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高数期末复习题 第一章 函数与极限

时间:2017-09-25


第一章 函数与极限 一、填空题(每小题 3 分)
e ? x sin x ? 1.1.1.1. xlim ? ??

。0
n

1.1.2.1.极限 1.1.3.1. lim x?0

? 2? ?3? lim? ? sin? ? ? n ?? ? 3 ? ?2?

n

>
。0 。1 。e
? 1 2

sin 2 x ? tan 2 x
1 x ?3 ) ? 2x

(1 ? 1.1.4.1. lim x ??

1.1.5.1.设 xn ? ? ?

1 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? ? ? n ? ,则 lim x n ? n?? n?3 ? ?

。? 3 。2

1.1.6.1.当 x ? 0 时, 1? x2 ? 1? x2 与 x k 是同阶无穷小量,则常数 k ? 1.1.7.1.函数 y ? 1.1.8.1.函数 1.1.9.1.曲线
x?3 的连续区间是 ( x ? 2)(x ? 1)

。 ?3,??? 。 (??,0) ? (0,??) 。x ?1 。 y ? ?2

? x ? 1, ( x ? 0) f ( x) ? ? ?sin x, ( x ? 0)

的连续区间是

y?

1 x ?1

的铅直渐近线方程为

1.1.10.1.曲线 y ?

4? x ? 1? ? 2 的水平渐近线方程为 x2

二、单项选择题(每小题 3 分) 1.2.1.1.设函数 f ( x ? 1) ? x ? cos x ,则 f (1) ? [ B ] A.0
1 2

B.1

C.

? 2

D. 1 ? cos x .

1.2.2.1.函数 y ? (e x ? e ? x ) 是 [ B ] A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性不能判定的函数.

1.2.3.1.数列收敛是数列有界的 [ A ] A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件.

1.2.4.1.下列说法正确的是:[ D ] A.两个无穷小的商是无穷小(分母不为) B.两个无穷大的商是无穷大

C.无穷大与有界量的积是无穷大 1.2.5.1.下列极限不存在的有 [ C ]
1 x sin 2 A. lim x ?0 x

D.无穷小与有界量的积是无穷小.

B. lim

x ???

x 2 ? 2x x ?1
1 ? cos x

e C. lim x ?0

1 x

?3x D. lim
x ??

?1 . 6 2x ? x
2

?

3

1.2.6.1.当 x ? 0 时,无穷小量 A.等价无穷小



x2

比较是

[ B ] D.低阶无穷小.

B.同阶无穷小

C.高阶无穷小

1.2.7.1.当 x ? 0 时,与无穷小量 sin 5 x 等价的无穷小量是 [ C ] A. x 1.2.8.1.若 f ( x) ? A.连续点 B. x 2 C. 5 x C ] D.无穷间断点. A ] D.振荡间断点. D. x 5 .

sin(x ? 1) ,则 x ? 1 是 f ( x) 的 [ x ?1

B.可去间断点

C.跳跃间断点

?2 x , 0 ? x ? 1 ? 1.2.9.1.函数 f ( x) ? ? 1, x ? 1 在 ?0,??? 上的间断点 x ? 1 为 [ ?1 ? x, x ?1 ?

A.可去间断点 1.2.10.1.曲线 y ?

B.跳跃间断点
4x ? 1 ( x ? 2) 2

C.无穷间断点

[ D ] B.只有铅直渐近线 D.有水平渐近线也有铅直渐近线.

A.只有水平渐近线 C.没有渐近线 三、计算题(每小题 6 分)
x2 ?1 1.3.1.1.计算极限 lim . x ?1 x 2 ? 2 x ? 3

解: lim
x ?1

x2 ?1 ( x ? 1)(x ? 1) 2 1 . ? lim (4分) ? ? ( 2分) 2 4 2 x ? 2 x ? 3 x?1 ( x ? 1)(x ? 3)

1.3.2.1.计算极限

x ? ??

lim

x 2 ? 3x 2x ? 1



解: xlim ? ??

1? 3/ x 1 x 2 ? 3x . ? lim ( 4分) ? ( 2分) x ??? 2 ? 1 / x 2x ? 1 2

x ?2? 1.3.3.2.计算极限 lim? ? ? x ?? ? x ?

x ?3


x ? 2?

x ?2? 解: lim? ? ? x ?? ? x ?

x ?3

2 ? ?? ? ?? x ?3? ? lim(1 ? ) 2 ? x ? x ?? x

(2分) ?e

x ??

lim ?

2 x ?6 x

. ( 2分) ? e ?2 ( 2分)

( 1.3.4.2.计算极限 lim x ??

2x ? 3 x ) . 2x ? 1
x ?3

? 1 ? 23x ? 2x ? 3 x e 2 ? (2分) ? 1 (2分) ? e ?2 (2分) ( ) ? lim? 解: lim x ?? 2 x ? 1 x ?? ? 1 ? 1 ? 2x ? ? e 2

? x2 ?1 ? ? ? . 1.3.5.2.计算极限 lim x ?? ? x 2 ? 1 ? ? ?

x2

? x2 ?1? ? 解: lim? x ?? ? x 2 ? 1 ? ? ?

x

2

? ?1? ? lim? x ?? ? ?1? ?

1 x2 1 x2

? ? ? ? ? ?

x2

(3分) ?

e e ?1

(2分) ? e 2 ( 1分)

1.3.6.2.讨论函数 f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 2 的间断点并说明其类型. x 2 ? 5x ? 6

解:令 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ,解得 x ? 2 , x ? 3 ,当 x ? 2 、 x ? 3 时,函数 f ( x) 无定义,故
x ? 2 、 x ? 3 是函数 f ( x) 的间断点. (2

分)

? lim f ( x) ? lim
x ?2

( x ? 1)(x ? 2) ? ?1 ,? x ? 2 是 f ( x) 的第一类可去间断点; (2 分) x ?2 ( x ? 2)(x ? 3) ( x ? 1)(x ? 2) ? ? ,? x ? 3 是 f ( x) 的第二类无穷间断点. (2 分) ( x ? 2)(x ? 3)

? lim f ( x) ? lim
x ?3 x ?2

? tan 2 x , x?0 1.3.7.2.设函数 f ( x) ? ? ,求 k 的值,使函数在 x ? 0 处连续. ? x ?( x ? k ) 2 , x ? 0 ?

解:? lim f ( x) ? lim
x ?0 ?

x ?0 ?

tan 2 x f ( x) ? lim (x ? k 2 ) ? k 2 ? 2 (2分) ; lim ? ? x ? 0 x ? 0 x

(2分) ,

若 f ( x) 在 x ? 0 处连续,则 k 2 ? 2 , k ? ? 2 (2分)

2 ? ?kx ? 1, x ? 1 1.3.8.2.已知函数 f ( x) ? ? x 在点 x ? 1 处连续,求常数 k 的值. ? x ?1 ?e ,

解:? lim f ( x) ? lim (kx 2 ? 1) ? k ? 1 (2分) ; lim f ( x) ? lim e x ? e (2分) ,
x ?1? x ?1? x ?1? x ?1?

由于 f ( x) 在 x ? 1 处连续,所以 f (1) ? k ? 1 ? lim f ( x) ? e (1分) ,? k ? e ? 1 (1分)
x ?1?

1.3.9.2.计算极限 lim x ?0

ln(1 ? 3 x) sin 3 x . 1 ? cos 2 x ln(1 ? 3x) sin 3x (?3x)3x 9 解: lim . ? lim (3分) ?? ( 3分) x ?0 x ?0 1 1 ? cos2 x 2 2 ( 2 x) 2

1.3.10.2.计算极限 lim
x ?0

ln(1 ? x)(1 ? cos2 x) . 2 x x tan 2 1 ( ? x) (2 x) 2 ln(1 ? x)(1 ? cos 2 x) 2 解: lim . ? lim (3分) ? ?8 ( 3分) x ?0 x ?0 1 3 2 x x tan x 2 4

四、证明题(每小题 7 分) 1.5.1.3.证明方程 sin x ? x ? 1 ? 0 在开区间 ( ? , ) 内至少有一个根.
2 2

? ?

证:设 f ( x) ? sin x ? x ? 1,则函数 f ( x) 在 [? , ] 上连续. (2 分) 因为 f (? ) ? ?1 ?
2

? ?

?

?
2

?1 ? ?

?
2

, f ( ) ? 1?
? ?
2 2 2

?

?
2

2 2

?1 ? 2 ?

?

2

,所以 f (? ) ? f ( ) ? 0 , (2 分)
2 2

?

?

由零点定理,在开区间 ( ? , ) 内至少存在一点 ? ,使 f (? ) ? 0 , (2 分) 说明方程 sin x ? x ? 1 ? 0 在开区间 ( ? , ) 内至少有一个根. (1 分)
2 2

? ?

1.5.2.3.证明方程 x ? 2 sin x ? 1 至少有一个正根小于 3. 证:设 f ( x) ? x ? 2 sin x ? 1,则函数 f ( x) 在 [0 , 3] 上连续. (2 分) 因为 f (0) ? ?1 , f (3) ? 3 ? 2 sin 3 ? 1 ? 2 ? 2 sin 3 ,所以 f (0) ? f (3) ? 0 , (2 分) 由零点定理,在开区间 (0 , 3) 内至少存在一点 ? ,使 f (? ) ? 0 , (2 分) 说明方程 x ? 2 sin x ? 1 至少有一个正根小于 3. (1 分)

1.5.3.3. 设函数 f ( x) 在 [0 , 4] 上连续, 且 f (0) ? f (4) ,证明在 (0 , 2) 内至少存在一点 ? , 使得 f (? ) ? f (? ? 2) . 证:设 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 2) ,因为函数 f ( x) 在 [0 , 4] 上连续,则函数 F ( x) 在 [0 , 2] 上 连续. (2 分) 又因为 f (0) ? f (4) , F (0) ? f (0) ? f (2) , F (2) ? f (2) ? f (4) ? f (2) ? f (0) , 所以 F (0) ? F (2) ? 0 , (2 分) 由零点定理,在开区间 (0 , 2) 内至少存在一点 ? ,使 F (? ) ? f (? ) ? f (? ? 2) , (2 分) 即 f (? ) ? f (? ? 2) . (1 分)


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