+3? n2+5n - (2)Pn= = ,b6=2×26 1=64. 2 2 由 n2+5n >64?n2+5n-128>0?n(n+5)>128, 2

又 n∈N*,n=9 时,n(n+5)=126,∴当 n≥10 时,Pn>b6. (理)[解析] ①由题意得 an=Sn-Sn-1=4n-4(n≥2)而 n=1 时 a1=S1=0 也符合上式 bn 1 1 ∴an=4n-4(n∈N+)又∵bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,∴ = ∴{bn}是公比为 的等比数列, 2 bn-1 2

3 3 1 - ?1 而 b1=T1=3-b1,∴b1= ,∴bn= ?2?n 1=3·2?n(n∈N+). ? ? 2 2? ? 1 1 1 1 1 1 ②Cn= an·bn= (4n-4)× ×3?2?n=(n-1)?2?n, ? ? 4 3 4 3 ? ? 1 ?1 ?1 ?1 ∴Rn=C1+C2+C3+…+Cn=?2?2+2·2?3+3·2?4+…+(n-1)·2?n ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 + 1 ?1 ∴ Rn=?2?3+2·2?4+…+(n-2)?2?n+(n-1)?2?n 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1 1 1 1 ?1 + ∴ Rn=?2?2+?2?3+…+?2?n-(n-1)·2?n 1,∴Rn=1-(n+1)?2?n. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 18、 (文)[解析] (1)由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得 an+1-an=2an,∴an+1=3an(n≥2),又 a2=2S1+1=2a1+1=3,∴a2=3a1, 故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴an=3n 1. (2)设{bn}的公差为 d,由 T3=15 得,b1+b2+b3=15,可得 b2=5,故可设 b1=5-d, b3=5+d,又 a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2,解得 d=2 或 -10. n?n-1? ∵等差数列{bn}的各项均为正数,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ ×2=n2+2n. 2 1 1 1 1 1 4 1 1 16 (理) [解析] (1)b2= S1= b1= , 3= S2= (b1+b2)= , 4= S3= (b1+b2+b3)= . b b 3 3 3 3 3 9 3 3 27


?b =3S (2)? 1 ?b =3S
1
n+1 n

n

① ②

1 4 1 ①-②解 bn+1-bn= bn,∴bn+1= bn,∵b2= , 3 3 3

n-1

1 ?4 - ∴bn= ·3?n 2 3? ?

(n≥2)

?n=1? ?1 ? ∴bn=?1 ?4?n-2 . ?3·3? ?n≥2? ? ?

4 1 (3)b2,b4,b6…b2n 是首项为 ,公比?3?2 的等比数列, ? ? 3 1 4 [1-? ?2n] 3 3 3 4 ∴b2+b4+b6+…+b2n= = [( )2n-1]. 4?2 7 3 1-?3? ? 2 19、 (文) [解析] (1)因为点(an,an+1)(n∈N*)在函数 y= x 的图象上, 3 an+1 2 2 2 所以 an+1= an,即 = ,故数列{an}是公比 q= 的等比数列, 3 an 3 3 2 2 8 8 因为 a2a5= ,则 a1q·1q4= ,即 a2?3?5=?3?3,由于数列{an}的各项均为负数,则 a1 a 1 ? ? ? ? 27 27 3 =- , 2 2 - 所以 an=-?3?n 2. ? ?

2 - 2 - ?2 - n +n-9. (2)由(1)知,an=-?3?n 2,bn=-?3?n 2+n,所以 Sn=3·3?n 1+ ? ? ? ? ? ? 2 (理) [解析] (1)由已知 an+1=a2+2an,∴an+1+1=(an+1)2.∵a1=2,∴an+1>1,两 n lg?1+an+1? 边取对数得: lg(1+an+1)=2lg(1+an), 即 =2.∴{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列. lg?1+an? (2)由(1)知 lg(1+an)=2n 1· lg(1+a1)=2n 1· lg3=lg32n 1∴1+an=32n 1(*) ∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=320· 1· 32n 1=31+2+22+…+2n 1=32n-1. 32 …· 由(*)式得 an=32n-1-1. 20、[解析] bn+1-bn=(n+1)an 1-nan=an[(n+1)a-n]=an· [(a-1)n+a] (1)当 a>1 时,bn+1-bn>0,故数列不存在最大项; (2)当 a=1 时,bn+1-bn=1,数列也不存在最大项; a a (3)当 0<a<1 时,bn+1-bn=an(a-1)?n+a-1?,即 bn+1-bn 与 n+ 有相反的符号, ? ? a-1 a a 由于 n 为变量,而 为常数,设 k 为不大于 的最大整数,则当 n<k 时,bn+1-bn>0, a-1 1-a 当 n=k 时,bn+1-bn=0,当 n>k 时,bn+1-bn<0. 即有 b1<b2<b3<…<bk-1≤bk 且 bk>bk+1>…,故对任意自然数 n,bn≤bk. ∴0<a<1 时,{bn}存在最大值. 21、[解析] (1)由题意 f(an)=m2· n 1,即 man=mn 1. m ∴an=n+1,∴an+1-an=1,∴数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. (2)由题意 bn=anf(an)=(n+1)· n 1, m 当 m=2 时,bn=(n+1)·n 1,∴Sn=2·2+3·3+4·4+…+(n+1)·n 1① 2 2 2 2 2 ①式两端同乘以 2 得,2Sn=2·3+3·4+4·5+…+n·n 1+(n+1)·n 2② 2 2 2 2 2 ②-①并整理得, Sn=-2·2-23-24-25-…-2n 1+(n+1)·n 2=-22-(22+23+24+…+2n 1)+(n+ 2 2 1)·n 2
+2 + + + + + + + + - + + - - - - - -

2

22?1-2n? + + + =-4- +(n+1)·n 2=-4+22(1-2n)+(n+1)·n 2=2n 2· 2 2 n. 1-2 (3)由题意 cn=f(an)· n)=mn 1· n 1=(n+1)· n 1· lgf(a lgm m lgm, 要使 cn<cn+1 对一切 n∈N*成立, 即(n+1)· n 1· m lgm<(n+2)· n 2· m lgm, 对一切 n∈N*成立, ①当 m>1 时,lgm>0,所以 n+1<m(n+2)对一切 n∈N*恒成立;②当 0<m<1 时,lgm<0, n+1 n+1 1 2 2 所以 >m 对一切 n∈N*成立,因为 =1- 的最小值为 ,所以 0<m< . 3 3 n+2 n+2 n+2 2 综上,当 0<m< 或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. 3 22、 (文)[解析] (1)当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知 a1=2 满足该式 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n.
+ + + + +

b1 b2 b3 bn (2)an= + + +…+ n (n≥1)① 3+1 32+1 33+1 3 +1 bn+1 b1 b2 b3 bn ∴an+1= + 2 + 3 +…+ n + n+1 ② 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 ②-①得, bn+1 + =a + -a =2,bn+1=2(3n 1+1), + 3n 1+1 n 1 n

故 bn=2(3n+1)(n∈N). (3)cn= anbn =n(3n+1)=n·n+n, 3 4

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n) 令 Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,① 则 3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n 1② 3?1-3n? + + ①-②得,-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n 1= -n×3n 1 1-3 ?2n-1?×3n 1+3 ∴Hn= , 4
+ +

∴数列{cn}的前 n 项和 ?2n-1?×3n 1+3 n?n+1? Tn= + . 4 2


1 - ?1 - (理)[解析] 易知 bn=4·2?n 1=?2?n 3, ? ? ? ? ∵a2-a1=-2,a3-a2=-1,… ∴an+1-an=-2+(n-1)=n-3. ∴an-an-1=(n-1)-3, n?n-1? ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1= -3(n-1)+4 2 = n2-7n+14 . 2


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