nbhkdz.com冰点文库

导数的应用(单调性、极值、最值)

时间:2015-12-02


导数的应用(单调性、极值、最值)
蓝园高级中学 数学组 陈秋彬 考纲要求 1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单 调区间。 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;理解极大值、极小值的概念;会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值。 3. 会用导数求不超过三次的多项式函数在定区间上的最大值、最小值。

命题规律 从进几年的高考试题来看,利用导数研究函数的单调性、极值和最值是导数的基本问题,每年必考, 分值较大,需要考生重点练习、熟练应用。 导数及其应用占据着非常重要的地位,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的增减性 等;还包括将导数内容和传统内容中有关不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起,设计综合 试题。随着导数作为考试内容的考查力度逐年增大,导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上 升为分析和解决问题时的必不可少的工具。 导数一般考法比较简单,就是讨论单调区间求最值。但也有的省市考得较难,与不等式结合,放在 最后一题的位置,往往需要我们理解其几何意义,才能找到方向。 考点解读 考点 1 函数的单调性与导数 1. 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果 f ?( x) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递间. 2. 判断函数单调性的步骤: 因为 f ( x) ? 当 f ?( x) ? 0 ,即 当 f ?( x) ? 0 ,即 ,所以 f ?( x) ? 时,函数 f ( x) ? ? 单调递增; 时,函数 f ( x) ? ? 单调递减. ,单调减区间为 . .

函数 f ( x) ? ? 的单调增区间为

3. 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时函数 的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就“平缓”一些. 考点 2 函数的极值与导数 1. (1)如果函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f ( a ) 比它在点 x ? a 附近其他点的函数值都小,那么点 a 叫做 y ? f ( x) 的极小值点, f ( a ) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值; (2)如果函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其他点的函数值都大,那么点 b

叫做 y ? f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 2. (1)求函数 y ? f ( x) 的极值的方法(充分条件): 解方程 f ?( x) ? 0 .当 f ?( x0 ) ? 0 时: ①如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值. (2)必要条件:函数 y ? f ( x) 在一点取得极值的必要条件是函数 y ? f ( x) 在这一点的导数值 0。 考点 3 函数的最大(小)值与导数 1.一般地,如果在区间 [a, b] 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最 小值. 2.求函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤: ①求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ②将函数 y ? f ( x) 的各极值与断点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值. 考点突破 考点 1 函数的单调性与导数 典例求下列函数的单调区间: (1). f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ;
4 2

(2). f ( x) ? 2 x ? x 2 ; 解题思路 在对函数求导以前,先求出函数的定义域,然后求函数的导数,利用导数大于零和小于零解 出单调增区间和减区间。
4 解题过程 (1).函数 f ( x) 的定义域为 R, f ?( x) ? x ? 4x ? 4( x ?1)(x ? 1) x

令 f ?( x) ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 . ∴函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,0)和 (1,??) ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 , ∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,?1) 和(0,1) . (2).函数定义域为 0 ? x ? 2.

f ?( x) ?

(2 x ? x 2 )? 2 2x ? x
2

?

1? x 2x ? x2

.

令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 . ∴函数 f ( x) 的递增区间为(0,1) ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 2 , ∴函数 f ( x) 的单调递减区间为(1,2) . (3).函数定义域为 x ? 0, f ?( x) ? 1 ?

b 1 ? 2 ( x ? b )( x ? b ). 2 x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? b 或 x ? ? b . ∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??,? b ) 和 ( b ,??) ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? b ? x ? b 且 x ? 0 , ∴函数 f ( x) 的单调递减区间是 (? b ,0) 和 (0, b ) . 易错点拨 为了提高解题的准确性,在利用求导的方法确定函数的单调区间时,也必须先求出函数的定 义域,然后再求导判断符号,以避免不该出现的失误.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增 (或递减)区间写成并集的形式,如将例 (1) 中,函数 f ( x) 的单调递增区间和递减区间分别写成

(?1,0) ? (1,??) 和 (??,?1) ? (0,1) 的错误结果.这里我们可以看出,除函数思想方法在本题中的重要
作用之外,还要注意转化的思想方法的应用. 变式 1 函数 f ( x) ? x ? 单调递减区间为
/

b (b ? 0) 的单调递增区间为 x




点拨 求函数的导数,令导数 f ( x) ? 0 解出即可,注意答案的填写。 答案

(??,? b ) 和 ( b ,??) ; (? b ,0) 和 (0, b ) .
? 2? 1? ? 在区间 (0,??) 上是( x?


变式 2 函数 y ? log 1 ?1 ?

A.增函数,且 y ? 0 C.增函数,且 y ? 0

B.减函数,且 y ? 0 D.减函数,且 y ? 0

点拨 关键理解符合函数的单调性和对定义域的考虑,注意对数的性质。 答案 C 考点 2 函数的极值与导数

典例 已知函数

1 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 ,当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? 3

解题思路 求函数 f ( x) 的导数,令 f / ( x) ? 0 转变为含参数的一元二次方程问题,通过讨论方程是否有 跟,层层深入解决问题。 解题过程 由已知得 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 ,

f ( x) 要 取 得 极 值 , 方 程 a x2 ? 2 b x? 1 ? 0 必 须 有 解 , 所 以 △ ? 4b2 ? 4a ? 0, 即 b2 ? a , 此 时 方 程
a x2 ? 2 b x? 1 ? 0
的根为 x1 ?

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , ? ? 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f ’(x) f (x) x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值

(-∞,x1) + 增函数

(x2,+∞) + 增函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f ’(x) f (x)

(-∞,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,x1) + 增函数

x1 0 极大值

(x1,+∞) - 减函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.
2 综上,当 a , b 满足 b ? a 时, f ( x) 取得极值.

易错点拨 对含参数方程或不等式的讨论容易出错,可借助函数图象。 变式 1 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 5 , 其 导 函 数
3 2

y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.
求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值. 点拨 理解极值的意义和本质,借助导函数的图象来研究原函数的性质。 答案

x0 ? 1, a ? 2, b ? ?9, c ? 12
x

变式 2 (2012 陕西理 7)设函数 f ( x) ? xe ,则( (A) x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 (C) x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点



(B) x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 (D) x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点

点拨求函数 f ( x) 的导数,令 f / ( x) ? 0 ,进而判断极大值和极小值。 答案 D 考点 3 函数的最大、最小值与导数 典例 1 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 2 x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6,在 x ? 1 时有极小值,求 a、b、c 的值; 并求 f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 解题思路 先通过极值的意义求出 a、b、c 的值,然后对函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值

f (?3) 、 f (3) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
解题过程 f / ( x) ? 3x 2 ? x ? 2 ,令 f / ( x) ? 0 得 x ? ? ∵当 x ? ?

2 或 x ? 1. 3

2 2? ? 或 x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ∴ y ? f ( x) 在 ? ? ?,? ? 和 ?1,??? 上为增函数, 3 3? ? 2 处有极大值, 在 x ? 1 处有极小值. 3

在 ? ? ,1? 上为减函数, ∴ f ( x) 在 x ? ? 极大值为 f ( ? 2 3) ? 5

? 2 ? ? 3 ?

22 , 而 f (2) ? 7 , ∴ f ( x) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 7. 27

若对于任意 x ? ?? 1,2? 都有 f ( x) ? m 成立, 得 m 的范围 m ? 7 . 易错点拨 区别极值和最值,容易混淆,计算易出错。 变式 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调区间 (2)若对 x ? [?1,2] 时,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

2 与 x=1 时都取得极值。 3

【方法提炼】 利用导数法求函数的单调区间,应按照求单调区间的一般步骤,注意函数单调性是函数 在其定义域上的局部性质,函数的单调区间是函数的定义域的子区间,求函数单调区间时千万不要忽视 函数的定义域. 作业:复习课本巧练模拟


导数应用单调性最值极值文科

导数应用单调性最值极值文科_数学_高中教育_教育专区。文科专业 求函数单调区间的“两个”方法 (1)方法一:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f...

...导数的应用(单调性、最值、极值)

考点10 导数的应用(单调性最值极值) 热点一 利用导数研究函数的单调性 1.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】已知函数 y=f(x)的图像是...

导数与函数的单调性、极值、最值

导数与函数的单调性极值最值适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 ...熟练掌握函数的单调性极值最值的求法,以及分类讨论思想的应用。 1 教学...

导数的极值、最值及其应用(解析版)

导数的极值最值及其应用(解析版)_数学_高中教育_教育专区。一、考纲目标 理解...一、考纲目标 理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值...

第十一讲导数在函数的单调性、极值、最值中的应用_图文

第十一讲导数在函数的单调性极值最值的应用_理学_高等教育_教育专区。2017/5/26 导数在函数的单调性极值最值的应用 一、知识梳理: 1.单调性与...

...导数及其应用 14 导数与函数的单调性、极值、最值考...

【高优指导】2017版高考数学一轮复习 导数及其应用 14 导数与函数的单调性极值最值考点规范练 文_数学_高中教育_教育专区。考点规范练 14 导数与函数的单调...

...导数与函数的单调性、极值、最值教师版

2013 级人教版数学一轮复习 编号: 编制时间: 2015.4.5 编制人:王文东 第三章导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性极值最值(文理合用)【考纲要求】 1...

用导数研究函数的单调性、极值与最值

导数研究函数的单调性极值最值_数学_高中教育_教育专区。第 2 讲 用导数研究函数的单调性极值最值分层 A 级一、选择题(每小题 5 分,共 20 分...

3.2-导数与函数的单调性,最值

3.2-导数与函数的单调性,最值_数学_高中教育_教育专区。2013 级人教版数学一轮复习 第三章导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值(文理合用)【...

高考数学重点难点35导数极值最值单调性总结

高考数学重点难点35导数极值最值单调性总结_数学_高中教育_教育专区。难点 35 导数的应用问题 利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间[a,b]上的最大最小...