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第1章 集合与函数概念 1.3.1 第1课时


第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值

第1课时 函数的单调性

学习 目标

1.了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数单调性的方法. 2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概 念,能准确理解这些定义的本质特点.

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知识梳理

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知识点一 增函数与减函数的定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

思考 任何函数在定义域上都具有单调性吗?
答 函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势,是 递增或递减的一种定性描述,它是函数的局部性质.有的函数不具有单调性, 例
?1,x是有理数, 如:函数 y=? 再如:函数 y=x+1(x∈Z),它的定义域不能用 ?0,x是无理数;

区间表示,也不能说它在定义域上具有单调性.
答案

知识点二

函数的单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 思考 若函数f(x)在定义域内的两个区间 D1,D2上都是减函数,那么f(x) 的减区间能写成D1∪D2吗?
答 1 单调区间不能取并集,如 y= x在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上也

1 递减,但不能说 y=x在(-∞,0)∪(0,+∞)上递减.

答案

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题型探究

重点突破

题型一 求函数的单调区间 (1)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,则函数的单 [-2,1] 、_____ [3,5],在区间___________ [-5,-2]、______ [1,3]上是增函数. 调递减区间是________ 例1

解析

观察图象可知, y=f(x) 的单调区间有 [ - 5 ,- 2] , [ - 2,1] , [1,3] ,
解析答案

[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是增函数,在区间[-2,1],[3,5]

1 (-∞,1),(1,+∞) (2)函数 y= 的单调递减区间是____________________. x-1

解析

1 1 y= 的图象可由函数 y=x 的图象向右平移一个单位得到,如图 x-1

所示,其单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞).

解析答案

例2 画出函数y=-x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间.

2 2 ? ? - x + 2 x + 1 , x ≥ 0 , - ? x - 1 ? +2,x≥0, ? ? y= ? 2 即 y= ? 2 ? ? - x - 2 x + 1 , x < 0 , - ? x + 1 ? +2,x<0. ? ?

函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调减区 间为[-1,0],[1,+∞).

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 1 单调区间.

? ?-x-3,x≤1, 作出函数 f(x)=? 2 ? ? x - 2 ? +3,x>1 ?

的图象, 并指出函数的



? ?-x-3,x≤1, f(x)=? 2 ? ? x - 2 ? +3,x>1 ?

的图象如图所示.

由图象可知:函数的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2];

单调递增区间为[2,+∞).

解析答案

题型二 函数单调性的判定与证明
例3 1 求证:函数 f(x)=x+x在(0,1)上是减函数.

证明 设任意的x1,x2∈(0,1),且x1<x2,
1 1 所以 f(x2)-f(x1)=(x2+x )-(x1+x ) 2 1 x1-x2 ?x2-x1??x1x2-1? 1 =(x2-x1)+ x x =(x2-x1)(1-x x )= . x1x2 1 2 1 2

因为0<x1<x2<1,所以x1x2-1<0,x1x2>0,x2-x1>0,
?x2-x1??x1x2-1? 所以 <0,所以 f(x2)<f(x1). xx
1 2

1 所以函数 f(x)=x+x在(0,1)上是减函数.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练 2

2-x 已知函数 f(x)= , 证明: 函数 f(x)在(-1, +∞)上为减函数. x+1

证明

任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2.

2-x1 2-x2 3?x2-x1? 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1?

∵x2>x1>-1,

∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

∴函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数.

解析答案

题型三 函数单调性的简单应用
例4 解 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实 ∵f(x)=x2-2(1-a)x+2

数a的取值范围. =[x-(1-a)]2+2-(1-a)2,
∴f(x)的减区间是(-∞,1-a].

∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,
∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.

∴1-a≥4,解得a≤-3.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练3 解析

函数f(x)=-x2+2ax+1在(-∞,2)上是增函数,则实数a的

取值范围是______. a≥2
f(x)=-x2+2ax+1=-(x-a)2+1+a2,抛物线开口向下,对称轴

x=a≥2时,f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以实数a的取值范围是a≥2.

解析答案

易错点

忽视函数定义域致误

已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取 2 (0,3) 值范围为_______. 例5 错解 ∵f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1), 2 2 ∴1-a>2a-1,即 a<3.∴a 的取值范围为(-∞,3). ?-1<1-a<1, 正解 由题意可知? 解得 0<a<1.① ?-1<2a-1<1,

又f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1), 2 ∴1-a>2a-1,即 a<3.② 2 2 由①②可知,0<a<3,即所求 a 的取值范围是 0<a<3.
易错警示 解析答案

跟踪训练 4

已知 f(x) 是定义在 [ - 1,1] 上的单调递增函数,若 f(a)<f(2 -
1 1 [3,2)
? ?-1≤a≤1, ?1 ? ≤a≤1, 得?3 ? ? 1 a< , ? ? 2

3a),

则a的取值范围是_______. ? ?-1≤a≤1,
解析

? 由题意得?-1≤2-3a≤1, ? ? ?a<2-3a,

1 1 即3≤a<2.

1 1 ∴a 的取值范围是3≤a<2.

解析答案

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当堂检测

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f?a?-f?b? 1.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a, b, 总有 >0, a-b 则必有( B )

A.函数f(x)先增后减B.f(x)是R上的增函数 C.函数f(x)先减后增D.函数f(x)是R上的减函数
f?a?-f?b? 解析 由 >0 知,当 a>b 时,f(a)>f(b); a-b

当a<b时,f(a)<f(b),
所以函数f(x)是R上的增函数.
解析答案

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2.函数y=x2-6x的减区间是( D ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] 解析

y=x2-6x=(x-3)2-9,故减区间为(-∞,3].

解析答案

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3.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A ) A.y=|x|
1 C.y= x

B.y=3-x
D.y=-x2+4

解析

1 (排除法)函数 y=3-x 在 R 上为减函数,函数 y=x 在(0,+∞)上

是减函数,函数 y=-x2+4 在[0,+∞)上是减函数.

解析答案

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4.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,若a∈R,则( C ) A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a+3)>f(a-2) D.f(6)>f(a) 解析 因为函数f(x)是增函数,且a+3>a-2, 所以f(a+3)>f(a-2).

解析答案

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1 (-∞,2],[1,+∞) 5.函数y=x|x-1|的单调递增区间是____________________.

解析

2 ? x ? -x,x≥1, 画出函数 y=x|x-1|=? 2 的图象, ? ?-x +x,x<1

1 如图, 可得函数的单调递增区间为(-∞, [1, +∞). 2],

解析答案

课堂小结

1.对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同的区

间上可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的 “整体”性质,因此定义中的x1、x2有

以下几个特征:一是任意性,即任意取x1 ,x2 ,“任意” 二字绝不能丢
掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规

定x1<x2;三是属于同一个单调区间.
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推,

即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2).

(4) 并不是所有函数都具有单调性 . 若一个函数在定义区间上既有增区间

又有减区间,则此函数在这个区间上不存在单调性.
2.单调性的证明方法

证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤:
(1)设元:设x1、x2∈D且x1<x2;

(2)作差:将函数值f(x1)与f(x2)作差;
(3)变形:将上述差式(因式分解、配方等)变形;

(4)判号:对上述变形的结果的正、负加以判断;
(5)定论:对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点,变形一定要到位,

即变形到能简单明了的判断符号的形式为止,切忌变形不到位就定号.

3.单调性的判断方法 (1)定义法:利用定义严格判断. (2)图象法:作出函数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调区间. (3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断: “增+增=增”,“减+减 =减”,“增-减=增”,“减-增=减”.

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