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高中数学解题的21个典型方法与技巧


高中数学解题的 21 个典型方法与技巧
1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是:把绝对值的问题转 化为不含绝对值的问题。具体转化方法有: ①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法:适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法:适用于有明显几何意

义的情况。 2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步 骤是:提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。 3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法,它是数学中的重要方法 和技巧。配方法的主要根据有: ① a2 ? 2ab ? b2 ? ? a ? b?
2

② a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? ? a ? b ? c ?

2

1 2 2 2 ③ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? ?? a ? b ? ? ?b ? c ? ? ? c ? a ? ? ? 2?
? a? x ? ? ? ④ ax 2 ? bx ? c ? a ? x 2 ? x ? ? c ? a ? x 2 ? 2 ? x ? ? 2 ? ? c ? a 2a 4 a 4a 2a ? ? ? ? b ? ? ? b b2 ? b2 ? ? b ? ?
2

b 2 ? 4ac 4a

4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的一般步骤是:设元→换元→解元→ 还元。 5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数 解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是:①设②列③解④写 6、复杂代数等式条件的使用技巧:右边化为零,左边变形。 ①因式分解型: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,两种情况为或型。 ②配成平方型: ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 0 ,两种情况为且型。
2 2

7、数学中两个最伟大的解题思路: ①求值的思路
方程思想与方法 ?????? 列欲求值字母的方程或方程组 不等式思想与方法 ?????? ? 欲求范围字母的不等式或不等式组

②求取值范围的思路

8、化简二次根式 m 的基本思路:把 m 化成完全平方式。



m? a 按a的情况分类讨论 m ??? ? a2 ? a ?????? ?结果

2

9、化简 a ? 2 b 的方法是观察法: a ? 2 b ? ? x ? y ? 其中 xy ? b , x2 ? y 2 ? a且x ? y ? 0 。
2

10、代数式求值的方法有:①直接代入法②化简代入法③适当变形法(和积代入法)。注意: 当求值的代数式是字母的“对称式”时,通常可以化为字母“和与积”的形式,从而用和积代入 法求值。 11、方程中除未知数以外,含有的其他字母叫做参数,这种方程叫做含参方程。解含参方程 一般要用“分类讨论法”,其原则是:①按照类型求解②根据需要讨论③分类写出结论。 12、恒等成立的条件: ① ax ? b ? 0 对于任意 x 都成立 ? 关于 x 的方程 ax ? b ? 0 有无数个解 ? a ? 0且b ? 0 。 ? c?0 有 无 数 个 解 ? ② ax 2 ? bx ? c ? 0 对 于 任 意 x 都 成 立 ? 关 于 x 的 方 程 a x2 ? b x a ? 0、 b ? 0 、 c?0 。 13、由一元二次不等式解集为 R ,得到下列恒不等成立条件: ① ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 对一切 x 恒成立 ? ? ② ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 对一切 x 恒成立 ? ? ③ ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 对一切 x 恒成立 ? ? ④ ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 对一切 x 恒成立 ? ?
?a ? 0 ; ?? ? 0 ?a ? 0 ; ?? ? 0 ?a ? 0 ; ?? ? 0 ?a ? 0 。 ?? ? 0

14、图像平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是:
h ?0左移h个单位;h ?0右移h个单位 y ? f ? x ? ?????????? ? y ? f ? x ? h? ? k k ?0上移k个单位;k ?0下移k个单位

15、图像法是讨论函数性质的重要方法---看图像、得性质。
图像在x轴上对应的部分 ? ①定义域 ? ②值域 图像在y轴上对应的部分 ? ? ?从左向右看,连续上升的一段在x轴上对应的区间是增区间 ? ③单调性 ? ? ?从左向右看,连续下降的一段在x轴上对应的区间是减区间 ? ④最值 图像最高点处有最大值,图像最低点处有最小值 ? ?⑤奇偶性 图像关于y轴对称是偶函数;图像关于原点对称是奇函数 ? ⑥周期性 图像每隔定长重复出现是周期函数 ?

16、函数、方程、不等式间的重要关系: 方程的根 ? 函数图像于 x 轴交点横坐标 ? 不等式解集端点

17、一元二次不等式的解法:一元二次不等式可以用因式分解法求解。简便的实用解法是根 据“三个二次”间的关系,利用二次函数图像去解。具体步骤如下: 二次系数化为正→判别且求根→画出示意图→解集横轴中 18、一元二次方程根的讨论:一元二次方程根的符号问题或 m 型问题可以利用根的判别式 和根与系数的关系来解决,但根的一般问题、特别是区间根的问题要根据“三个二次”间的关 系,利用二次函数图像去解。一般思路:题意→二次函数图像→不等式组(a 的符号、△ 的情 况、对称轴的位置、区间端点函数值的符号)。 19、基本函数在区间上的值域:①定义域没有特别限制时---记忆法或结论法;②定义域有特 别限制时---图像截断法,即画出图像→截出一段→得出结论 20、最值型应用题的解法:解决最值型应用题的基本思路是函数方程法,其解题步骤是:设 变量→列函数→求最值→写结论 21、穿线法是解高次不等式和分式不等式的最好方法。其一般思路是:首项系数化为正→求 根标根→右上起穿→奇穿偶回。 注意: ①高次不等式首先要用移项和因式分解的方法化为“左 边乘积、右边是零”的形式。②分式不等式一般不能用两边都乘以公分母的方法来解,要通 过移项、同分合并、因式分解的方法化为“商零式”,用穿线法解。


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