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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业58 理 新人教A版

时间:2016-03-14


课时作业 58
一、选择题

双曲线

1. 已知双曲线 C:2- 2=1 的焦距为 10, 点 P(2,1)在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为( A. C. - =1 20 5 - =1 80 20

x2 y2 a b

)

x2 x2

y

2

B. - =1 5 20 D. - =1 20 80

x2

y2

y2

x2

y2

解析:因为双曲线的焦距为 10,所以 c=5. 又因为 P(2,1)在渐近线上,且渐近线方程为 y= x, 2b 所以 1= ,即 a=2b.

b a

a

又因为 c =a +b =5b =25,所以 b =5,a =20. 即双曲线方程为 - =1. 20 5 答案:A 2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( a 3 A.2 C. 5 2 B. 6 2

2

2

2

2

2

2

x2

y2

x2 y 2

)

D.1

解析:由题知 答案:D

a2+3 =2,解得 a=1. a2

3.(2014·天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x +10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. - =1 5 20 C. 3x 3y - =1 25 100
2 2

x2 y2 a b

)

x2

y2

B. D.

- =1 20 5 3x 3y - =1 100 25
2 2 2 2 2 2

x2

y2

解析:渐近线平行于 l,则 =2,又焦点为(-5,0),则 c=5,可得 c =a +b =5a =25, 得 a =5,b =4a =20,选 A.
1
2 2 2

b a

答案:A 4.已知双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 为 5 c(其中 c 为双曲线的半焦距长),则该双曲线的离心率为( 3 A. 3 2 3 5 2 B. 5 2 5 2 )

x2 y2 a b

C.

D.

解析:不妨取双曲线的右焦点(c,0),双曲线的渐近线为 y=± x,即 bx±ay=0.则焦点 到渐近线的距离为 3 所以离心率 e= . 2 答案:A 5.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. 3 B.3 C. 3m
2 2 2

b a

|bc|

b +a

2

2



5 5 5 4 9 c,即 b= c,从而 b2= c2=c2-a2,所以 c2=a2,即 e2= , 3 3 9 9 4

) D.3m

x y2 解析:由题意,可得双曲线 C 为 - =1,则双曲线的半焦距 c= 3m+3.不妨取右焦 3m 3
点( 3m+3,0),其渐近线方程为 y=± 3m+3 1+m 1

m

x,即 x± my=0.所以由点到直线的距离公式得

d=

= 3.故选 A.

答案:A

x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( a b
A.(1, 5) C.( 5,+∞) 解析:∵双曲线的一条渐近线方程为 y= x, 则由题意得 >2. ∴e= = 答案:C B.(1, 5] D.[ 5,+∞)

)

b a

b a

c a

1+? ? > 1+4= 5. a

?b?2 ? ?

2

二、填空题 7.(2014·北京卷)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x =1 具有相同渐近线,则 C 的方 4 程为________;渐近线方程为________. 解析:双曲线 -x =1 的渐近线为 y=±2x,故 C 的渐近线为 y=±2x,设 C: -x = 4 4

y2

2

y2

2

y2

2

m,并将点(2,2)代入 C 的方程,解得 m=-3,故 C 的方程为 -x =-3,即 - =1.
4 3 12 答案: - =1 3 12
2

y2

2

x2

y2

x2

y2

y=±2x
2

8.已知双曲线 x -y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2, 则|PF1|+|PF2|的值为________. 解析:不妨设点 P 在双曲线的右支上且 F1,F2 分别为左、右焦点,因为 PF1⊥PF2,所以 (2 2) =|PF1| +|PF2| , 又因为|PF1|-|PF2|=2, 所以(|PF1|-|PF2|) =4,可得 2|PF1|·|PF2|=4, 则(|PF1|+|PF2|) =|PF1| +|PF2| +2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2 3. 答案:2 3
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 9.(2014·浙江卷)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近 a b
线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 解析:由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为 y= x 和 y=- x,分别与 x-3y+m=0 联立,解得 A?

b a

b a

? -am , -bm ?,B? -am , bm ?,由|PA|=|PB|得,AB 中点 Q 的坐标为 ? ? ? ?a-3b a-3b? ?a+3b a+3b ?

? -am + -am -bm + bm ? c2 Q?a-3b a+3b a-3b a+3b?,由 PQ 与已知直线垂直,解得 2a2=8b2=8(c2-a2),即 2= ? ? a , 2 2 ? ?
5 c 5 ,故 e= = . 4 a 2 答案: 5 2

三、解答题 10.双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经过右焦点 F → → → → → 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且BF与FA同 向.

3

(1)求双曲线的离心率. (2)设直线 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解:(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d, 由勾股定理可得(m-d) +m =(m+d) , 1 b 得 d= m,tan∠AOF= , 4 a
2 2 2

AB 4 tan∠AOB=tan2∠AOF= = , OA 3 b a 4 b 1 由倍角公式,得 = ,解得 = , b 3 a 2 ? ?2 1-? ? ?a?
2× 则离心率 e= 5 . 2

(2)不妨设过 F 与 l1 垂直的直线方程为 y=- (x-c),与双曲线方程 2- 2=1 联立,将

a b

x2 y2 a b

a=2b,c= 5b 代入,化简有
4= = 1+? ? |x1-x2|

15 2 8 5 x+21=0, 2x - 4b b

?a?2 ?b?

?1+?a?2?[?x +x ?2-4x x ], ? ?b? ? 1 2 1 2 ? ? ??
5?? 28b ? ??32 5b?2 ? -4· 5 ?, ?? 15 ? ?
2

将数值代入,有 4=

解得 b=3,故所求的双曲线方程为 - =1. 36 9 11.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3, 焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M、 N 两点, 且在双曲线的右支上存在点 D, 3

x2

y2

x2 y2 a b

→ → → 使OM+ON=tOD,求 t 的值及点 D 的坐标. 解:(1)由题意知 a=2 3,∴一条渐近线为 y= x. 2 3 即 bx-2 3y=0.∴ |bc|

b

b2+12

= 3.

4

∴b =3,∴双曲线的方程为

2

- =1. 12 3

x2

y2

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x -16 3x+84=0, 是 x1+x2=16 3,y1+y2=12.
2

x 4 3 ? ?y = 3 , ∴? x y ? ?12- 3 =1.
0 0 2 0 2 0

∴?

?x0=4 3, ?y0=3.

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).

x2 y2 1.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左,右焦点分别是 F1,F2,其一条渐近线方程为 y=x, 2 b
→ → 点 P( 3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2=( A.-12 C.0 ) B.-2 D.4
2 2

解析:由渐近线方程为 y=x 知双曲线是等轴双曲线,不妨设双曲线方程是 x -y =2, 于是 F1,F2 坐标分别是(-2,0)和(2,0),且 P( 3,1)或 P( 3,-1).由双曲线的对称性, → → → → 不妨取 P( 3,1),则PF1=(-2- 3,-1),PF2=(2- 3,-1).所以PF1·PF2=(-2- 3, -1)·(2- 3,-1)=-(2+ 3)·(2- 3)+1=0. 答案:C 2.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率

x2 y2 a b

e 的取值范围是(
A.(1,2) C.( 3,2)

) B.( 2,2) D.(2,3)

解析: 由题意知, △ABE 为等腰三角形. 若△ABE 是锐角三角形, 则只需要∠AEB 为锐角. 根 π b 2 据对称性,只要∠AEF< 即可.直线 AB 的方程为 x=-c,代入双曲线方程得 y = 2,取点 4 a
4

b2? b2 π b2 ? A?-c, ?,则|AF|= ,|EF|=a+c,只要|AF|<|EF|就能使∠AEF< ,即 <a+c,即 b2<a2 a? a 4 a ?
5

+ac,即 c -ac-2a <0,即 e -e-2<0,即-1<e<2.又 e>1,故 1<e<2. 答案:A 3.设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点

2

2

2

x2 y2 a b

P, 使(OP+OF2)·F2P=0(O 为坐标原点), 且|PF1|= 3|PF2|, 则该双曲线的离心率为________.
→ → → 解析:∵(OP+OF2)·F2P=0,∴OB⊥PF2,且 B 为 PF2 的中点.又 O 是 F1F2 的中点,∴OB → → ∥PF1,∴PF1⊥PF2,∴|PF1|-|PF2|=2a,又∵|PF1|= 3|PF2|,∴|PF2|=( 3+1)a,|PF1| =( 3 +3)a,∴由|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,得(12+6 3)a +(4+2 3)a =4c ,∴e =4+ 2 3,∴e= 3+1. 答案: 3+1
2 2 2 2 2 2 2











x2 y2 4.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 3,直线 a b y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6.
(1)求 a、b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、 右两支分别交于 A、 B 两点, 且|AF1|=|BF1|, 证明: |AF2|、 |AB|、|BF2|成等比数列. 解:(1)由题设知 =3,即
2 2

c a

a2+b2 2 2 =9,故 b =8a . a2
2

所以 C 的方程为 8x -y =8a . 将 y=2 代入上式,并求得 x=± 由题设知,2 1 2

a2+ .

1 2

a2+ = 6,解得 a2=1.

所以 a=1,b=2 2. (2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x -y =8. ① 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2,代入①并化简得(k -8)x -6k x+9k + 8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1≤-1,x2≥1,x1+x2=
2 2 2 2 2 2 2

6k 9k +8 ,x1·x2= 2 . 2 k -8 k -8
2 2

2

2

于是|AF1|= ?x1+3? +y1= ?x1+3? +8x1-8 =-(3x1+1), |BF1|= ?x2+3? +y2= ?x2+3? +8x2-8 =3x2+1.
6
2 2 2 2

2

由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1, 2 即 x1+x2=- . 3 故 6k 2 4 19 2 =- ,解得 k = ,从而 x1·x2=- . k2-8 3 5 9
2 2 2 2 2 2 2

由于|AF2| = ?x1-3? +y1= ?x1-3? +8x1-8 = 1- 3x1,|BF2|= ?x2-3? +y2 = ?x2-3? +8x2-8=3x2-1. 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|·|BF2|=|AB| ,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.
2 2 2

7


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