人教A高中数学必修2全册复习课件(上课)(1)

柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构
识 图

图

画

简单几何体的结构特征

空 间 几 何 体

柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影

直观图

斜二测画法 空间几何体

柱、锥、台、球的表面积与体积

概念 棱柱

多面体
柱 锥 台 球 旋转体

棱锥

性质 侧面积

棱台

体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积 体积

球

由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体

棱柱

结构特征
有两个面互相平行，其 余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面 围成的多面体。

E’ F’ A’

D’ B’

C’

底 面

E
侧棱

D
C B

F A
侧面

顶点

注意：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
答：不一定是．如图所示，不是棱柱．

棱柱的性质

1.侧棱都相等，侧面都是平 行四边形； 2.两个底面与平行于底面的 截面都是全等的多边形； 3.平行于侧棱的截面都是平 行四边形；

棱柱的分类
1、按侧棱是否和底面垂直分类： 棱柱 斜棱柱 2、按底面多边形边数分类： 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、· · · · · ·

直棱柱

正棱柱 其它直棱柱

棱柱的分类
按 边 数 分

三棱柱
按侧 棱是 否与 底面 垂直 分

四棱柱

五棱柱

斜棱柱

直棱柱

正棱柱

几种六面体的关系：
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是

底面为

侧棱与底面 边长相等

矩形

正方形

长方体

正四棱柱

正方体

棱锥

顶点 S

结构特征
有一个面是 多边形，其余各 面都是有一个公 共顶点的三角形。

侧面
C

D B

A

棱锥的分类
按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱 锥、五棱锥、……

S

A B D

C

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的 射影是底面中心的棱锥。

【知识梳理】 棱锥

1、定义： 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的 三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面 的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形。

正棱锥性质2

棱锥的高、斜高和斜高在 底面的射影组成一个直角 三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成 一个直角三角形
Rt⊿ SOH Rt⊿ SOB Rt⊿ SHB Rt⊿ BHO

棱台由棱锥截得而成，所以在棱台中也有类 似的直角梯形。

棱台

结构特征
D’ C’ B’ C

用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥,底 面与截面之间的部分是 棱台.

D A’

A

B

圆柱

结构特征
以矩形的一边所在直 线为旋转轴,其余三边旋转 形成的曲面所围成的几何 体叫做圆柱。
母 线

A’

O’

B’ B’

轴 侧 面

A

O B

底面

圆锥

顶点 S 母 线 轴 侧 面

结构特征
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥。

A

O
B

底面

圆台

结构特征
用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆 锥,底面与截面之间的 部分是圆台.
O’ O

球

结构特征
以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半 圆面旋转一周形成的 旋转体.
半径 O 球心

空间几何体的表面积和体积 圆柱的侧面积： S ? 2? rl 圆锥的侧面积： S ? ? rl 面积 圆台的侧面积： S ? ? ( r ? ? r )l
球的表面积：

S ? 4? R
3

2

柱体的体积： V ? Sh 体积 锥体的体积： V ? 1 Sh 台体的体积：V ? 1 ( S ? ?
3 S ?S ? S ) h

球的体积：

V ? 4 ? R3 3

练习
1.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (C)2cm2 (B) 2 2 cm2 (D)

2 cm2

2.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积 是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为( (A)1 : 4
C

)

(B) 1 : 3

(C) 1 : 8

(D) 1 : 7

2 6

练4：一个正三棱锥的底面边长是6，高是 3 ，那么这个正三棱 锥的体积是（ A ） 7 9 （A）9 （B） （C）7 （D） 2 2

A1

C1 B1

练5：一个正三棱台的上、下底 面边长分别为3cm和6cm， 高是1.5cm，求三棱台的侧 面积。

27 3 cm 2 2

A B

C

6.如图，等边圆柱（轴截面为正 方形ABCD）一只蚂蚁在A处，想
吃C1处的蜜糖，怎么走才最快，并 求最短路线的长？

D

C

D

C

A

B

A

B

知识框架

二、空间几何体的三视图和直观图 中心投影 投影 平行投影 三视图 正视图 侧视图 俯视图

直观图

斜二测 画法

平行投影法 投影线相互平行的投影法. （1）斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法. （2）正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.
斜 投 影 法
a c b

A

C B

A C

B
a b

正 投 影 法

c

平行投影法

三视图的形成原理

正 投 影

有关概念
物体向投影面投影所得 到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直 的投影面分别投影，所得到 的三个图形摊平在一个平面 上，则就是三视图。

三视图的形成
正视图 侧视图

俯视图

正 视 图

高

高 宽

长
长 宽

侧视图
?长对正,

展 开 图

?高平齐,

俯视图

?宽相等.

三视图的作图步骤
俯视图方向 1.确定视图方向 2.先画出能反映物体 真实形状的一个视图 侧视图方向
4.运用长对正、高平 齐、宽相等的原则画 出其它视图 5.检查,加深, 加粗。

正视图方向

总结

(1)一般几何体，投影各顶点,连接。

画三视图： (2)常见几何体,熟悉。

三视图中，
两个三角形， 一般为锥体 两个矩形， 一般为柱体 两个梯形， 一般为台体 两个圆， 一般为球

斜二测画法步骤是： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y 轴， 两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成 对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使 ∠x’O’y’=45°（或135 °），它们确定的 平面表示水平面。 （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线 段。 （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观 图中保持原长度不变，平行于y轴的线段， 长度为原来的一半。

练1：圆柱的正视图、侧视图都是 矩形 ，俯视图是 圆 ； 圆锥的正视图、侧视图都是 三角形 ，俯视图是圆及圆心； 圆台的正视图、侧视图都是 梯形 ，俯视图是 圆环 。
练2：利用斜二测画法可以得到： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平 行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图 是菱形。以上结论正确的是（ A ） （A）①② （B）① （C）③④ （D）①②③④ 练3：根据三视图可以描述物体的形状，其中根据左视图可以判 断物体的 宽度和高度 ；根据俯视图可以判断物体的 长度和宽度 ；根据正视图可以判断物体的 长度和高度。
“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.

练4：某生画出了图中实物的正视图与俯视图，则下列判断正确的 是（ B ） A.正视图正确，俯视图正确 B.正视图正确，俯视图错误 C.正视图错误，俯视图正确 D.正视图错误，俯视图错误 俯视 正视图 俯视图 左视
正视 练5：下图中三视图所表示物体的形状为（ 一个倒放着的圆锥 ） 主视图 左视图 俯视图

6.一平面图形的直观图如图所示，它原来的面积是 （ A）

A. 4

B.

4 2

C. 2
y’

2

D.8

B 2

o’

2

A

x’

7.如图所示， △ABC的直观图△A’B’C’,这里△A’B’ C’ 是边长为2的正三角形，作出△ABC的平面图 ，并求 △ABC的面积.
4 6
A’
y’

B’

O’

C’

x’

练习8：
正三棱柱的侧棱为2，底面是边长为2
的正三角形，则侧视图的面积为（ B ）

A.

4

B. 2

3

C. 2

2

D.

3

2
3
侧视图

9：

将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是

三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按

图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
H B A
Q

G C I

A

侧视 B

C

E
图1

P

D F

E
图2

D F
B

B

B

B

E A．

E B．

E C．

E D．

练习10：(1)如图是一个空间几何体
的三视图，如果直角三角形的直角边 长均为1，那么几何体的体积为( C )
正视图
侧视图

A ．1

1 B． 2

C． 1

1 D． 6

俯视图

3

1 1 1 V ? S 底 h ? ? 1?1?1 ? 3 3 3

1 1

1

11.已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸 8000 3 （单位：cm），可得这个几何体的体积是________. cm 3
20

主视图
10 10

20

侧视图

20

俯视图

20

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
? 四个公理
? 三类关系 直线与直线位置关系 直线与平面位置关系 平面与平面位置关系 线线角 线面角 二面角 线面平行的判定定理与性质定理 线面垂直的判定定理与性质定理 面面平行的判定定理与性质定理 面面垂直的判定定理与性质定理

? 三种角

? 八个定理

四个公理
? 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线 在平面内.（常用于证明直线在平面内）

? 公理2：不共线的三点确定一个平面. （用于确定平面）. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面. ? 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共 点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）. ? 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

三类关系
?共面:a b=A,a//b 1.线线关系： ? ?异面:a与b异面
异面直线： （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个 平面内不过此点的直线是异面直线。

异面直线所成的角： （1） 范围： ? ? ? 0?,90?? ； （2）作异面直线所成的角：平移法
?

a' a b

? b' O

三类关系
2.线面关系
?l ? ? ? ?l ? ? A ? ?l ? ? ?l // ? ? ?
P

?

A

? O

直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交， 则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

3.面面关系

?平行：? //? ? ?斜交：? ? =a ? ?相交 ?垂直：? ? ? ? ?

①二面角： （1）定义： 【如图】 ；范围： ?AOB ?[0?,180?] OB ? l , OA ? l ? ?AOB是二面角?－l ? ? 的平面角 ②作二面角的平面角的方法： （1）定义法； （2）三垂线法（常用） ； （3）垂面法.

八个定理
1.线面平行： ①定义：直线与平面无公共点.

a // b ? ? ②判定定理： a ? ? ? ? a // ? （线线平行 ? 线面平行） b ??? ? ? ? ③性质定理： a ? ? ? ? a // b （线面平行 ? 线线平行） ? ? ? b? ? a // ?

八个定理
④判定或证明线面平行的依据： （i）定义法（反证） ： l ? ? ? ? l // ? （用于判断） ；

a // b ? ? （ii）判定定理： a ? ? ? ? a // ? “线线平行 ? 面面平行” （用于证明） ； b ??? ?

? // ? ? （iii） （用于证明） ； ? ? a // ? “面面平行 ? 线面平行” a ???
b?a? ? （Ⅳ） b ? ? ? ? a // ? （用于判断） ； a ??? ?

八个定理
2.面面平行： ①定义： ?

? ? ? ? ? // ? ；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： a, b ? ? , a

b ? O, a // ? , b // ? ? ? // ?

? // ? ? ? ③面面平行的性质定理： ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? b? ?

八个定理
④判定与证明面面平行的依据： （1）定义法； （2）判定定理及结论 1； （3）结论 2. 结论 1：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的 两条直线，那么这两个平面互相平行 符号表述： a, b ? ? , a

b ? O, a ', b ' ? ? , a // a ', b // b ' ? ? // ?

结论 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 符号表述： a ? ? , a ? ? ? ? // ? .【如右图】
? ?

a

八个定理
3.线面垂直 ①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线， 则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意 a ? ? , 都有 l ? a ，且 l ? ? ，则 l ? ? .

a, b ? ? ? a b ? O? ? ? ②判定定理： l ? ? ? ? l ? ? （线线垂直 ? 线面垂直） ? l?a ? l ?b ? ?
③性质定理： a ? ? , b ? ? ? a // b （线面垂直 ? 线线平行） ； 另： l ? ? , a ? ? ? l ? a （线面垂直 ? 线线垂直） ；

八个定理
证明或判定线面垂直的依据： （1）定义（反证） ； （2）判定定理（常用） ；

a // b ? （3） ； ? ? b ? ? （较常用） a ???

? // ? ? （4） ??a ? ? ； a ???
??? ? a ? ? b? ? （5） ? ? a ? ? （面面垂直 ? 线面垂直） a ?? ?
a?b ? ?

八个定理
4.面面垂直 （1）定义：若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90 ? ，则 ? ? ? ； （2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直.

a ??? ? ? ? ? ? （线面垂直 ? 面面垂直） a???

? ?? ? a ? ? AB ? ? (3)性质定理： ； ? ? a ? ? （面面垂直 ? 线面垂直） a ?? ?
a ? AB ? ?

基础知识网络：
平行与垂直关系可互相转化

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?

垂直关系

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定 判定推论 判定

线线垂直

性质 判定

性质

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行

面面平行

线面垂直

立体几何解题中的转化策略

位置关系的相互转化 大策略：空间 小策略： ① 平行转化：线线平行 ② 垂直转化：线线垂直 ③ 平行关系 垂直关系 线面平行 线面垂直 面面平行 面面垂直 平面

例1：在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)求异面直线A1B与B1C所成的角的大小; (2)求直线A1B与平面BB1D1D所成的角; (3)求二面角A—BD—A1的正切值; (4)求证:平面A1BD//平面CB1D1;
A1

D1 B1 D

C
1

(5)求证 : 直线AC1 ? 平面A1BD;
(6)求证 : 平面ABC1 ? 平面A1BD;

C B

(7)求点A1到平面CB1D1的距离.

A

立体几何解题中的转化策略

例2：
如图，在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AA 1 ? AD ? a ，

AB ? 2a ， E 、 F 分别为 C1D1 、 A1 D1 的中点． D 1
（Ⅰ）求证： DE ? 平面 BCE ； （Ⅱ）求证： AF // 平面 BDE ．
D A F A1

E B1

C1

C B

立体几何解题中的转化策略

练习1：
如图，在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AA 1 ? AD ? a ，

AB ? 2a ， E 、 F 分别为 C1D1 、 A1 D1 的中点． D 1
（Ⅰ）求证： DE ? 平面 BCE ； （Ⅱ）求证： AF // 平面 BDE ．
D F A1

E B1

C1

C B

2a

2a

A

2a

平面中的数量关系隐藏着三角形特征！

立体几何解题中的转化策略

练习1：
如图，在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AA 1 ? AD ? a ，

AB ? 2a ， E 、 F 分别为 C1D1 、 A1 D1 的中点． D 1
（Ⅰ）求证： DE ? 平面 BCE ； （Ⅱ）求证： AF // 平面 BDE ．
D A F A1

E B1

C1

C

O

B

策略：线面平行转化成线线平行（空间转化平面）

转化需要辅助线的添加！

立体几何解题中的转化策略 例3（综合题型）： 一个多面体的直观图及三视图如图所示：

BC 的中点） （其中 M , N 分别是 AF 、

正视图

侧视图

俯视图

立体几何解题中的转化策略 例3（综合题型）： 一个多面体的直观图及三视图如图所示：

BC 的中点） （其中 M , N 分别是 AF 、
（1）求该多面体的表面积与体积； 解： 1 2 2

S ? 2? ? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 2 2 ? 12 ? 4 2

1 2 V ? ?2 ?2 ? 4 2
策略：空间几何体的相互转化 可考虑将该多面体补图成正方体

ADE ? BCF AB ? AD ? AE ? 2
直三棱柱

DE ? CF ? 2 2

AD ? AE

立体几何解题中的转化策略 例3（综合题型）： 一个多面体的直观图及三视图如图所示：

BC 的中点） （其中 M , N 分别是 AF 、
（2）求证： MN //平面 解： ； CDEF

连结BE，EC， 则BE经过点M
在 BEC中， MN是中位线

? ? EC ? 平面CDEF ? ? MN // 平面CDEF DE ? CF ? 2 2 MN ? 平面CDEF ? AD ? AE ? MN // EC

ADE ? BCF AB ? AD ? AE ? 2
直三棱柱

策略：利用中位线将线面平行转化成线线平行

立体几何解题中的转化策略 例3（综合题型）： 一个多面体的直观图及三视图如图所示：

BC 的中点） （其中 M , N 分别是 AF 、
（3）求二面角 C ? AF 解：

? B 的正切值；

连结MC, MB

AB ? BF ? 2, AC ? CF ? 2 2, M 为AF的中点
?CMB为二面角C - AF - B的平面角 CB ? 2, MB ? 2, 在Rt CMB中 CB tan ?CMB ? ? 2 MB

ADE ? BCF AB ? AD ? AE ? 2
直三棱柱

DE ? CF ? 2 2

AD ? AE

策略：将二面角转化成平面角, 先找后求

立体几何解题中的转化策略 例3（综合题型）： 一个多面体的直观图及三视图如图所示：

O

BC 的中点） （其中 M , N 分别是 AF 、
（4）求多面体 A ? CDEF 的体积； 解：

多面体A - CDEF为四棱锥 且侧面ADE ? 底面CDEF

点A到平面CDEF的垂线必在平面ADE内， 且垂直于交线DE

AE ? AD ? 2， 取DE中点为O ? AO ? 底面CDEF， AO ? 2 1 8 ?V ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 3 3

ADE ? BCF AB ? AD ? AE ? 2
直三棱柱

DE ? CF ? 2 2

AD ? AE
策略：将点面距离转化成点线距离

直线和圆

直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角

直 线 方 程 的 五 种 形 式

两 条 直 线 的 位 置 关 系

点 到 直 线 的 距 离 公 式

圆 的 标 准 及 一 般 方 程

直 线 与 圆 的 位 置 关 系

圆 与 圆 的 位 置 关 系

了 解 空 间 直 角 坐 标 系

空 间 两 点 的 距 离 公 式

一、直线与直线方程

直线的倾斜角和斜率

直线与直线方程

直线的方程

两直线的位置关系

1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是

0 ? ? ? 180 .
? ?

2、直线的斜率
k ? tan? , (? ? 90? )

意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的 倾斜程度。 直线的斜率计算公式：即 k ?

y ?y x ?x
2 2

1

1

直线方程的形式：
形式 条件 方程 应用范围

点斜式

过点( x0,y0), 斜率为k

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

k存在 k存在
k存在 且k ? 0
k存在且 ? 0 且不过原点

斜截式 在y轴上的截距为b, 斜率为k 两点式 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

截距式 在y轴上的截距为b, 在x轴上的截距为a 一般式

x y ? ? 1. a b
Ax ? By ? C ? 0

任何直线

两直线平行的判定:
方法： 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2

2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 // l 2 ? A1 B 2 ? A2 B1 , A1C 2 ? A2 C1

两直线相交的判定:
方法： 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 l1 , l2相交 ? k1 ? k 2
2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
l1 , l2相交? A1 B 2 ? A2 B1

两直线垂直的判定:
方法： 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? ? 1

2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0

4.点到直线的距离，平行线的距离
（1）点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 距离：

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

（2）直线 Ax ? By ? C1 ? 0到直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 的距离：

d?

C 2 ? C1 A2 ? B 2

对称问题

1)中心对称(点关于点的对称点,直线关于点的对称直线) 解决方法中点坐标公式 3)轴对称(点关于直线的对称点,直线关于直线的对称直线) 解决方法(1)垂直(2)中点在对称轴上

题型一

求直线的方程

例1、求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距
相等； （2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y=

3x的倾斜角的2倍. 思维启迪
选择适当的直线方程形式，把所需要 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 的条件求出即可. 解 （1）方法一 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， 2 ∴l的方程为y= x，即2x-3y=0. 3

x y 若a≠0，则设l的方程为 ? ? 1, a a 3 2 ∵l过点（3，2），∴ ? ? 1, a a ∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,

综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 2 令y=0，得x=3,令x=0,得y=2-3k, k 2 2 由已知3=2-3k，解得k=-1或k= , k 3 ∴直线l的方程为 2 y-2=-（x-3）或y-2= (x-3), 3 即x+y-5=0或2x-3y=0.

（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为 ? ， 则所求直线的倾斜角为2 ? .

3 ?? . ∵tan ? =3,∴tan 2 ? = 2 4 1 ? tan ?
又直线经过点A（-1，-3），
3 因此所求直线方程为y+3=(x+1), 4

2 tan ?

即3x+4y+15=0.

题型二

直线的斜率

【例2】 已知直线l过点P（-1，2），且与以

A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交，
求直线l的斜率的取值范围. 分别求出PA、PB的斜率，直线l处 思维启迪 于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利 用数形结合即可求. 解 方法一 如图所示，直线PA的

2 ? (?3) ? 5, ? 1 ? (?2) 直线PB的斜率
斜率 k PA ?

0?2 1 k PB ? ?? . 3 ? (?1) 2 当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC
时，它的斜率变化范围是［5，+∞）； 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜

1? 率的变化范围是 ? ? ? , ? ? 2? ? ? ? ? ?,? 1 ? ? ?5,???. ∴直线l的斜率的取值范围是 ? 2? ? ?
方法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0. ≧A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，

?（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）≤0，

1 即（k-5）（4k+2）≥0，?k≥5或k≤. 2 1? ? 即直线l的斜率k的取值范围是 ? ? ?,? 2? ? ? ∪［5，+≦）.

探究提高 方法一

运用了数形结合思想.当直线

的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，
需根据正切函数y=tan ? 的单调性求k的范围，数 形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图 形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快 捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示 的平面区域的性质使问题得以解决.

题型三

两直线的位置关系

例 3：已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0. (1)求证不论λ取何实数值，此直线必过定点； (2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点 平分，求这条直线方程.

解：把直线方程整理为 2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0.
? ?2x＋y＋9＝0 解方程组? ? ?x－2y－3＝0 ? ?x＝－3 ，得? ? ?y＝－3

.

即点(－3，－3)适合方程 2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0，也就
是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.

所以，不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝ 0 必过定点(－3，－3)．

(2)设经过点(－3，－3)的直线与两坐标轴分别交于 A(a,0)，
B(0，b)．

?a＋0 ? 2 ＝－3 由中点坐标公式得? ?0＋b＝－3 ? 2
解得 a＝－6，b＝－6.

，

x y 故过点(－3，－3)的直线方程为 ＋ ＝1， －6 －6
即 x＋y＋6＝0.

练1、过 P ( ?1,2) 的直线 l 与线段 AB 相交，若 A( ?2,?3), B( 3,0) ， 求 l 的斜率 k 的取值范围。 2、证明：A( ?1,?5), B( 3,3), C (7,11) 三点共线。 3、设直线 l 的斜率为 k ，且 ? 3 ? k ? 1 ，求直线的倾斜角 a 的取值范围。 3 4、已知直线 l 的倾斜角的正弦值为 ，且它与两坐标轴围成 5 的三角形面积为 6 ，求直线 l 的方程。

1? ? 答案： 1、 k ? ? ? ?,? ? ? ?5,??? ；2、方法：① k AB ? k AC 2? ? ? ? ? ? 2? ? AB ? BC ? AC 0 , ? , ? ? ? ? AB // AC ② ③ ；3、 ? 4 3
? ? ? ?

；

4、 ?

x 4

y x y x y x y 、 、 、 ?1 ? ?1 。 ? ?1 ? ?1 3 ?4 ?3 4 ?3 ?4 3

练5、 a 为何值时，直线 ax ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0 与(a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0
平行？垂直？ 练6、求过点 A( ?1,2) 且与原点的距离为
2 的直线方程。 2

a ? 1或a ? ?3 时垂直； 答案：1、判断 A1 B2 ? A2 B1 是否为 0 ，

2、 x ? y ? 1 ? 0或7 x ? y ? 5 ? 0 ；

7、将直线l1：x ? y ?

3 ? 2 ? 0绕着

它上面的一点 (2, 3 ) 沿逆时针方向旋转 15? 得直线l2 ,求l2的方程。
解： ? k1 ? 1? k 2 ? tan( 45? ? 15? ) ? 3 ? l2 : y ? 3 ? 3 ( x ? 2 ) ? 3 x ? y ? 3 ? 0为所求l 2的方程。

8、直线过点 (?2, ?1),且在两坐标轴上 的截距相等，求直线方 程。
解：若直线截距为 0，则设所求直线为y ? kx， 1 再由过点( ?2 ,?1 )得k ? ; 2 x y 若直线截距不为 0，则设所求直线为 ? ? 1， a a 再由过点( ?2 ,?1 )得a ? ?3. ? 所求直线方程为x ? 2 y ? 0或x ? y ? 3 ? 0。

9、（1）求A（-2，3）关于直线对称
点B的坐标； （2）光线自A（-3，3）射出，经x轴 反射以后经过点B（2，5），求入射光 线和反射光线的直线方程； （3）已知M（-3，5），N（2，15）， 在直线上找一点P，使|PM|+|PN|最小， 并求出最小值

10、若直线 ax＋by＋c＝0 在第一、二、 三象限，则( D )
A．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0

B．ab＞0，bc＜0
D．ab＜0，bc＜0

a 解析：由题意，直线的斜率一定大于 0，所以 k＝－b＞0， c 即 ab＜0；根据直线的纵截距大于 0，可得－b＞0，即 bc＜0.

二、圆的方程
求曲线方程 圆的标准方程 圆与圆方程 圆 的 方 程 圆的一般方程 圆的参数方程

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.曲线与方程
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

2.求曲线方程
（1）建立适当的坐标系，用 (x，y) 表示曲线上任意一 点M的坐标； （2）用坐标x,y表示关系式，即列出方程f(x,y)=0; （3）化简方程 f(x,y)= 0;

（4）验证x、y的取值范围。

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆的一般方程
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

圆的参数方程
? x ? a ? r cos ? ? ? ? y ? b ? r sin ?

1.(全国)圆心为(1,2)且与直线5x-12y7=0相切的圆的方程为 2.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交 于两点A(0,-4),B(0,-2),求圆C的方程. 3.△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接 圆的方程.

直线与圆的位置关系:
位置关系

相离 相切 相交

判断方法 ?d ?r或??0
?d ?r 或??0 ?d ?r 或 ??0

d>R+r

d=R+r

|R-r|<d<R+r

d= |R-r|

d<|R-r|

归纳小结
几何性质法
化标准方程 圆心距d

外离
外切 内切 内含

d>R+r d=R+r

d=R-r 0≤d<R-r
R-r<d<R+r

相交
计算r1+r2 |r1-r2|

比较d和r1，r2的大小 ，下结论

结合图形记忆

例1、（1）求实数m,使直线x2 2 my+3=0和圆 x ? y ? 6x ? 5 ? 0 (1)相交;(2)相切;(3)相离.
（2）、
3 2 9 2 （ x ? 1 ） ? （ y ? ）? 已知圆C1 4 2

3 2 17 2 （ x ? 2 ） ? （ y ? ）? 圆 C2 4 2

判断圆C1 圆C2的关系

例2、求经过A(2, ?1), 和直线x ? y ? 1相切，且圆心 y 在直线y ? ?2x上的圆的方程。

解：设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

圆心在直线 y ? ?2 x上
? b ? ?2a (1)
O
C
?

?

A

x

又经过点A(2,?1) ?(2 ? a)2 ? (?1 ? b)2 ? r 2 (2)

因为圆与直线 x ? y ? 1相切 | a ? b ?1 | ? ? r (3) 2
由(1)(2)(3)得：a ? 1, b ? ?2, r ? 2

k AC

?

b ?1 ? 1 a?2

1? a ? b ? ? r (3) 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例2、求经过A(2, ?1), 和直线x ? y ? 1相切，且圆心 y 在直线y ? ?2x上的圆的方程。

解：设圆心坐标为 (a,?2a)
O
?

| a ? 2a ? 1 | 则由题意知： (a ? 2) ? (?2a ? 1) ? 2
2 2

C

?

A

x

解得a ? 1
?圆心坐标为 (1,?2),半径为 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例3. 已知 圆满足：（）截 1 y轴所得弦 长为2；（）被 2 x轴分成 两段 圆弧，其弧 长的比 为∶ 31 ；（） 3 圆心到直 线l： x - 2 y ? 0的距离 为 5 ， 5 求 该圆的方程。

解：令圆心坐标为（ a，b），半径为r，
则r2 ? 12 ? a2 ①
②

y

由（ 2）知 ?ACB ? 90? ? r ? 2 b a ? 2b 5 由（ 3 ）? 2 ? 5 1 ? (?2)2

1

r

C
|b|

|a |

.

r
B
x

oA

? a ? 2b ? 1 ③

联立①②消去 r

? 2b2 ? a2 ? 1

④

?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 （Ⅰ）或? 2 （Ⅱ） 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1

例3. 已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段 5 圆弧，其弧长的比为3 ∶ 1；（3）圆心到直线l：x ? 2 y ? 0的距离为 ， 5 求该圆的方程。

?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 （Ⅰ）或? 2 （Ⅱ） 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1
解（Ⅰ）b ? ?1， a ? ?1， r ? 2b ? 2

解（Ⅱ） b ? 1， a ? 1， r ? 2b ? 2
综上所述：所求圆的方 程为
2 2 （x ? 1 ） ? （y ? 1 ） ?2 2 2 或（x ? 1 ） ? （y ? 1 ） ?2

例4.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)， 过P作⊙C的切线，切点为A、B。 （1）直线PA、PB的方程； （2）求过P点⊙C切线的长；

y C A B O P x

解：

（ 1 ）设过 P 圆的切线方程为： y ? 1 ? k( x ? 2) ?k ?3 即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0. 则 ? 2 2 1? k 2 ? k ? 6k ? 7 ? 0 解得 k ? 7 或 k ? ?1.
故所求切线方程为： y ? 1 ? 7( x ? 2) 或 y ? 1 ? ?( x ? 2) 即 7x ? y ? 15 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

(2) ? | PC | ? (1 ? 2)2 ? (2 ? 1)2 ? 10

y C A B O P x

| CA | ? 2
? 在Rt△PCA 中， PA ? PC ? CA
2 2 2

? 10 ? 2 ? 8
? | PA | ? 2 2

? 过P点⊙C 的切线长为2 2.

例5：在空间直角坐标系中，已知点 P ( x, y, z ) ，下列叙述中正确
的个数是( C ) ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1 ( x,? y, z )

②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2 ( x ,? y,? z )
③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3 ( x,? y, z ) ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4 (? x,? y,? z ) （A）3 （B） 2 （C）1 （D）0

) B( ?4,3,1)的距离。 练：在空间直角坐标系中，求点 A( ?3,2,?4和

3 3