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2014届高中数学 第三章 直线与方程 直线的倾斜角与斜率提高训练 新人教A版必修2


直线的倾斜角与斜率(提高训练)
1、直线 ? 1 、 ? 2 的斜率是方程 x -3x-1=0 的两根, 则 ? 1 与 ? 2 的位置关系是( A、平行 答案:D B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直
2



2、如右图中直线 ? 1 、 ? 2 、 ? 3 的斜率分别为 k1、k2、k3。则 () A、k1<k2

<k3 B、k3<k1<k2 C、k3<k2<k1 D、k 1<k3<k2 答案:B 解 析:根据斜率与倾斜角的关系可得此答案 3、已知直线经过点 P(3,2) ,倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的 2 倍,求直线 l 的方 程。 解析:设直线 x-4y+3=0 的倾斜角为α

则易得 tan ? ?

1 4

故所求直线的斜率为k ? tan 2? ?
又直线经过点 P(3,2)

2 tan ? 8 ? 2 1 ? tan ? 15

? 直线方程为y ? 2 ?

8 ?x ? 3? 15

整理得:8x ? 15y ? 6 ? 0
4、已知直线过点 P(-2,3) ,且与两坐 标轴围成的三角形面积为 4,求直线的方程。 解析:关键是要求出斜率 k。 显然,直线 l 与两坐标轴不垂直,设直线的方程为 y-3=k(x+2 )

令x ? 0得:y ? 2 k ? 3
令y ? 0得:x ? ? 3 ?2 k
1 3 ?2 k ? 3?? ? ? 2? ? 4 ? ? ? k ? 2

于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为
?3 ? 即 ?2 k ? 3?? ? 2? ? ?8 ?k ?

?3 ? 若?2 k ? 3?? ? 2? ? 8,则整理得: 4 k 2 ? 4 k ? 9 ? 0,无解; ?k ? ?3 ? 若?2 k ? 3?? ? 2? ? ?8,则整理得: 4 k 2 ? 20k ? 9 ? 0 ?k ?

1

1 9 解之得:k ? ? ,k ? ? 2 2 ? 所求直线的方程为y ? 3 ? ? 1 9 ?x ? 2?和y ? 3 ? ? ?x ? 2? 2 2
1

即 x ? 2y ? 4 ? 0和9x ? 2y ? 12 ? 0
5、 求倾斜角是直线 y ? ? 3x ? 1的倾斜角的 ,且分别满足下列条件的直 4 线方程

(1)经过点

?

3, ? 1 ;

?

(2)在y轴上的截距是 ? 5。
解析:? 直线y ? ? 3x ? 1的斜率k ? ? 3 ∴其倾斜角α =120°

由题意,得所求直线的倾斜角? 1 ?
故所求直线的斜率k 1 ? tan 30 o ?

1 ? ? 30 o 4

3 3

(1) ? 所求直线经过点

?

3, ? 1 ,斜率为 3 x? 3 3

?

3 3

? 所求直线方程是 y ? 1 ?
即 3x ? 3y ? 6 ? 0

?

?

( 2 ) ? 所求直线的斜率是

3 ,在y轴上的截距为 ? 5 3

? 所求直线的方程为 y ?
即 3x ? 3y ? 15 ? 0

3 x?5 3

6、已知直线的倾斜角的取值范围,利用正切函数的性质,讨论直线斜率及其绝对值的变化 情况。 (1)0°<α <90°; )90°<α <180°。 (2 解析: 本题要讨论的问题有两个:第一,直线斜率的变化情况;第二,直线斜率的绝对值 的变化情况。 (2) 首先要建立斜率 k 与倾斜角α 之间的关系以及斜率 k 的绝对值|k|与倾斜角α 之 间的关系,然后讨论变化情况,必要时可先画出函数的图象,根据图象指出直线的斜率及其 绝对值 的变化情况。

2

(3)用函数的性 质或 图象知识去讨论。 解: 当 0°<α <90°时,tanα >0 (1)k=tanα ,|k|=|tan α |=tan α (0°<α <90°) ∴y=k 与 y=| k|的图象相同(如图所示) 这时,直线的斜率与直线斜率的绝对值相等,且属于(0,+∞) ,直线的斜率及其绝对 值随着直线倾斜角的增大而增大。

当?无限接近于

? 时,直线的斜率及其绝对值无限接近于 ? ? 2

当 90°<α <180°时,k=tanα <0

? y ? k ? tan ?,y ?| k| ?|tan ?| ? ? tan ?,它们的图象如图所示:

因此,当90o ? ? ? 180o 时,直线的斜率的变化范围是(-?,0),随着?
?? ? 在开区间? ,?? 内逐渐增加,直线的斜率从 ? ?增大而无限接近于0。 ?2 ?
当 0<α <90°时,直线斜率的变化范围是(0,+∞) ,随着倾斜角在开区间

?? ? ? 0, ? 内逐渐增大时,直线斜率由 0增大。 ? 2?
当 90°<α <180°时直线斜率绝对值的变化范围是(0,+∞) ,随着倾斜角在开

3

?? ? 区间? ,?? 内逐渐增大时,直线斜率的绝对值从 ? ? 逐渐减少,而无限接近 ?2 ?
于 0。

4


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