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数学5(必修)第一章:解三角形练习题C


(数学 5 必修)第一章:解三角形练习题 C [提高训练 C 组] 一、选择题
1. A 为△ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是( A. ( 2 , 2 ) C. ( ? 1, 2 ] B. ( ? 2 , 2 ) D. [ ? 2 , 2 ]
0



2.在△ABC 中,若 C ? 90

, 则三边的比 A. 2 cos C. 2 sin
A? B 2 A? B 2

a?b c

等于(



B. 2 cos D. 2 sin

A? B 2 A? B 2

3.在△ABC 中,若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 8 ,则其面积等于( A. 12 C. 2 8 B.
21 2



D. 6 3

4.在△ABC 中, ? C ? 9 0 , 0 ? A ? 45 ,则下列各式中正确的是(
0

0

0



A. sin A ? cos A C. sin A ? cos B

B. sin B ? cos A D. sin B ? cos B


5.在△ABC 中,若 ( a ? c )( a ? c ) ? b ( b ? c ) ,则 ? A ? ( A. 90
0

B. 60
0

0

C. 120

D. 150

0

6.在△ABC 中,若

tan A tan B

?

a b

2 2

,则△ABC 的形状是(



A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形

二、填空题

1.在△ABC 中,若 sin A ? sin B , 则 A 一定大于 B ,对吗?填_________(对或错) 2.在△ABC 中,若 cos
2

A ? cos

2

B ? cos

2

C ? 1, 则△ABC 的形状是______________。

3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C , y ? sin A ? sin B , z ? cos A ? cos B , 则 x , y , z 的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中,若 a ? c ? 2 b ,则 cos A ? cos C ? cos A cos C ?
1 3 sin A sin C ? ______。

5.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tan C , 则 B 的取值范围是_______________。 6.在△ABC 中,若 b ? ac ,则 cos( A ? C ) ? cos B ? cos 2 B 的值是_________。
2

三、解答题
1.在△ABC 中,若 ( a ? b ) sin( A ? B ) ? ( a ? b ) sin( A ? B ) ,请判断三角形的形状。
2 2 2 2

1. 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2 R (sin 求△ABC 的面积的最大值。

2

A ? sin

2

C ) ? ( 2 a ? b ) sin B ,

2. 已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2 b , A ? C ?

?
2

,求 a : b : c

4.在△ABC 中,若 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 3 ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 高为 4 3 ,求角 A , B , C 的大小与边 a , b , c 的长

3 , A B 边上的

参考答案(数学 5 必修)第一章 [提高训练 C 组]参考答案 一、选择题
1.C
sin A ? co s A ? 2 sin ( A ?

?
4

),
5? 4

而0 ? A ? ? ,
a?b c ?

?
4

? A?

?
4

?

? ?

2 2

? sin ( A ?

?
4

)?1

2.B

3.D 4.D

? sin A ? sin B sin C A? B A? B A ? B ? 2 sin cos ? 2 cos 2 2 2 1 1 0 co s A ? , A ? 6 0 , S ? A B C ? b c sin A ? 6 3 2 2
A ? B ? 90 则 s i nA ?
0

sin A ? sin B

c oB s
0

, sB?n i

c o0 ? A ? 45 , A s ,
0 0

s i nA ?

c o s, 4 5 ? B ? 9 0 , sin B ? co s B A
0
2 2

5.C

a ? c ? b ? b, c b ?
2 2

c?
2

a ? ?, b o s c c
2

1 A ? , ? 2
co s? A

A? 2 0 1
0

6.B

s i nA c o sA

?

c oB s s iB n

2

?

2

s iA n , s iB n

cos B ? cAo s
或2 B A 2 ?

A in s , s iA n Bs i n
B? 2 ?

sin B

B os c

sin A? 2

s i n 2 A ?2 B ,

二、填空题
1. 对
s i nA ? s i nB , 则

a 2R

?

b 2R

? a ?b? A? B ?1 cos 2 ) B ?
2 2

2. 直角三角形

1 2

( 1? c o sA2 ? 1 2

c o ?B ( ? A s

)

1,

(co s 2 A ? co s 2 B ) ? co s ( A ? B ) ? 0,
2

co s( A ? B ) co s( A ? B ) ? co s ( A ? B ) ? 0
cos A cos B cos C ? 0

3. x ? y ? z

A?B ?

?
2

,A?

?
2

? B , s iA ? n

cB s o

B s?i n ,
y x, ? y ?

A yos c? z
z

,

c ? a ? b s i n C ? s i nA? ,

s i B x? n ,

4. 1

s i nA ?

s iC ? n

2 sB n i

A? C , 2 sin 2

A? C c o? s 2

A ? 2

C 4 sin

A ? 2

C cos

co s 1

A?C 2

? 2 co s

A?C 2
2

, co s A 2 sin

A

co s

C 2

? 3 sin

A 2

sin

C 2

则 sin A sin C ? 4 sin
3

2 2 C 2
1 3

co s A ? co s C ? co s A co s C ?

sin A sin C
2

? ? (1 ? co s A )(1 ? co s C ) ? 1 ? 4 sin ? ? 2 sin
2

A 2 2 C 2

sin

2

C 2

A 2

? 2 sin

2

C 2

? 4 sin

2

A 2

sin

?1 ?1 tan A ? tan C tan A tan C ? 1

5. [

? ?
, 3 2

) tan B ? tan A tan C , tan B ? ? tan ( A ? C ) ?
2

t a nB ? ?
3

t a nA ? t a n C t aA ? C ? ) n( 2 tanB? 1

tan B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2 tan A tan C ? 2 tan B

tan B ? 3 tan B , tan B ? 0 ? tan B ?
3

3 ? B ?

?
3

6. 1

b ? ac , sin B ? sin A sin C , c o s ( ? C ) ? c o sB ? c o s2 B A
2 2

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1 ? 2 sin B
2

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1 ? 2 sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1

? cos( A ? C ) ? cos B ? 1 ? 1

三、解答题
1. 解:
a ?b
2 2 2

a ?b
2

?

sin ( A ? B ) a sin A co s B sin A , 2 ? ? 2 sin ( A ? B ) b co s A sin B sin B
2 2

cos B c o sA

?

s iAn s iBn

, s i nA ? 2

s iB 2A ? 2 B 或 22 ? n , A

B ? ?2

∴等腰或直角三角形 2. 解: 2 R sin A ? sin A ? 2 R sin C ? sin C ? ( 2 a ? b ) sin B ,
a sin A ? c sin C ? ( 2 a ? b ) sin B , a ? c ?
2 2

2 ab ? b ,
2

a ?b ?c ?
2 2 2

2 a b , co s C ?

a ?b ?c
2 2

2

?

2 2

, C ? 45

0

2ab

c sin C

? 2 R , c ? 2 R sin C ?

2R, a ? b ? 2R ?
2 2 2

2ab,

2R ?
2

2ab ? a ? b ? 2ab, ab ?
2 2

2R 2?
2

2

2
2 ?1 2

S ?

1 2

a b sin C ?

2 4

ab ?

2 4
2

?

2R 2?

2
2 4

, S max ?

R

2

另法: S ?

1 2

a b sin C ?

ab ?

? 2 R sin A ? 2 R sin B

4

?

2 4

? 2 R sin A ? 2 R sin B ?

2 R sin A sin B

2

?

2R ?
2

1 2

? [co s( A ? B ) ? co s( A ? B )]

? ?

2R ?
2

1 2

? [co s( A ? B ) ? 2 2

2 2

]

2R 2

2

? (1 ?

)

? S m ax ?

2 ?1 2

R

2

此时 A ? B 取得等号
A?C 2 A?C 2
? 14 4 , sin B ? 2 sin

3. 解: sin A ? sin C ? 2 sin B , 2 sin
B 2 1 2 A?C 2 2 4

co s

? 4 sin

A?C 2
B 2

co s

A?C 2

sin

?

co s

?

, co s

B 2

co s

B 2

?

7 4

A?C ?

?
2

, A ? C ? ? ? B, A ?
3? 4 3? 4

3? 4

?

B 2

,C ?
3? 4

?
4

?

B 2
7 ?1 4 7 ?1 4

sin A ? sin (

? B ) ? sin

co s B ? co s

sin B ?

sin C ? sin (

?
4

? B ) ? sin

?
4

co s B ? co s

?
4

sin B ?

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? ( 7 ?
2 2

7 ) : 7 : (7 ?
2

7)

4. 解: ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 3 a c , a ? c ? b ? a c , co s B ?
t a nA ? 1? t a n A t aCn t Cn a ?3 ? 1 3

1 2

, B ? 60

0

t a n A ? C ?) (

?,

?3

, AanC tan t

t a nA
? tan A ? 2 ? ? 得? ? tan C ? 1 ?

t aCn ?
3

?2

3 ,联合 t a nA ?

t a n? C

?3

3

? tan A ? 1 ? 或? ? tan C ? 2 ? ?
4 3 sin A 4 3 sin A

? A ? 750 ? A ? 450 ? ? 或? ,即 ? 0 0 3 ?C ? 45 ?C ? 75 ? ?
? 4 (3 2 ? 6 ), c ? 8( 3 ? 1), a ? 8

0 0 当 A ? 7 5 , C ? 4 5 时, b ?

0 0 当 A ? 4 5 , C ? 7 5 时, b ?

? 4 6 , c ? 4 ( 3 ? 1), a ? 8

∴当 A ? 7 5 , B ? 6 0 , C ? 4 5 时, a ? 8, b ? 4(3 2 ?
0 0 0 0 0 0

6 ), c ? 8( 3 ? 1),

当 A ? 4 5 , B ? 6 0 , C ? 7 5 时, a ? 8, b ? 4 6 , c ? 4 ( 3 ? 1) 。


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