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江苏省高中数学学案:4《子集、全集、补集》(苏教版必修1)

时间:2014-09-06


第 4 课时 子集、全集、补集(二)
【学习目标】
1. 了解全集的意义,理解补集的概念,能利用 Venn 图和数轴表达集合间的关系; 2. 渗透辩证的观点.

【课前导学】
一、复习回顾 1.A?B ? 对任意的 x?A 有______,此时我们称 A 是 B 的______;如果_______,且_______,则称 A 是 B 的真子集,记作______;如果______ ,且______,则称集合 A 与集合 B 相等,记作_______;空集是 指____________的集合,记作_____. 2.子集的性质? ① A ? A; ② ? ? A; ③ A ? B, B ? C ,则 A ? C ; ④ ? 是任何非空集合的真子集; ⑤真子集具备传递性. 二、问题情境 指出下列各组的三个集合中,哪两个集合之间具有包含关系. (1) S ? ??2, ?1,1, 2? , A ? ??1,1? , B ? ??2, 2? ; (2) S ? R, A ? ?x | x ? 0, x ? R? , B ? ?x | x ? 0, x ? R? ; (3) S ? ?x | x是地球人?,A ? ?x | x是中国人?,B ? ?x | x是外国人? . 【答案】在(1) (2) (3)中都有 A S,B S. 【思考】观察上述 A,B,S 三个集合,它们的元素之间还存在什么关系? 答:A,B 中的所有元素共同构成了集合 S,即 S 中除去 A 中元素,即为 B 元素;反之亦然. 请同学们举出类似的例子: 如:A={班上男同学},B={班上女同学},S={全班同学}.

【课堂活动】
一、建构数学: 【共同特征】集合 B 就是集合 S 中除去集合 A 中的元素之后余下来的集合,可以用文氏图表示.我们 称 B 是 A 对于全集 S 的补集. 补集:设 A ? S,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 中 A 的补集,记作 ?S A ,比如若 S={2,3, 4},A={4,3},则 ? SA=_{2}__. 全集:如果集合 S 包含我们要研究的各个集合,这时 S 可以看作一个全集.全集通常用字母 U 表示. 【注意】 (1) A ? U , 则?U A ? U . (2)一个集合的补集的补集等于它本身. (3) 痧 U U ? ?, U ? ? U . (4)对于不同的全集,同一集合 A 的补集不相同. (如:例 1)

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二、应用数学: 例 1 U ? ?1,2,3,4,5?,S= ?1,2,3,4?,A ? ?1,2?,求CUA,CSA. 解: CU A=?3,4,5? , CSA= ?3,4? . 【解后反思】对于不同的全集,同一集合 A 的补集不相同. 例 2 U=R,A= x -1 ? x ? 3 , 求C UA . 解: CU A= ?x|x<-1或x ? 3? . 【解后反思】数形结合---数轴的使用. 例 3 ①不等式组 ?
?2 x ? 1 ? 0 的解集为 A,试求 A 和 ?R A ,并把他们分别表示在数轴上; ?3x ? 6 ? 0

?

?

②设全集 U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0}, B 是 CR A 的真子集,求实数 a 的取值范围. 解:①A= ? x | ② ∵

? ?

1 1 ? ? ? ? x ? 2? , ?R A = ? x | x ? 或x ? 2 ? ,数轴略; 2 2 ? ? ?

B={x|x+a<0}={x|x<-a} , CR A ={x|x≤1},

B 是 CR A 的真子集 , 如图所示:

-a
∴ -a ≤ 1 即 a≥-1.

1

x

例 4 设全集U=R,A={x|3m-1<x<2m} ,B={x|-1<x<3} , B? ? CUA,求m的取值范围. 解:由条件知,若A= ? ,则3m-1≥2m即m≥1,满足题意; 若A≠ ? ,即m<1时,CUA={x|x≥2m或x≤3m-1} , 则应有 -1≥2m即m≤- 或3m-1≥3即m≥

1 2
与前提m<1矛盾,舍去.

4 3

综上可知:m的取值范围是m≥1或m≤-

1 . 2

【解后反思】空集是任何集合的子集,注意空集的特殊性.

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【变式】 设全集U={1,2,3,4} ,且A={x|x2-mx+n=0,x∈U} ,若CUA={2, 3} ,求m,n的值. 解:∵U={1,2,3,4} ,CUA={2,3}∴A={1,4} . 2 ∴1,4是方程x -mx+n=0的两根. ∴m=1+4=5,n=1×4=4. 三、理解数学:

_,b ? __________ 1.设 U ? R, A ? ?x | a ? x ? b? . , CU A ? ?x | x ? 4或x ? 3?,则 a ? __________
解:a=3,b=4. 2.设U={2,4,3- a 2},P={2, a 2+2- a } ,CUP={-1} ,求 a . 2 解:∵-1∈CUP∴-1∈U∴3- a =-1得 a =±2. 当 a =2时,P={2,4}满足题意. 当 a =-2时,P={2,8} ,8 ? U舍去.因此 a =2. [点评]由集合、补集、全集三者关系进行分析,特别注意集合元素的互异性,所以解题时不要忘记检验, 防止产生增解. 3.已知A={0,2,4,6} ,CSA={-1,-3,1,3} ,CSB={-1,0,2} ,用列举法 写出集合B. 解:∵A={0,2,4,6} ,CSA={-1,-3,1,3} ∴S={-3,-1,0,1,2,3,4,6}又CSB={-1,0,2} ∴B={-3,1,3,4,6} .

【课后提升】
1.若 S={2,3,4},A={4,3},则 CSA={2} . 2.若 S={三角形},B={锐角三角形},则 CSB={直角三角形或钝角三角形} . 3.若 S={1,2,4,8},A=?,则 CSA= S . 4.若 U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CUA={5},则 a=-1 ? 5 . 5.已知 A={0,2,4},CUA={-1,1},CUB={-1,0,2},则 B={1,4}; 6.设全集 U={2,3,m2+2m-3},A={|m+1|,2},CUA={5},求 m 的值. 解:m= - 4 或 m=2. 7.已知全集 U={1,2,3,4},A={x|x2-5x+m=0,x∈U},求 CUA、m. 解:CUA={2,3},m=4;CUA={1,4},m=6) . 8.已知全集 U=R,集合 A={x|0<x-1 ? 5},求 CUA,CU(CUA) . 解:CUA= ?x | x ? 1或x ? 6? ,CU(CUA)=A= ?x |1 ? x ? 6? .

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