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2014届高考数学一轮复习名师首选练习题:第7章 第4节《直线、平面直线的判定及性质》


第七章 第四节 直线、平面直线的判定及性 质 一、选择题 1.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位置 关系是 ( ) A.l∥α B.l⊥α C.l 与 α 相交但不垂直 D.l∥α 或 l? α 2.如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知△A′DE 是△ADE 绕 DE

旋转过程中的一个图形,则下列命题中正 确的是 ( ) ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′?FED 的体积有最大值. A.① B.①② C.①②③ D.②③ 3. 设 α、 β、 γ 为三个不同的平面, m、 n 是两条不同的直线, 在命题“α∩β=m, n? γ , 且________, 则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n? β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m? γ. 可以填入的条件有 ( ) A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或②或③ 4.设 x、y、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z 均为直线;②x、y 是直线,z 是平面;③z 是直线,x、y 是平面;④x、y、z 均为平面,其中使“x⊥z 且 y⊥z ? x∥y”为真命题的是 ( ) A.③④ B.①③ C.②③ D.①② 5.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 m? α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 6.若 α、β 是两个相交平面,点 A 不在 α 内,也不在 β 内,则过点 A 且与 α 和 β 都平行的 直线 ( ) A.只有 1 条 B.只有 2 条 C.只有 4 条 D.有 无数条 二、填空题 7.已知 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题: ①若 l? α,m? α,l∥β,m∥β, 则 α∥β; ②若 l? α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m; ③若 α∥β,l∥α,则 l∥β; ④若 l⊥α,m∥l,α∥β,则 m⊥β. 其中真命题是________(写出所有真命题的序号).
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8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点, 点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________. 9.已知 a、b、l 表示 三条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面, 有下列四个命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ; ②若 a、b 相交,且都在 α、β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b? β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a? α,b? α,l⊥a,l⊥b,则 l⊥α. 其中正确命题的序号是________. 三、解答题 10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1、BC1 上分 别有两点 E、F,且 B1E=C1F. 求证:EF∥平面 ABCD.
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11.如图,已知 α∥β,异面直线 AB、CD 和平面 α、β 分别交于 A、B、 C、D 四点,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:(1) E、F、G、H 共面; (2)平面 EFGH∥平面 α.

12.如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60° , PA=AC=a,PB=PD= 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1, 在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

详解答案 一、选择题

1.解析:l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等,l? α 时,直线 l 上所有的点到 α 的 距离都是 0,l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等,l 与 α 斜交时,也只能有两点到 α 距离相等. 答案:D 2. 解析:①中由已知可得面 A′F G⊥面 ABC, ∴点 A′在面 ABC 上的射影在线 段 AF 上. ②BC∥DE,∴BC∥平面 A′DE. ③当面 A′DE⊥面 ABC 时,三棱锥 A′?FED 的体积达到最大. 答案:C 3.解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m? γ 时,n 和 m 在同一平面 内, 且没有公共点,所以平行,③正确. 答案:C 4.解析:根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确. 答案:C 5.解析:①错,两直线可平行或异面;②两平面可相交,只需直线 m 平行于两平面的交线 即可,故命题错误;③错,直线 n 可在平面内; 答案:D 6.解析:据题意如图,要使过点 A 的直线 m 与平面 α 平行,则据线面平行的 性质定理得经过直线 m 的平面与平面 α 的交线 n 与直线 m 平行,同理可得经 过直线 m 的平面与平面 β 的交线 k 与直线 m 平行,则推出 n∥k,由线面平行 可进一步推出直线 n 与直线 k 与两平面 α 与 β 的交线平行, 即要满足条件的直 线 m 只需过点 A 且与两平面交线平行即可,显然这样的直线有且只有一条. 答案:A 二、填空题 7.解析:当 l∥m 时,平面 α 与平面 β 不一定平行,①错误;由直线与平面平行的性质定 理,知②正确;若 α∥β,l∥α,则 l? β 或 l∥β,③错误;∵l⊥α,l∥m,∴m⊥α,又 α∥β, ∴m⊥β,④正确,故填②④. 答案:②④ 8.解析:因为直线 EF∥平面 AB1C,EF? 平面 ABCD,且平面 AB1C∩平面 ABCD=AC,
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1 所以 EF∥AC, 又因为 E 是 DA 的中点, 所以 F 是 DC 的中点, 由中位线定理可得: EF= AC, 2 又因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,所以 AC=2 2,所以 EF= 2. 答案: 2 9.解析:①如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,可令平面 A1B1CD 为 α,平面 DCC 1D1 为 β,平面 A1B1C1D1 为 γ,又平面 A1B1CD∩平面 DCC1D1=CD,平面 A1B1C1D1∩平面 DCC1D1=C1D1,则 CD 与 C1D1 所在的直线分别表示 a,b,因为 CD∥C1D1,但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1 不平行,即 α 与 γ 不平行,故①错误.②因为 a、b 相交,假设 其确定的平面为 γ,根据 a∥α,b∥α,可得 γ∥α.同理可得 γ∥β,因此 α ∥β,②正确.③由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线和另一 个平面垂直, 易知③正确. ④当 a∥b 时, l 垂直于平面 α 内两条不相交直线, 不可得出 l⊥α, ④错误. 答案:②③ 三、解答题

10. 证明:分别过 E、 F 作 EM∥BB1,FN∥CC1,分别交 AB、BC 于点 M、N,连结 MN. 因为 BB1∥CC1, 所以 EM∥FN. 因为 B1E=C1F,AB1=BC1, 所以 AE=BF. AE EM 由 EM∥BB1 得 = , AB1 BB1 BF FN 由 FN∥CC1 得 = . BC1 CC1 所以 EM=FN,于是四边形 EFNM 是平行四边形. 所以 EF∥MN.又因为 MN? 平面 ABCD, 所以 EF∥平面 ABCD. 11. 证明:(1)∵E、H 分别是 AB、DA 的中点, 1 ∴EH∥BD 且 EH= BD. 2 1 同理,FG∥BD 且 FG= BD, 2 ∴F G∥EH 且 FG=EH. ∴四边形 EFGH 是平行四边形,即 E、F、G、H 共面. (2)平面 ABD 和平 面 α 有一个公共点 A, 设两平面交于过点 A 的直线 AD′. ∵α∥β,∴AD′∥BD. 又∵BD∥EH,∴EH∥BD∥AD′. ∴EH∥平面 α, 同理,EF∥平面 α, 又 EH∩EF=E,EH? 平面 EFGH, EF? 平面 EFGH, ∴平面 EFGH∥平面 α. 12.证明:存在.证明如下:取棱 PC 的中点 F,线段 PE 的中点 M,连接 BD. 设 BD∩AC=O. 连接 BF,MF,BM,OE.

∵PE∶ED=2∶1,F 为 PC 的中点,M 是 PE 的中点,E 是 MD 的中点, ∴MF∥EC,BM∥OE. ∵MF?平面 AEC,CE? 平面 AEC,BM?平面 AEC,OE? 平面 AEC, ∴MF∥平面 AEC,BM∥平面 AEC. ∵MF∩BM=M, ∴平面 BMF∥平面 AEC.
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又 BF? 平面 BMF, ∴BF∥平面 AEC.

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