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2016高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第三讲 不等式选讲课件 理


随堂讲义 专题八 选修专题 第三讲 不等式选讲 从历年全国高考题中知,考绝对值不等式解法或 与解绝对值不等式相关问题可能性大,另证明不等式 思想在试题中必有体现,注意书写规范,明确每步理 论依据. 例1 已知函数 f(x)= |x+a|+ |x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数

a 的取值范围. 解析:(1)当 a=-3 时, -2x+5,x≤2, ? ? f(x)= ?1,2<x<3, ? ?2x-5,x≥3. 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}. 1.已知关于 x 的不等式|x-a|+1-x>0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解析:若 x-1<0,则 a∈R; 若 x-1≥0,则(x-a)2>(x-1)2 对任意的 x∈[1,+∞]恒成立, ? ?a-1>1, 即(a-1)[(a+1)-2x]>0 对任意的 x∈[1, +∞)恒成立, 所以? ? ?a+1>2x ? ?a-1<0, 或? 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立,解得 a<1.故 a 的取值范 ? ?a+1<2x 围是(-∞,1). 例 2 已知 f(x)= 1+x2,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|. 2 2 |a - b | 2 2 解 析: ∵|f(a) - f(b)| = | 1+a - 1+b | = 2 2= 1+a + 1+b |a-b||a+b| 2 2 2 2 2 2,又|a+b|≤|a|+ |b|= a + b < 1+a + 1+b , 1+a + 1+b |a+b| ∴ 2 2<1. 1+a + 1+b ∵a≠b,∴|a-b|>0. ∴|f(a)-f(b)|<|a-b|. 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等 式, 往往可通过平方法、 换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式 证明题,或利用绝对值三角不等式定理: |a-b|≤|a± b|≤|a|+ |b|,通 过适当的添、 拆项证明; 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不 等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或 利用一元二次方程的根的分布等方法来证明. 2. 设函数 f(x)=x2-2x, 实数 a 满足|x-a|<1.求证: |f(x)-f(a)|<2|a| +3. 解析:解法一 ∵f(x)= x2-2x, ∴|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a| =|(x-a)· (x+a-2)|=|x-a||x+a-2| ≤|x+a-2|=|(x-a)+2a-2| ≤|x-a|+ |2a-2|<1+2|a|+2=2|a|+3, ∴|f(x)-f(a)|<2|a|+3. 解法二 |f(x)-f(a)|= |x2-2x-a2+2a| = |x- a|· |x+ a- 2|≤|x+ a- 2|≤|x|+ |a- 2|≤|x|+ |a|+ 2<|a|+ 1+ |a|+2=2|a|+3. (∵|x-a|<1,∴|x|-|a|<1,即|x|<|a|+1) ∴|f(x)-f(a)|<2|a|+3. 例3 1 1 5 已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x+y|< ,求证:|y|< . 3 6 18 解析: 因为

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