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2006理科汇编——三角函数(已整理)


(2006 重庆理 13) 已知 ? , ? ? (

3? 3 ? 12 ? , ? ) ,sin(? ? ? ) ? ? ,sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) ? ( 4 5 4 13 4 1 sin 2 x ? 4sin 2 x , x ? R 的值域是( 2 3 1 (B) [? , ] 2 2
(D) [? )




(2006 浙江理 6)函数 y ? (A) [? , ] (C) [?

1 3 2 2

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

b 为常数,a ? 0 ,x ? R ) (2006 天津理 8) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x( a 、 在x ?
处取得最小值,则函数 y ? f (

?
4

3? ? x ) 是( 4

) B.偶函数且它的图象关于点 (

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 (

3? , 0) 对称 D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 2

3? , 0) 对称 2

(2006 四川理 11) 设 a, b, c 分别为 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对的边, 则 a 2 ? b(b ? c) 是 A ? 2 B 的 ( (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (2006 陕西理 6) “等式 sin(? ? ? ) ? sin 2? 成立”是“ ? , ? , ? 成等差数列”的( A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 B. 充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 )



(2006 山东理 16) 下列四个命题中,真命题的序号有

(写出所有真命题的序号) 。

①将函数 y ?| x ? 1| 的图象按向量 v ? (?1,0) 平移,得到的图象对应的函数表达式为 y ?| x | ②圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 y ?
2 2

?

1 x 相交,所得的弦长为 2 2
A1

1 1 ③若 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ,则 tan ? cot ? ? 5 2 3
P 为底面 ABCD 内一动点,P ④如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1,

D1 B1 D B

C1

C

到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的距离相等,则 P 点的轨迹是抛物 A 线的一部分。 (16 题④图)

(2006 全国Ⅱ理 10)若 f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ,则 f (cos x) ? ( (A) 3 ? cos 2 x (B) 3 ? sin 2 x (C) 3 ? cos 2 x

) (D) 3 ? sin 2 x

(2006 全国Ⅰ理 6) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列,且

c ? 2a ,则 cos B ? (
A.

) B.

1 4

3 4

C.

2 4

D.

2 3

(2006 全国Ⅰ理 11)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根细木棒围成一个三 角形(允许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为( ) A. 8 5cm
2

B. 6 10cm

2

C. 3 55cm

2

D. 20cm

2

(2006 全国Ⅰ理 16) 设函数 f ? x ? ? cos (2006 辽宁理 11) 已知函数 f ( x) ? (A) [?1,1]

?

3x ? ? ? 0 ? ? ? ? ? , 若 f ? x ? ? f ? ? x ? 是奇函数, 则 ? ? ______。

?

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是( 2 2



(B) [ ?

2 2 ,1] (C) [?1, ] 2 2

(D) [?1, ?

2 ] 2

(2006 江西理 19) (本小题满分 12 分) 如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形, M , N 分别是边 AB, AC 上的点,线段 MN 经过 ?ABC 的中心 G ,设 ?MGA ? ? (

?
3

?? ?

2? ) ; 3

(1)试将 ?AGM 、 ?AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2 )表示为 ? 的函数,

1 1 (2)求 y ? 2 ? 2 的最大值与最小值。 S1 S2

A

?
M

N

19、解: (1) 因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心, 所以 AG=

B

D

C

? 2 3 3 ,?MAG= , ? = 6 3 2 3

由正弦定理

GM sin

?
6



GA

sin (?-?- ) 6

?

得 GM=

3

6sin (?+ ) 6

?

则 S1=

1 GM?GA?sin?= 2

sin ?

同理可求得 S2=

12sin (?+ ) 6 sin ?

?

12sin (?- ) 6
(2) y=

?

144 ? ? 1 1 2 2 ?+ )+sin( ?- )〕 + 2 = 2 〔sin( 2 6 6 y1 y 2 sin ?
2

=72(3+cot ?)因为 当?=

?
3

?? ?

? 时,y 取得最小值 ymin=216 2

2? ? 2? ,所以当?= 或?= 时,y 取得最大值 ymax=240 3 3 3

(2006 江苏理 14) cot 20? cos10? ? 3sin10? tan 70? ? 2cos 40? ? (2006 湖南理 16) (本小题满分 12 分)

_____



如图 3, D 是直角 ?ABC 斜边 BC 上一点,, AB ? AD ,记 ?CAD ? ? , ?ABC ? ? . (Ⅰ)证明: sin ? ? cos 2? ? 0 ; (Ⅱ)若 AC ? 3DC ,求 ? 的值.
A

B 图3

D

C

(2006 福建理 9) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 [ ? 的最小值等于( )

? ?

, ] 上的最小值是-2, 则? 3 4

A.

2 3

B.

3 2

C.2

D.3 )

(2006 安徽理 8) 设a ? 0, 对于函数 f ? x ? ? A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

sin x ? a (0 ? x ? ? ) , 下列结论正确的是 ( sin x

B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值

解:令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ?

sin x ? a (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 sin x a a y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,又 a ? 0 ,所以 y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B。 t t

(2006 安徽理 11) 如果 ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则( A. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A 1B 1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形



解: ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A 1B 1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是锐角

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? ? sin B ? cos B ? sin( ? B ) ? B1 ,那么, A2 ? B2 ? C2 ? , 三角形,由 ? 2 1 1 ,得 ? B2 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ? 所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。
(2006 安徽理 17) (本大题满分 12 分)

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? , 4 3 (Ⅰ)求 tan ? 的值;
已知

5sin 2
(Ⅱ)求

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ? 10 1 2 a n ? ?3 ? 或 t a n ? ?? , 解: (Ⅰ)由 tan ? ? cot ? ? ? 得 3tan ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 , 即t 3 3 3? 1 ? ? ? ? ,所以 tan ? ? ? 为所求。 又 4 3 1- cos ? 1+ cos ? ? ? ? ? ? 4sin ? ? 11 ?8 5sin 2 ? 8sin cos ? 11cos 2 ? 8 5 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ) = ?? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

=

5 ? 5cos ? ? 8sin ? ? 11 ? 11cos ? ? 16 8sin ? ? 6cos ? 8 tan ? ? 6 5 2 = =? 。 ? 6 ?2 2 cos ? ?2 2 cos ? ?2 2


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