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2018课标版文数一轮(11)第十一章-复数、算法、推理与证明3-第三节 合情推理与演绎推理

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第三节

合情推理与演绎推理
A 组 基础题组

1.观察下列各式:5 =3125,5 =15625,5 =78125,??,则 5
5 6 7

2017

的末四位数字为(

)

A.3125
2

B.5625
4 3

C.0625

D.8125

2.观察(x )'=2x,(x )'=4x ,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) B.-f(x)
2

) D.-g(x)
3 4 4 5 5 10 10

C.g(x)
2 3

3.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,??,则 a +b =( A.28 B.76 C.123 D.199

)

4.给出以下数对序列: (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ?? 记第 i 行的第 j 个数对为 aij,如 a43=(3,2),则 anm=( A.(m,n-m+1) C.(m-1,n-m+1) B.(m-1,n-m) D.(m,n-m)
1 +2 2 +3 3 +?+n 1+2+3+?+

)

5.已知数列{an}是正项等差数列,若 cn= 等比数列,类比上述结论可得( A.若{dn}满足 dn= B.若{dn}满足 dn=
1 +22 +33 +?+n 1+2+3+?+

,则数列{cn}也为等差数列.已知数列{bn}是正项

) ,则{dn}也是等比数列 ,则{dn}也是等比数列
1

1 ·22 ·33 ·?·n 1 ·2·3·?·

C.若{dn}满足 dn=(b1·2b2·3b3·?·nbn)1+2+3+?+ ,则{dn}也是等比数列
3 2 1+2+3+?+ D.若{dn}满足 dn=(b1·2 ·3 ·?· ) ,则{dn}也是等比数列
1

1

6.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= + + ,类比这个结论可知: 四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 R=( A. C.


2

) B. D.
2
1 +2 +3 +4

1 +2 +3 +4

3

4

1 +2 +3 +4

1 +2 +3 +4

7.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢 的截面图.其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,??按此规律,以 f(n) 表示第 n 个图的蜂巢总数.

则 f(4)=

,f(n)=

.

8.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,?,xn,都有
( 1 )+f( 2 )+?+f( )

≤f

1 + 2 +?+

.已知 y=sinx 在区间(0,π )上是凸函数,那么在△ABC .

中,sinA+sinB+sinC 的最大值是

9.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°; ②sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; ③sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

B组

提升题组

10.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位 号码符合要求的应当是( ) 窗 口 A.48,49 B.62,63 C.75,76 1 6 11 ? 2 7 12 ? D.84,85 过 道 3 8 13 ? 4 9 14 ? 5 10 15 ? 窗 口

11.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中 的 1,4,9,16,?为正方形数.下列数中,既是三角形数又是正方形数的是( A.289 B.1024 C.1225 D.1378 )

12.对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式: [ 1]+[ 2]+[ 3]=3, [ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=10, [ 9]+[ 10]+[ 11]+[ 12]+[ 13]+[ 14]+[ 15]=21, ?? 按照此规律,第 n 个等式的等号右边的结果为 13.设函数 f(x)= +2(x>0),观察: f1(x)=f(x)= +2, f2(x)=f[f1(x)]=3 +4, f3(x)=f[f2(x)]=7 +8,
3


.

f4(x)=f[f3(x)]=15 +16, ?? 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f[fn-1(x)]=
*



.

14.如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标 0, 点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4,点(-1,0)处标 5,点(-1,1)处标 6,点 (0,1)处标 7,??依此类推,则标签为 2013 的格点的坐标为
2

.

15.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都是同一常数,那么这个数列叫“等 和数列”,这个常数叫做这个数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,求: (1)a18 的值; (2)该数列的前 n 项和 Sn.

4

答案全解全析 A 组 基础题组
1.A 5 =3125,5 =15625,5 =78125,5 =390625,5 =1953125,5 =9765625,??,可得 5 与 5 ,5 与 5 的末四
5 6 7 8 9 10 9 5 10 6 m+4k

位数字相同,??,由此可归纳出 5 5
2017

与 5 (k∈N ,m=5,6,7,8)的末四位数字相同,又 2017=4×503+5,所以
m *

与 5 的末四位数字相同,故 5
5

2017

的末四位数字为 3125,故选 A.

2.D 由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知 f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x).选 D. 3.C 解法一:由 a+b=1,a +b =3 得 ab=-1,则 a +b =(a +b ) -2a b =123,故选 C.
2 2 10 10 5 5 2 5 5

解法二:令 an=a +b ,则 a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=11,??,得 an+2=an+an+1,从而
n n

a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选 C. 4.A 由前 4 行的特点,归纳可得:若 anm=(a,b),则 a=m,b=n-m+1,∴anm=(m,n-m+1). 5.D 设等比数列{bn}的公比为 q(q>0),则
3 3 2 n n b1·b2 2 ·b3 ·?·bn =b1·(b1q) ·(b1q ) ·?·(b1q ) =(b1·b1 ·b1 ·?·b1 )(q
2 2 3 n-1 n 1×2

·q

2×3

·?·q

(n-1)n

)=

?+n b1+2+3+ ·q 1
(n-1)n

1×2+2×3+?+

=b1

n (n +1) 2

q1

2 +1+22 +2+?+(n-1)2 +(n-1)

=b1

n (n +1) 2

q

n (n +1)(n -1) 3

,

3 n 所以 dn=(b1·b2 2 ·b3 ·?·bn )1+2+3+?+n =b1q

1

2(n -1) 3

,即{dn}也是等比数列.
1 1 1 1

6.C 设四面体的内切球的球心为 O,那么 V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,∴V=3S1R+3S2R+3S3R+3S4R,可得 R=S
3V
1 +S 2 +S 3 +S 4

.故选 C.
2

7. 答案 37;3n -3n+1 解析 因为 f(1)=1,f(2)=7=1+6,f(3)=19=1+6+12,所以 f(4)=1+6+12+18=37,所以 f(n)=1+6+12+18+?+6(n-1)=3n -3n+1. 8. 答案
3 3 2 f(x 1 )+f(x 2 )+?+f(x n ) n
2

解析 由题意知,凸函数满足

≤f

x 1 +x 2 +?+x n n

,

5

又 y=sinx 在区间(0,π )上是凸函数,∴sinA+sinB+sinC≤3sin 9. 解析 (1)选择②式,计算如下: sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1-2sin30°=1-4=4.
2 2

A+B+C 3

=3sin =
3

3 3 2

.

1

1 3

(2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= .
2 2

3 4

证法一: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) =sin α +4cos α + 2 sinα cosα +4sin α - 2 sinα cosα -2sin α = sin α + cos α = .
4 4 4 3
2 2 2 2 2 2

3

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

证法二: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =
1- 2α 1+ (60 °-2α ) 2 1 1 2 2 1 1
2 2

+

2 1 1 2 2 1 1

-sinα ·(cos30°cosα +sin30°sinα )
3 1 2
2

= - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- sinα cosα - sin α
2

=2-2cos2α +2+4cos2α + 4 sin2α - 4 sin2α -4(1-cos2α )=1-4cos2α -4+4cos2α =4.

3

3

1

1

1 1

3

B 组 提升题组
10.D 由已知图形中座位的排序规律可知,被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号靠窗,由于两旅客希望 座位连在一起,且有一个靠窗,分析选项中的 4 组座位号知,只有 D 符合条件. 11.C 观察三角形数:1,3,6,10,?,记该数列为{an},则 a1=1, a2=a1+2, a3=a2+3, ?? an=an-1+n. ∴a1+a2+?+an=(a1+a2+?+an-1)+(1+2+3+?+n), ∴an=1+2+3+?+n=
n(n+1) 2

,

6

观察正方形数:1,4,9,16,?,记该数列为{bn},则 bn=n .把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,
2

可知使得 n 都为正整数的只有 1225. 12. 答案 2n +n
2

解析 因为 [ 1]+[ 2]+[ 3]=1×3,[ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=2×5,[ 9]+[ 10]+[ 11]+[ 12]+[ 13]+[ 14 ]+[ 15]=3×7,??,按照此类推,第 n 个等式的等号右边的结果为 n(2n+1),即 2n +n.
2

13. 答案

x (2n -1)x+2n x

解析 f1(x)=f(x)=
x

x+2

,
x

f2(x)=f[f1(x)]=3x+4=(22 -1)x+22 , f3(x)=f[f2(x)]=7x+8=(23 -1)x+23 , f4(x)=f[f3(x)]=15x+16=(24 -1)x+24 , ?? ∴当 n≥2 且 n∈N 时,fn(x)=f[fn-1(x)]=
*

x

x

x

x

x

(2n -1)x+2n

.

14. 答案 (1007,1006) 解析 因为点(1,0)处标 1=1 ,点(2,1)处标 9=3 ,点(3,2)处标 25=5 ,点(4,3)处标 49=7 ,??依此类推
2 2 2 2

得点(1007,1006)处标 2013 .
2

15. 解析 (1)由等和数列的定义,及数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,易知 a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,?),故 a18=3. (2)当 n 为偶数时, Sn=a1+a2+?+an=(a1+a3+?+an-1)+(a2+a4+?+an) =2 + 2 + ? + 2+3 + 3 + ? + 3
n 个 2

2

n 个 2

3

=2n; 当 n 为奇数时,

5

7

若 n>1,则 Sn=Sn-1+an=2(n-1)+2=2n-2, 又 S1=a1=2 满足上式, ∴当 n 为奇数时,Sn=2n-2.
5 5 1

5

5

1

综上所述,Sn=

2 5 2

n,n 为偶数, n- ,n 为奇数.
2 1

8


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