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人教A高中数学必修2全册复习课件(上课)(1)


柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构
识 图





简单几何体的结构特征

空 间 几 何 体

柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影

直观图

斜二测画法 空

间几何体

柱、锥、台、球的表面积与体积

概念 棱柱

多面体
柱 锥 台 球 旋转体

棱锥

性质 侧面积

棱台

体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积 体积



由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体

棱柱

结构特征
有两个面互相平行,其 余各面都是四边形,并且 每相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面 围成的多面体。

E’ F’ A’

D’ B’

C’

底 面

E
侧棱

D
C B

F A
侧面

顶点

注意:有两个面互相平行,其余各面都是 平行四边形的几何体一定是棱柱吗?
答:不一定是.如图所示,不是棱柱.

棱柱的性质

1.侧棱都相等,侧面都是平 行四边形; 2.两个底面与平行于底面的 截面都是全等的多边形; 3.平行于侧棱的截面都是平 行四边形;

棱柱的分类
1、按侧棱是否和底面垂直分类: 棱柱 斜棱柱 2、按底面多边形边数分类: 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、· · · · · ·

直棱柱

正棱柱 其它直棱柱

棱柱的分类
按 边 数 分

三棱柱
按侧 棱是 否与 底面 垂直 分

四棱柱

五棱柱

斜棱柱

直棱柱

正棱柱

几种六面体的关系:
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是

底面为

侧棱与底面 边长相等

矩形

正方形

长方体

正四棱柱

正方体

棱锥

顶点 S

结构特征
有一个面是 多边形,其余各 面都是有一个公 共顶点的三角形。

侧面
C

D B

A

棱锥的分类
按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱 锥、五棱锥、……

S

A B D

C

正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的 射影是底面中心的棱锥。

【知识梳理】 棱锥

1、定义: 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的 三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面 的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形。

正棱锥性质2

棱锥的高、斜高和斜高在 底面的射影组成一个直角 三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成 一个直角三角形
Rt⊿ SOH Rt⊿ SOB Rt⊿ SHB Rt⊿ BHO

棱台由棱锥截得而成,所以在棱台中也有类 似的直角梯形。

棱台

结构特征
D’ C’ B’ C

用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥,底 面与截面之间的部分是 棱台.

D A’

A

B

圆柱

结构特征
以矩形的一边所在直 线为旋转轴,其余三边旋转 形成的曲面所围成的几何 体叫做圆柱。
母 线

A’

O’

B’ B’

轴 侧 面

A

O B

底面

圆锥

顶点 S 母 线 轴 侧 面

结构特征
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥。

A

O
B

底面

圆台

结构特征
用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆 锥,底面与截面之间的 部分是圆台.
O’ O



结构特征
以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半 圆面旋转一周形成的 旋转体.
半径 O 球心

空间几何体的表面积和体积 圆柱的侧面积: S ? 2? rl 圆锥的侧面积: S ? ? rl 面积 圆台的侧面积: S ? ? ( r ? ? r )l
球的表面积:

S ? 4? R
3

2

柱体的体积: V ? Sh 体积 锥体的体积: V ? 1 Sh 台体的体积:V ? 1 ( S ? ?
3 S ?S ? S ) h

球的体积:

V ? 4 ? R3 3

练习
1.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (C)2cm2 (B) 2 2 cm2 (D)

2 cm2

2.若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积 是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为( (A)1 : 4
C

)

(B) 1 : 3

(C) 1 : 8

(D) 1 : 7

2 6

练4:一个正三棱锥的底面边长是6,高是 3 ,那么这个正三棱 锥的体积是( A ) 7 9 (A)9 (B) (C)7 (D) 2 2

A1

C1 B1

练5:一个正三棱台的上、下底 面边长分别为3cm和6cm, 高是1.5cm,求三棱台的侧 面积。

27 3 cm 2 2

A B

C

6.如图,等边圆柱(轴截面为正 方形ABCD)一只蚂蚁在A处,想
吃C1处的蜜糖,怎么走才最快,并 求最短路线的长?

D

C

D

C

A

B

A

B

知识框架

二、空间几何体的三视图和直观图 中心投影 投影 平行投影 三视图 正视图 侧视图 俯视图

直观图

斜二测 画法

平行投影法 投影线相互平行的投影法. (1)斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法. (2)正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.
斜 投 影 法
a c b

A

C B

A C

B
a b

正 投 影 法

c

平行投影法

三视图的形成原理

正 投 影

有关概念
物体向投影面投影所得 到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直 的投影面分别投影,所得到 的三个图形摊平在一个平面 上,则就是三视图。

三视图的形成
正视图 侧视图

俯视图

正 视 图



高 宽


长 宽

侧视图
?长对正,

展 开 图

?高平齐,

俯视图

?宽相等.

三视图的作图步骤
俯视图方向 1.确定视图方向 2.先画出能反映物体 真实形状的一个视图 侧视图方向
4.运用长对正、高平 齐、宽相等的原则画 出其它视图 5.检查,加深, 加粗。

正视图方向

总结

(1)一般几何体,投影各顶点,连接。

画三视图: (2)常见几何体,熟悉。

三视图中,
两个三角形, 一般为锥体 两个矩形, 一般为柱体 两个梯形, 一般为台体 两个圆, 一般为球

斜二测画法步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y 轴, 两轴相交于点O。画直观图时,把它们画成 对应的x’轴和y’轴,两轴交于点O’,且使 ∠x’O’y’=45°(或135 °),它们确定的 平面表示水平面。 (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段, 在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线 段。 (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观 图中保持原长度不变,平行于y轴的线段, 长度为原来的一半。

练1:圆柱的正视图、侧视图都是 矩形 ,俯视图是 圆 ; 圆锥的正视图、侧视图都是 三角形 ,俯视图是圆及圆心; 圆台的正视图、侧视图都是 梯形 ,俯视图是 圆环 。
练2:利用斜二测画法可以得到: ①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平 行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图 是菱形。以上结论正确的是( A ) (A)①② (B)① (C)③④ (D)①②③④ 练3:根据三视图可以描述物体的形状,其中根据左视图可以判 断物体的 宽度和高度 ;根据俯视图可以判断物体的 长度和宽度 ;根据正视图可以判断物体的 长度和高度。
“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”.

练4:某生画出了图中实物的正视图与俯视图,则下列判断正确的 是( B ) A.正视图正确,俯视图正确 B.正视图正确,俯视图错误 C.正视图错误,俯视图正确 D.正视图错误,俯视图错误 俯视 正视图 俯视图 左视
正视 练5:下图中三视图所表示物体的形状为( 一个倒放着的圆锥 ) 主视图 左视图 俯视图

6.一平面图形的直观图如图所示,它原来的面积是 ( A)

A. 4

B.

4 2

C. 2
y’

2

D.8

B 2

o’

2

A

x’

7.如图所示, △ABC的直观图△A’B’C’,这里△A’B’ C’ 是边长为2的正三角形,作出△ABC的平面图 ,并求 △ABC的面积.
4 6
A’
y’

B’

O’

C’

x’

练习8:
正三棱柱的侧棱为2,底面是边长为2
的正三角形,则侧视图的面积为( B )

A.

4

B. 2

3

C. 2

2

D.

3

2
3
侧视图

9:

将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是

三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按

图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )
H B A
Q

G C I

A

侧视 B

C

E
图1

P

D F

E
图2

D F
B

B

B

B

E A.

E B.

E C.

E D.

练习10:(1)如图是一个空间几何体
的三视图,如果直角三角形的直角边 长均为1,那么几何体的体积为( C )
正视图
侧视图

A .1

1 B. 2

C. 1

1 D. 6

俯视图

3

1 1 1 V ? S 底 h ? ? 1?1?1 ? 3 3 3

1 1

1

11.已知某个几何体的三视图如图2,根据图中标出的尺寸 8000 3 (单位:cm),可得这个几何体的体积是________. cm 3
20

主视图
10 10

20

侧视图

20

俯视图

20

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
? 四个公理
? 三类关系 直线与直线位置关系 直线与平面位置关系 平面与平面位置关系 线线角 线面角 二面角 线面平行的判定定理与性质定理 线面垂直的判定定理与性质定理 面面平行的判定定理与性质定理 面面垂直的判定定理与性质定理

? 三种角

? 八个定理

四个公理
? 公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线 在平面内.(常用于证明直线在平面内)

? 公理2:不共线的三点确定一个平面. (用于确定平面). 推论1:直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. ? 公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共 点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线). ? 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

三类关系
?共面:a b=A,a//b 1.线线关系: ? ?异面:a与b异面
异面直线: (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; (2)判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与这个 平面内不过此点的直线是异面直线。

异面直线所成的角: (1) 范围: ? ? ? 0?,90?? ; (2)作异面直线所成的角:平移法
?

a' a b

? b' O

三类关系
2.线面关系
?l ? ? ? ?l ? ? A ? ?l ? ? ?l // ? ? ?
P

?

A

? O

直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交, 则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

3.面面关系

?平行:? //? ? ?斜交:? ? =a ? ?相交 ?垂直:? ? ? ? ?

①二面角: (1)定义: 【如图】 ;范围: ?AOB ?[0?,180?] OB ? l , OA ? l ? ?AOB是二面角?-l ? ? 的平面角 ②作二面角的平面角的方法: (1)定义法; (2)三垂线法(常用) ; (3)垂面法.

八个定理
1.线面平行: ①定义:直线与平面无公共点.

a // b ? ? ②判定定理: a ? ? ? ? a // ? (线线平行 ? 线面平行) b ??? ? ? ? ③性质定理: a ? ? ? ? a // b (线面平行 ? 线线平行) ? ? ? b? ? a // ?

八个定理
④判定或证明线面平行的依据: (i)定义法(反证) : l ? ? ? ? l // ? (用于判断) ;

a // b ? ? (ii)判定定理: a ? ? ? ? a // ? “线线平行 ? 面面平行” (用于证明) ; b ??? ?

? // ? ? (iii) (用于证明) ; ? ? a // ? “面面平行 ? 线面平行” a ???
b?a? ? (Ⅳ) b ? ? ? ? a // ? (用于判断) ; a ??? ?

八个定理
2.面面平行: ①定义: ?

? ? ? ? ? // ? ;

②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面,那么两个平面互相平行; 符号表述: a, b ? ? , a

b ? O, a // ? , b // ? ? ? // ?

? // ? ? ? ③面面平行的性质定理: ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? b? ?

八个定理
④判定与证明面面平行的依据: (1)定义法; (2)判定定理及结论 1; (3)结论 2. 结论 1:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的 两条直线,那么这两个平面互相平行 符号表述: a, b ? ? , a

b ? O, a ', b ' ? ? , a // a ', b // b ' ? ? // ?

结论 2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 符号表述: a ? ? , a ? ? ? ? // ? .【如右图】
? ?

a

八个定理
3.线面垂直 ①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线, 则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意 a ? ? , 都有 l ? a ,且 l ? ? ,则 l ? ? .

a, b ? ? ? a b ? O? ? ? ②判定定理: l ? ? ? ? l ? ? (线线垂直 ? 线面垂直) ? l?a ? l ?b ? ?
③性质定理: a ? ? , b ? ? ? a // b (线面垂直 ? 线线平行) ; 另: l ? ? , a ? ? ? l ? a (线面垂直 ? 线线垂直) ;

八个定理
证明或判定线面垂直的依据: (1)定义(反证) ; (2)判定定理(常用) ;

a // b ? (3) ; ? ? b ? ? (较常用) a ???

? // ? ? (4) ??a ? ? ; a ???
??? ? a ? ? b? ? (5) ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直) a ?? ?
a?b ? ?

八个定理
4.面面垂直 (1)定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90 ? ,则 ? ? ? ; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直.

a ??? ? ? ? ? ? (线面垂直 ? 面面垂直) a???

? ?? ? a ? ? AB ? ? (3)性质定理: ; ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直) a ?? ?
a ? AB ? ?

基础知识网络:
平行与垂直关系可互相转化

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?

垂直关系

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定 判定推论 判定

线线垂直

性质 判定

性质

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行

面面平行

线面垂直

立体几何解题中的转化策略

位置关系的相互转化 大策略:空间 小策略: ① 平行转化:线线平行 ② 垂直转化:线线垂直 ③ 平行关系 垂直关系 线面平行 线面垂直 面面平行 面面垂直 平面

例1:在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1)求异面直线A1B与B1C所成的角的大小; (2)求直线A1B与平面BB1D1D所成的角; (3)求二面角A—BD—A1的正切值; (4)求证:平面A1BD//平面CB1D1;
A1

D1 B1 D

C
1

(5)求证 : 直线AC1 ? 平面A1BD;
(6)求证 : 平面ABC1 ? 平面A1BD;

C B

(7)求点A1到平面CB1D1的距离.

A

立体几何解题中的转化策略

例2:
如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? AD ? a ,

AB ? 2a , E 、 F 分别为 C1D1 、 A1 D1 的中点. D 1
(Ⅰ)求证: DE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AF // 平面 BDE .
D A F A1

E B1

C1

C B

立体几何解题中的转化策略

练习1:
如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? AD ? a ,

AB ? 2a , E 、 F 分别为 C1D1 、 A1 D1 的中点. D 1
(Ⅰ)求证: DE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AF // 平面 BDE .
D F A1

E B1

C1

C B

2a

2a

A

2a

平面中的数量关系隐藏着三角形特征!

立体几何解题中的转化策略

练习1:
如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? AD ? a ,

AB ? 2a , E 、 F 分别为 C1D1 、 A1 D1 的中点. D 1
(Ⅰ)求证: DE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AF // 平面 BDE .
D A F A1

E B1

C1

C

O

B

策略:线面平行转化成线线平行(空间转化平面)

转化需要辅助线的添加!

立体几何解题中的转化策略 例3(综合题型): 一个多面体的直观图及三视图如图所示:

BC 的中点) (其中 M , N 分别是 AF 、

正视图

侧视图

俯视图

立体几何解题中的转化策略 例3(综合题型): 一个多面体的直观图及三视图如图所示:

BC 的中点) (其中 M , N 分别是 AF 、
(1)求该多面体的表面积与体积; 解: 1 2 2

S ? 2? ? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 2 2 ? 12 ? 4 2

1 2 V ? ?2 ?2 ? 4 2
策略:空间几何体的相互转化 可考虑将该多面体补图成正方体

ADE ? BCF AB ? AD ? AE ? 2
直三棱柱

DE ? CF ? 2 2

AD ? AE

立体几何解题中的转化策略 例3(综合题型): 一个多面体的直观图及三视图如图所示:

BC 的中点) (其中 M , N 分别是 AF 、
(2)求证: MN //平面 解: ; CDEF

连结BE,EC, 则BE经过点M
在 BEC中, MN是中位线

? ? EC ? 平面CDEF ? ? MN // 平面CDEF DE ? CF ? 2 2 MN ? 平面CDEF ? AD ? AE ? MN // EC

ADE ? BCF AB ? AD ? AE ? 2
直三棱柱

策略:利用中位线将线面平行转化成线线平行

立体几何解题中的转化策略 例3(综合题型): 一个多面体的直观图及三视图如图所示:

BC 的中点) (其中 M , N 分别是 AF 、
(3)求二面角 C ? AF 解:

? B 的正切值;

连结MC, MB

AB ? BF ? 2, AC ? CF ? 2 2, M 为AF的中点
?CMB为二面角C - AF - B的平面角 CB ? 2, MB ? 2, 在Rt CMB中 CB tan ?CMB ? ? 2 MB

ADE ? BCF AB ? AD ? AE ? 2
直三棱柱

DE ? CF ? 2 2

AD ? AE

策略:将二面角转化成平面角, 先找后求

立体几何解题中的转化策略 例3(综合题型): 一个多面体的直观图及三视图如图所示:

O

BC 的中点) (其中 M , N 分别是 AF 、
(4)求多面体 A ? CDEF 的体积; 解:

多面体A - CDEF为四棱锥 且侧面ADE ? 底面CDEF

点A到平面CDEF的垂线必在平面ADE内, 且垂直于交线DE

AE ? AD ? 2, 取DE中点为O ? AO ? 底面CDEF, AO ? 2 1 8 ?V ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 3 3

ADE ? BCF AB ? AD ? AE ? 2
直三棱柱

DE ? CF ? 2 2

AD ? AE
策略:将点面距离转化成点线距离

直线和圆

直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角

直 线 方 程 的 五 种 形 式

两 条 直 线 的 位 置 关 系

点 到 直 线 的 距 离 公 式

圆 的 标 准 及 一 般 方 程

直 线 与 圆 的 位 置 关 系

圆 与 圆 的 位 置 关 系

了 解 空 间 直 角 坐 标 系

空 间 两 点 的 距 离 公 式

一、直线与直线方程

直线的倾斜角和斜率

直线与直线方程

直线的方程

两直线的位置关系

1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是

0 ? ? ? 180 .
? ?

2、直线的斜率
k ? tan? , (? ? 90? )

意义:斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的 倾斜程度。 直线的斜率计算公式:即 k ?

y ?y x ?x
2 2

1

1

直线方程的形式:
形式 条件 方程 应用范围

点斜式

过点( x0,y0), 斜率为k

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

k存在 k存在
k存在 且k ? 0
k存在且 ? 0 且不过原点

斜截式 在y轴上的截距为b, 斜率为k 两点式 过P1(x1, y1), P2(x2, y2)

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

截距式 在y轴上的截距为b, 在x轴上的截距为a 一般式

x y ? ? 1. a b
Ax ? By ? C ? 0

任何直线

两直线平行的判定:
方法: 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2

2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 // l 2 ? A1 B 2 ? A2 B1 , A1C 2 ? A2 C1

两直线相交的判定:
方法: 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 l1 , l2相交 ? k1 ? k 2
2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
l1 , l2相交? A1 B 2 ? A2 B1

两直线垂直的判定:
方法: 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? ? 1

2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0

4.点到直线的距离,平行线的距离
(1)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 距离:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(2)直线 Ax ? By ? C1 ? 0到直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 的距离:

d?

C 2 ? C1 A2 ? B 2

对称问题

1)中心对称(点关于点的对称点,直线关于点的对称直线) 解决方法中点坐标公式 3)轴对称(点关于直线的对称点,直线关于直线的对称直线) 解决方法(1)垂直(2)中点在对称轴上

题型一

求直线的方程

例1、求适合下列条件的直线方程:

(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距
相等; (2)经过点A(-1,-3),且倾斜角等于直线y=

3x的倾斜角的2倍. 思维启迪
选择适当的直线方程形式,把所需要 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 的条件求出即可. 解 (1)方法一 若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y= x,即2x-3y=0. 3

x y 若a≠0,则设l的方程为 ? ? 1, a a 3 2 ∵l过点(3,2),∴ ? ? 1, a a ∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0,

综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知,所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 2 令y=0,得x=3,令x=0,得y=2-3k, k 2 2 由已知3=2-3k,解得k=-1或k= , k 3 ∴直线l的方程为 2 y-2=-(x-3)或y-2= (x-3), 3 即x+y-5=0或2x-3y=0.

(2)由已知:设直线y=3x的倾斜角为 ? , 则所求直线的倾斜角为2 ? .

3 ?? . ∵tan ? =3,∴tan 2 ? = 2 4 1 ? tan ?
又直线经过点A(-1,-3),
3 因此所求直线方程为y+3=(x+1), 4

2 tan ?

即3x+4y+15=0.

题型二

直线的斜率

【例2】 已知直线l过点P(-1,2),且与以

A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,
求直线l的斜率的取值范围. 分别求出PA、PB的斜率,直线l处 思维启迪 于直线PA、PB之间,根据斜率的几何意义利 用数形结合即可求. 解 方法一 如图所示,直线PA的

2 ? (?3) ? 5, ? 1 ? (?2) 直线PB的斜率
斜率 k PA ?

0?2 1 k PB ? ?? . 3 ? (?1) 2 当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC
时,它的斜率变化范围是[5,+∞); 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时,它的斜

1? 率的变化范围是 ? ? ? , ? ? 2? ? ? ? ? ?,? 1 ? ? ?5,???. ∴直线l的斜率的取值范围是 ? 2? ? ?
方法二 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为 y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0. ≧A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上,

?(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)≤0,

1 即(k-5)(4k+2)≥0,?k≥5或k≤. 2 1? ? 即直线l的斜率k的取值范围是 ? ? ?,? 2? ? ? ∪[5,+≦).

探究提高 方法一

运用了数形结合思想.当直线

的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,
需根据正切函数y=tan ? 的单调性求k的范围,数 形结合是解析几何中的重要方法.解题时,借助图 形及图形性质直观判断,明确解题思路,达到快 捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示 的平面区域的性质使问题得以解决.

题型三

两直线的位置关系

例 3:已知直线方程为(2+λ)x+(1-2λ)y+9-3λ=0. (1)求证不论λ取何实数值,此直线必过定点; (2)过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点 平分,求这条直线方程.

解:把直线方程整理为 2x+y+9+λ(x-2y-3)=0.
? ?2x+y+9=0 解方程组? ? ?x-2y-3=0 ? ?x=-3 ,得? ? ?y=-3

.

即点(-3,-3)适合方程 2x+y+9+λ(x-2y-3)=0,也就
是适合方程(2+λ)x+(1-2λ)y+9-3λ=0.

所以,不论λ取何实数值,直线(2+λ)x+(1-2λ)y+9-3λ= 0 必过定点(-3,-3).

(2)设经过点(-3,-3)的直线与两坐标轴分别交于 A(a,0),
B(0,b).

?a+0 ? 2 =-3 由中点坐标公式得? ?0+b=-3 ? 2
解得 a=-6,b=-6.



x y 故过点(-3,-3)的直线方程为 + =1, -6 -6
即 x+y+6=0.

练1、过 P ( ?1,2) 的直线 l 与线段 AB 相交,若 A( ?2,?3), B( 3,0) , 求 l 的斜率 k 的取值范围。 2、证明:A( ?1,?5), B( 3,3), C (7,11) 三点共线。 3、设直线 l 的斜率为 k ,且 ? 3 ? k ? 1 ,求直线的倾斜角 a 的取值范围。 3 4、已知直线 l 的倾斜角的正弦值为 ,且它与两坐标轴围成 5 的三角形面积为 6 ,求直线 l 的方程。

1? ? 答案: 1、 k ? ? ? ?,? ? ? ?5,??? ;2、方法:① k AB ? k AC 2? ? ? ? ? ? 2? ? AB ? BC ? AC 0 , ? , ? ? ? ? AB // AC ② ③ ;3、 ? 4 3
? ? ? ?



4、 ?

x 4

y x y x y x y 、 、 、 ?1 ? ?1 。 ? ?1 ? ?1 3 ?4 ?3 4 ?3 ?4 3

练5、 a 为何值时,直线 ax ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0 与(a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0
平行?垂直? 练6、求过点 A( ?1,2) 且与原点的距离为
2 的直线方程。 2

a ? 1或a ? ?3 时垂直; 答案:1、判断 A1 B2 ? A2 B1 是否为 0 ,

2、 x ? y ? 1 ? 0或7 x ? y ? 5 ? 0 ;

7、将直线l1:x ? y ?

3 ? 2 ? 0绕着

它上面的一点 (2, 3 ) 沿逆时针方向旋转 15? 得直线l2 ,求l2的方程。
解: ? k1 ? 1? k 2 ? tan( 45? ? 15? ) ? 3 ? l2 : y ? 3 ? 3 ( x ? 2 ) ? 3 x ? y ? 3 ? 0为所求l 2的方程。

8、直线过点 (?2, ?1),且在两坐标轴上 的截距相等,求直线方 程。
解:若直线截距为 0,则设所求直线为y ? kx, 1 再由过点( ?2 ,?1 )得k ? ; 2 x y 若直线截距不为 0,则设所求直线为 ? ? 1, a a 再由过点( ?2 ,?1 )得a ? ?3. ? 所求直线方程为x ? 2 y ? 0或x ? y ? 3 ? 0。

9、(1)求A(-2,3)关于直线对称
点B的坐标; (2)光线自A(-3,3)射出,经x轴 反射以后经过点B(2,5),求入射光 线和反射光线的直线方程; (3)已知M(-3,5),N(2,15), 在直线上找一点P,使|PM|+|PN|最小, 并求出最小值

10、若直线 ax+by+c=0 在第一、二、 三象限,则( D )
A.ab>0,bc>0
C.ab<0,bc>0

B.ab>0,bc<0
D.ab<0,bc<0

a 解析:由题意,直线的斜率一定大于 0,所以 k=-b>0, c 即 ab<0;根据直线的纵截距大于 0,可得-b>0,即 bc<0.

二、圆的方程
求曲线方程 圆的标准方程 圆与圆方程 圆 的 方 程 圆的一般方程 圆的参数方程

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.曲线与方程
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,

2.求曲线方程
(1)建立适当的坐标系,用 (x,y) 表示曲线上任意一 点M的坐标; (2)用坐标x,y表示关系式,即列出方程f(x,y)=0; (3)化简方程 f(x,y)= 0;

(4)验证x、y的取值范围。

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆的一般方程
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

圆的参数方程
? x ? a ? r cos ? ? ? ? y ? b ? r sin ?

1.(全国)圆心为(1,2)且与直线5x-12y7=0相切的圆的方程为 2.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交 于两点A(0,-4),B(0,-2),求圆C的方程. 3.△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接 圆的方程.

直线与圆的位置关系:
位置关系

相离 相切 相交

判断方法 ?d ?r或??0
?d ?r 或??0 ?d ?r 或 ??0

d>R+r

d=R+r

|R-r|<d<R+r

d= |R-r|

d<|R-r|

归纳小结
几何性质法
化标准方程 圆心距d

外离
外切 内切 内含

d>R+r d=R+r

d=R-r 0≤d<R-r
R-r<d<R+r

相交
计算r1+r2 |r1-r2|

比较d和r1,r2的大小 ,下结论

结合图形记忆

例1、(1)求实数m,使直线x2 2 my+3=0和圆 x ? y ? 6x ? 5 ? 0 (1)相交;(2)相切;(3)相离.
(2)、
3 2 9 2 ( x ? 1 ) ? ( y ? )? 已知圆C1 4 2

3 2 17 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? )? 圆 C2 4 2

判断圆C1 圆C2的关系

例2、求经过A(2, ?1), 和直线x ? y ? 1相切,且圆心 y 在直线y ? ?2x上的圆的方程。

解:设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

圆心在直线 y ? ?2 x上
? b ? ?2a (1)
O
C
?

?

A

x

又经过点A(2,?1) ?(2 ? a)2 ? (?1 ? b)2 ? r 2 (2)

因为圆与直线 x ? y ? 1相切 | a ? b ?1 | ? ? r (3) 2
由(1)(2)(3)得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2

k AC

?

b ?1 ? 1 a?2

1? a ? b ? ? r (3) 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例2、求经过A(2, ?1), 和直线x ? y ? 1相切,且圆心 y 在直线y ? ?2x上的圆的方程。

解:设圆心坐标为 (a,?2a)
O
?

| a ? 2a ? 1 | 则由题意知: (a ? 2) ? (?2a ? 1) ? 2
2 2

C

?

A

x

解得a ? 1
?圆心坐标为 (1,?2),半径为 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例3. 已知 圆满足:()截 1 y轴所得弦 长为2;()被 2 x轴分成 两段 圆弧,其弧 长的比 为∶ 31 ;() 3 圆心到直 线l: x - 2 y ? 0的距离 为 5 , 5 求 该圆的方程。

解:令圆心坐标为( a,b),半径为r,
则r2 ? 12 ? a2 ①


y

由( 2)知 ?ACB ? 90? ? r ? 2 b a ? 2b 5 由( 3 )? 2 ? 5 1 ? (?2)2

1

r

C
|b|

|a |

.

r
B
x

oA

? a ? 2b ? 1 ③

联立①②消去 r

? 2b2 ? a2 ? 1



?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 (Ⅰ)或? 2 (Ⅱ) 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1

例3. 已知圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段 5 圆弧,其弧长的比为3 ∶ 1;(3)圆心到直线l:x ? 2 y ? 0的距离为 , 5 求该圆的方程。

?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 (Ⅰ)或? 2 (Ⅱ) 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1
解(Ⅰ)b ? ?1, a ? ?1, r ? 2b ? 2

解(Ⅱ) b ? 1, a ? 1, r ? 2b ? 2
综上所述:所求圆的方 程为
2 2 (x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ?2 2 2 或(x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ?2

例4.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1), 过P作⊙C的切线,切点为A、B。 (1)直线PA、PB的方程; (2)求过P点⊙C切线的长;

y C A B O P x

解:

( 1 )设过 P 圆的切线方程为: y ? 1 ? k( x ? 2) ?k ?3 即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0. 则 ? 2 2 1? k 2 ? k ? 6k ? 7 ? 0 解得 k ? 7 或 k ? ?1.
故所求切线方程为: y ? 1 ? 7( x ? 2) 或 y ? 1 ? ?( x ? 2) 即 7x ? y ? 15 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

(2) ? | PC | ? (1 ? 2)2 ? (2 ? 1)2 ? 10

y C A B O P x

| CA | ? 2
? 在Rt△PCA 中, PA ? PC ? CA
2 2 2

? 10 ? 2 ? 8
? | PA | ? 2 2

? 过P点⊙C 的切线长为2 2.

例5:在空间直角坐标系中,已知点 P ( x, y, z ) ,下列叙述中正确
的个数是( C ) ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1 ( x,? y, z )

②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2 ( x ,? y,? z )
③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3 ( x,? y, z ) ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4 (? x,? y,? z ) (A)3 (B) 2 (C)1 (D)0

) B( ?4,3,1)的距离。 练:在空间直角坐标系中,求点 A( ?3,2,?4和

3 3


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