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2015创新设计(高中理科数学)12-3


第3讲

数学归纳法及其应用

诊断· 基础知识

突破· 高频考点

培养· 解题能力

[最新考纲] 1.了解数学归纳法的原理.

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

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突破· 高频考点<

br />
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知识梳理

1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立.

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正
整数n都成立.

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2.数学归纳法的框图表示

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辨析感悟
1.数学归纳法原理 (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成 立. (×)

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明. (×) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用. (×)

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2.数学归纳法的应用 (4)(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2n(n-3)条时,第一步检验 n 等于 3. (√)

1 1 1 1 (5)已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1-2+3-4+?-n=
? 1 1 1? ? 2?n+2+n+4+?+2n? ?时,若已假设 ? ?

n=k(k≥2 且 k 为偶数)时

命题为真, 则还需要用归纳假设再证 n=k+2 时等式成立. (√) (6)不论是等式还是不等式, 用数学归纳法证明时, 由 n =k 到 n =k+1 时,项数都增加了一项.
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(×)
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[感悟·提升]
1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正 整数有关的数学问题.证明时步骤 (1) 和 (2) 缺一不可,步骤 (1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据. 2.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算n=n0的n0不一定为1, 而是根据题目要求选择合适的起始值,如(4),检验n的值从n =3开始,因此(1)不正确.第(2)步,证明n=k+1时命题也成

立的过程,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法,
如(3).

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考点一 用数学归纳法证明等式

【例1】 (2012·天津卷改编)已知等差数列{an}的公差为3,其前
n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为2,且a1=b1=2. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2) 记 Tn = anb1 + an - 1b2 +?+ a1bn , n∈N* ,证明 Tn + 12 =- 2an+10bn(n∈N*).

审题路线

(1)代入等差、等比数列的通项公式求an,bn;(2)

注意到所证结论是关于 “ n” 的命题,可运用数学归纳法证 明.
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(1)解 由a1=2,公差d=3,
∴an=a1+(n-1)d=3n-1. 在等比数列{bn}中,公比q=2,首项b1=2, ∴bn=2·2n-1=2n. (2) 证明 ①当 n = 1 时, T1 + 12 = a1b1 + 12 = 16 ,- 2a1 + 10b1 = 16,故等式成立; ②假设当n=k时等式成立,

即Tk+12=-2ak+10bk,
当n=k+1时,

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Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+?+a1bk+1
=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+?+a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12, 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.

因此n=k+1时等式也成立.
由①、②可知,对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立.

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规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清
等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值 n0 是多 少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式 两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进 行合理变形,正确写出证明过程.

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【训练1】 求证:(n+1)(n+2)·?·(n+n)=2n·1·3·5·?·(2n-
1)(n∈N*). 证明 成立. (2) 假设当 n = k(k∈N*) 时,等式成立,即 (k + 1)(k + 2)·?·(k (1)当n=1时,等式左边=2,右边=21·1=2,∴等式

+k)=2k·1·3·5·?·(2k-1).
当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)·?·2k·(2k+1)(2k+2) =2·(k+1)(k+2)(k+3)·?·(k+k)·(2k+1)

=2·2k·1·3·5·?·(2k-1)·(2k+1)
=2k+1·1·3·5·?·(2k-1)(2k+1). 这就是说当n=k+1时,等式成立. 根据(1)、(2)知,对n∈N*,原等式成立.
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考点二 用数学归纳法证明不等式
1 1 1 1 1 1 3 【例 2】 由下列不等式:1>2,1+2+3>1,1+2+3+?+7>2,1 1 1 1 +2+3+?+15>2,?,你能得到一个怎样的一般不等式?并 加以证明.

审题路线 观察前 4 个式子,左边的项数及分母的变化?不难 1 1 1 n 发现一般的不等式为 1+2+3+?+ n >2(n∈N*),并用数 2 -1 学归纳法证明.
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1 1 1 n 解 一般结论:1+2+3+?+ n >2(n∈N*),证明如下: 2 -1 (1)当 n=1 时,由题设条件知命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,猜想正确. 1 1 1 k 即 1+2+3+?+ k >2. 2 -1 1 1 1 1 1 k 1 当 n=k+1 时,1+2+3+?+ k + k+?+ k+1 > + k+ 2 -1 2 2 -1 2 2 1 1 +?+ k+1 k 2 +1 2 -1 1 1 1 k k 2k k+1 >2+ k+1+ k+1+?+ k+1=2+ k+1= 2 . 2 2 2 2
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∴当 n=k+1 时,不等式成立. 1 1 1 n 根据(1)、(2)可知,对 n∈N 1+2+3+?+ n >2. 2 -1
*,

规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时命题成立

证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综
合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、 不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.

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【训练2】 若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,

xn+1是过点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横
坐标,试运用数学归纳法证明:2≤xn<xn+1<3.
证明 (1)当 n=1 时,x1=2,f(x1)=-3,Q1(2,-3).

∴直线 PQ1 的方程为 y=4x-11, 11 令 y=0,得 x2= 4 , 因此,2≤x1<x2<3,即 n=1 时结论成立. (2)假设当 n=k 时,结论成立,即 2≤xk<xk+1<3. f?xk+1?-5 ∴直线 PQk+1 的方程为 y-5= (x-4). xk+1-4
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又 f(xk+1)=x2 k+1-2xk+1-3,代入上式,令 y=0, 3+4xk+1 5 得 xk+2= =4- , 2+xk+1 2+xk+1 由归纳假设,2<xk+1<3, 5 5 xk+2=4- <4- =3; 2+xk+1 2+3 ?3-xk+1??1+xk+1? xk+2-xk+1= >0,即 xk+1<xk+2. 2+xk+1 所以 2≤xk+1<xk+2<3,即当 n=k+1 时,结论成立. 由(1)、(2)知对任意的正整数 n,2≤xn<xn+1<3.

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考点三 归纳——猜想——证明
an 1 【例 3】已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: Sn= 2 +a -1, 且 an>0, n n∈N*. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

审题路线 从特殊入手,正确计算a1,a2,a3,探求an与n的

一般关系?运用数学归纳法严格证明.

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(1)解

当 n=1 时,

a1 1 由已知得 a1= 2 +a -1,a2 1+2a1-2=0. 1 ∴a1= 3-1(a1>0). a2 1 当 n=2 时,由已知得 a1+a2= 2 +a -1, 2 将 a1= 3-1 代入并整理得 a2 2+2 3a2-2=0. ∴a2= 5- 3(a2>0). 同理可得 a3= 7- 5. 猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N*).
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(2)证明 ①由(1)知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立, 即 ak= 2k+1- 2k-1. ak+1 1 ak 1 由于 ak+1=Sk+1-Sk= 2 + - 2 -a , ak+1 k 将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式,整理得 a2 k+1+2 2k+1ak+1-2=0, ∴ak+1= 2k+3- 2k+1, 即 n=k+1 时通项公式成立. 由①、②,可知对所有 n∈N*,an= 2n+1- 2n-1都成立.
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规律方法 “归纳—猜想—证明”的模式,是不完全归纳法与数学
归纳法综合应用的解题模式,这种方法在解决探索性问题、存 在性问题时起着重要作用,它的模式是先由合情推理发现结 论,然后经逻辑推理证明结论的正确性.

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1 3 【训练 3】 已知函数 f(x)=3x -x,数列{an}满足条件:a1≥1,an 1 1 1 1 + + +?+ 与 1 + 1≥f′(an + 1) .试比较 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 的大小,并说明理由.

解 ∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),

∴an+1≥(an+1)2-1.
∵函数 g(x) = (x + 1)2 - 1 = x2 + 2x 在区间 [1 ,+∞ ) 上单调递 增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1, 进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1, 由此猜想:an≥2n-1.

下面用数学归纳法证明这个猜想:
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(1)当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;

(2)假设n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即ak≥2k-1,当n=k+1
时,由 g(x) = (x + 1)2 - 1 在区间 [1 ,+∞ ) 上单调递增知, ak +
2 - 1≥22k - 1≥2k + 1 - 1 ,∴当 n = k + 1 时,结论也成 ≥ ( a + 1) 1 k

立. 由(1)、(2)知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1.

1 1 即 1+an≥2 ,因此 ≤ n, 1+an 2
n

?1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + +?+ ≤2+22+23+?+2n=1-?2?n 1+a1 1+a2 1+a3 1+an ? ?

<1.
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1.在数学归纳法中,归纳奠基和归纳递推缺一不可.在较复杂

的式子中,注意由 n= k 到 n =k + 1 时,式子中项数的变化应
仔细分析,观察通项.同时还应注意,不用假设的证法不是 数学归纳法. 2 .对于证明等式问题,在证 n =k + 1等式也成立时,应及时把 结论和推导过程对比,以减少计算时的复杂程度;对于整除

性问题,关键是凑假设;证明不等式时,一般要运用放缩
法.

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3.归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种,一般经过计算、观
察、归纳,然后猜想出结论,再用数学归纳法证明.由于 “猜想”是“证明”的前提和“对象”,务必保证猜想的正 确性,同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.

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答题模板14——数学归纳法在数列问题中的应用
【典例】 (12 分)(2012· 安徽卷改编)数列{xn}满足 x1=0,xn+1=-
* x2 n+xn+c(n∈N ).

(1)证明:{xn}是递减数列的充要条件是 c<0; 1 (2)若 0<c≤4,证明数列{xn}是递增数列.
[规范解答] +c<xn, ∴数列{xn}是递减数列. 必要性:若{xn}是递减数列,则 x2<x1,且 x1=0.
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(1)充分性:若 c<0,由于 xn+1=-x2 n+xn+c≤xn

(2 分)

又 x2=-x2 1+x1+c=c,∴c<0. 故{xn}是递减数列的充要条件是 c<0. 1 (2)若 0<c≤4,要证{xn}是递增数列. 即 xn+1-xn=-x2 n+c>0, 即证 xn< c对任意 n≥1 成立. 下面用数学归纳法证明: 1 当 0<c≤4时,xn< c对任意 n≥1 成立. 1 ①当 n=1 时,x1=0< c≤2,结论成立.
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(4 分)

(6 分)

(7 分)
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②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即 xk< c. 因为函数 f(x)=-x +x+c
2

? 1? 在区间?-∞,2?内单调递增, ? ?

所以 xk+1=f(xk)<f( c)= c, ∴当 n=k+1 时,xk+1< c成立. 由①、②知,xn< c对任意 n≥1,n∈N*成立. 因此,xn+1=xn-x2 n+c>xn,即{xn}是递增数列. (12 分) (10 分)

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[反思感悟] (1)第(1)问易只判定充分性或必要性,证明不完整而失 分. (2)难以将第(2)的结论转化为判定 xn< c;或在证明 n=k+1 时, 不能运用函数 f(x)=-x2+x+c 的单调性,导致归纳假设运用受阻 束手无策.

答题模板

第一步:利用充要条件的意义,判定{xn}递减?c<0;

第二步:运用分析法,将结论转化为判定 xn< c; 第三步:验证 n=1 时,结论成立; 第四步:假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,xk< c,证明当 n=k+1 时 xk+1< c; 第五步:回顾反思,查看关键点、易错点,得出结论.
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【自主体验】 3bn+4 (2014· 北京东城质检)在数列{bn}中,b1=2,bn+1= (n ∈ 2bn+3 N*).求 b2,b3,试判定 bn 与 2的大小,并加以证明.



3bn+4 由 b1=2,bn+1= ,得 2bn+3

3×2+4 10 58 b2= = 7 ,b3=41. 2×2+3 经比较有 b1> 2,b2> 2,b3> 2. 猜想 bn> 2(n∈N*) 下面利用数学归纳法证明.
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(1)当 n=1 时,因 b1=2,所以 2<b1. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即 2<bk. ∴bk- 2>0. 3bk+4 当 n=k+1 时,bk+1- 2= - 2 2bk+3 ?3-2 2?bk+?4-3 2? ?3-2 2??bk- 2? = = >0. 2bk+3 2bk+3 ∴bk+1> 2,也就是说,当 n=k+1 时,结论也成立. 根据(1)、(2),知 bn> 2(n∈N*).

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