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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业56 理 新人教A版

时间:2016-03-14


课时作业 56

直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题 1.圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +(y-3) =1 的内公切线有且仅有( A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条
2 2 2 2

)

解析:圆心距为 3,半径之和为 2,故两圆外离,内公切线条数为 2. 答

案:B → → 2 2 2.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,且|AB|= 3,则OA·OB 的值是( 1 A.- 2 3 C.- 4 ) B. D. 1 2 3 4

→ → 解析:在△OAB 中,由|OA|=|OB|=1,|AB|= 3,可得∠AOB=120°,所以OA·OB= 1 1×1×cos120°=- . 2 答案:A 3.(2014·安徽卷)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是( π A.(0, ] 6 π C.[0, ] 6 ) π B.(0, ] 3 π D.[0, ] 3
2 2

解析:设斜率为 k,则直线 l 的方程为 y+1=k(x+ 3),即 kx-y+ 3k-1=0,由题 | 3k-1| π 可得 ≤1,解得 0≤k≤ 3.设倾斜角为 α ,则 0≤tanα ≤ 3,得 0≤α ≤ . 2 3 k +1 答案:D → → 2 2 4.若直线 x-y+2=0 与圆 C:(x-3) +(y-3) =4 相交于 A,B 两点,则CA·CB的值 为( ) A.-1 C.1 B.0 D.6

1

|3-3+2| 解析:由题意可知,圆心 C(3,3)到直线 AB:x-y+2=0 的距离为 d= = 2. 2 2 1 +1 又因为 sin∠BAC= = 0. 答案:B 5.若圆(x-a) +(y-b) =b +1 始终平分圆(x+1) +(y+1) =4 的周长,则 a,b 满足 的关系是(
2 2 2 2 2 2

d r

2 → → , 所以∠BAC=45°, 又因为 CA=CB, 所以∠BCA=90°.故CA·CB= 2

) B.a +b +2a+2b+5=0 D.a -2a-2b+5=0
2 2 2 2 2

A.a +2a+2b-3=0 C.a +2a+2b+5=0
2

解析: 两圆的公共弦必过(x+1) +(y+1) =4 的圆心, 两圆相减得相交弦的方程为-2(a +1)x-2(b+1)y+a +1=0,将圆心坐标(-1,-1)代入可得 a +2a+2b+5=0. 答案:C 6.已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x +y =4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且 3 → → → 有|OA+OB|≥ |AB|,那么 k 的取值范围是( 3 A.( 3,+∞) C.[ 2,2 2) 解析: ) B.[ 2,+∞) D.[ 3,2 2)
2 2 2 2

3 → → → 当|OA+OB|= |AB|时,O,A,B 三点为等腰三角形的三个顶点,其中 OA=OB,∠AOB 3 → → =120°,从而圆心 O 到直线 x+y-k=0(k>0)的距离为 1,此时 k= 2;当 k> 2时|OA+OB |> 3 → 2 2 |AB|, 又直线与圆 x +y =4 存在两交点, 故 k<2 2, 综上, k 的取值范围为[ 2, 2 2), 3

故选 C. 答案:C 二、填空题 7.(2014·重庆卷)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x-4y-4=0 相交于
2
2 2

A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________.
解析:圆 C 的标准方程为(x+1) +(y-2) =9,则圆心 C(-1,2),半径 r=3.由题可得
2 2

AB=3 2,则圆心到直线的距离 d=
答案:0 或 6

3 2 |-1-2+a| 3 2 ,所以 2 = ,解得 a=0 或 6. 2 2 2 1 +?-1?

8.若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 1 2 2 2 2 解析:方程 x + y + 2ay - 6 = 0 与 x + y = 4 相减得 2ay = 2 ,则 y = . 由已知条件

2

2

2

2

a

1 2 2 2 -? 3? = ,即 a=1.

a

答案:1 9.两圆相交于两点(1,3)和(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,且 m,c 均为 实数,则 m+c=________. 解析:根据两圆相交的性质可知,两点(1,3)和(m,-1)的中点?

?1+m,1?在直线 x-y+ ? ? 2 ?

c=0 上,并且过两点的直线与 x-y+c=0 垂直,故有
1+m ? ? 2 -1+c=0, ?3-?-1? ? ? 1-m ×1=-1, ∴m=5,c=-2,∴m+c=3. 答案:3 三、解答题 10.已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. 解:
2 2

(1)如图所示 ,|AB|=4 3,将圆 C 方程化为标准方程为(x+2) +(y-6) =16,
3

2

2

∴圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB, ∴|AD|=2 3,|AC|=4.

C 点坐标为(-2,6).
在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-5=kx,即

kx-y+5=0.
由点 C 到直线 AB 的距离公式: 3 得 k= . 4 故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 即 CD⊥PD,即CD·PD=0, ∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x +y +2x-11y+30=0. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:2x-y-4=0,设圆 C 的半径为 1, 圆心在直线 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 2x-3y=0 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程. (2)若圆 C 与圆 D:x +y +2y-3=0 有公共点,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
? ?2x-y-4=0, 解:(1)由? ?2x-3y=0 ?
2 2 2 2

|-2k-6+5|

k2+?-1?2

=2,

得圆心 C(3,2),

又因为圆的半径为 1, 所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-2) =1, 设过点 A 的切线方程为 y=kx+3, |3k+3-2| 圆心到直线的距离为 =1, 2 1+k 3 解得 k=0 或 k=- . 4 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 2x-y-4=0 上, 设圆 C 的方程为(x-a) +[y-2(a-2)] =1, 圆 D:x +y +2y-3=0,即 x +(y+1) =4,
2 2 2 2 2 2 2 2

4

因为圆 C 与圆 D 有公共点, 则|2-1|≤|CD|≤2+1,即 1≤ a +?2a-3? ≤3, 12 2 所以 5a -12a≤0,得 0≤a≤ . 5
2 2

1.动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若动圆 C 与直线 y=x+2 2+1 总 有公共点,则圆 C 的面积( A.有最大值 8π C.有最小值 3π )

B.有最小值 2π D.有最小值 4π
2 2 2

解析:设圆心为 C(a,b),半径为 r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1) +b =(a+1) ,即 a 1 2 1 2 ?1 2 ? = b , ∴ 圆 心 为 ? b ,b? , r = b + 1 , 圆 心 到 直 线 y = x + 2 2 + 1 的 距 离 为 d = 4 4 4 ? ?

?b -b+2 2+1? ?4 ? 2 ? ? b
2 =π r =4π . 答案:D
2

2

1 ≤ +1,∴b≤-2(2 2+3)或 b≥2,当 b=2 时,rmin= ×4+1=2,∴Smin 4 4

2.(2014·江西卷)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为 直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( A. 4π 5 B. D. 3π 4 5π 4 )

C.(6-2 5)π 解析:∵∠AOB=90°,∴点 O 在圆 C 上.

设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D,则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x+y-4 =0 的距离, ∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为|OD|. |2×0+0-4| 4 又|OD|= = , 5 5 ∴圆 C 的最小半径为 2 , 5

∴圆 C 面积的最小值为 π ?

? 2 ?2 4 ?= π. ? 5? 5
5

答案:A 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(3,0)在圆 C:x +y -2mx-4y+m -28=0 内, 动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A,B 两点,若△ABC 的面积的最大值为 16,则实数 m 的取值范 围为________. 解析:由题意得圆心 C(m,2),半径 r=4 2.因为点 P(3,0)在圆 C:x +y -2mx-4y+m
2 2 2 2 2 2 2 2

-28=0 内, 所以 3 +0-6m-0+m -28<0, 解得 3-2 7<m<3+2 7.设 C 到直线的距离为 d, 1 1 d +r -d r 2 2 2 2 2 则 d≤|CP|.又 S△ABC= d·|AB|= d·2 r -d ≤ = =16,当且仅当 d =r -d , 2 2 2 2 即 d =16,d=4 时取等号,因此|CP|≥4, ?m-3? +4≥4,即 m≥3+2 3或 m≤3-2 3. 综上,实数 m 的取值范围为[3+2 3,3+2 7)∪(3-2 7,3-2 3]. 答案:[3+2 3,3+2 7)∪(3-2 7,3-2 3] 4.已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与直线 3x-4y+7= 0 相切,且被 y 轴截得的弦长为 2 3,圆 C 的面积小于 13. (1)求圆 C 的标准方程; (2)设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,以 OA,OB 为邻边作平行四边形
2 2 2 2 2 2

OADB.是否存在这样的直线 l,使得直线 OD 与 MC 恰好平行?如果存在,求出 l 的方程;如果
不存在,请说明理由. 解:(1)设圆 C:(x-a) +y =R (a>0),由题意知
2 2 2

?|3a+7|=R ? 2 2 ? 3 +4 ? ? a2+3=R
2

13 ,解得 a=1 或 a= , 8

又∵S=π R <13,∴a=1, ∴圆的方程为(x-1) +y =4. (2)当斜率不存在时,直线 l 为:x=0,不满足题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 又∵l 与圆 C 相交于不同的两点,
? ?y=kx+3 联立? 2 2 ??x-1? +y =4 ?
2 2 2

,消去 y 得:(1+k )x +(6k-2)x+6=0,
2 2

2

2

∴Δ =(6k-2) -24(1+k )=12k -24k-20>0, 2 6 2 6 解得 k<1- 或 k>1+ . 3 3

x1+x2=-


6k-2 2k+ 6 2 ,y1+y2=k(x1+x2)+6= 2, 1+k 1+k →

OD=OA+OB=(x1+x2,y1+y2),MC=(1,-3),
6

→ →

→ → 假设OD∥MC,则-3(x1+x2)=y1+y2, 6k-2 2k+6 ∴3× 2= 2, 1+k 1+k 3 2 6 2 6 解得 k= ?(-∞,1- )∪(1+ ,+∞),假设不成立, 4 3 3 ∴不存在这样的直线 l.

7


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