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椭圆的简单几何性质


复习:
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的 动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

3.椭圆中a,b,c的关系是:

/>2 2 2 a =b +c

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a 2 b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2.1.2《 椭圆的几何性质》

2.2.2 椭圆的简单几何性质(1)

我们用椭圆的标准方程 x2 y2 ?1? ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 2 a b 来研究椭圆的几何性质 .?
上面从椭圆的定义?几何特征?出发 建 立了 椭圆的标准方程.下面再利用椭圆的标准 方 程研究它的几何性质 ,包括椭圆的形状、大 小、对称性和位置等 .

y

O

x

x2 y2 观察 观察椭圆 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? a b 的形状, 你能从图上看出它的范围吗 ? 它具有怎样的对称性 ? 椭圆 上 哪 些 点 比较特殊 ?

椭圆的几何性质
1.范围:由

2 2 x y x y ? 2 ? 1 ? 2 ? 1和 2 ? 1 2 a b a b

2

2

-a≤x≤a,

-b≤y≤b

说明:椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1

b

a

F1

o c
B1

A2

F2

x

1.范 围:
从图形上看: ?a ? x ? a, ? b ? y ? b.

x2 y2 从方程上看: 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a; a b

y2 x2 2 2 ? 1 ? ? 1 ? y ? b ? ?b ? y ? b 2 2 b a
故整个椭圆位于 y ? ?b, x ? ?a所围成的矩形内 .

y

F1

O

F2

x

椭圆关于y轴对称。

y

F1

O

F2

x

椭圆关于x轴对称。

y
A1 F1 O F2 x

A2

椭圆关于原点对称。

2、椭圆的对称性
x2 y2 Y ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) a2 b2 椭圆上任意一点P(x,y) P1(-x,y) 关于y轴的对称点是 P1 (-x, y)

y2 ? 2 2 a b 2 2 x y ? 2 ? 2 ?1 a b 即 P1 在椭圆上,则椭圆 关于y轴对称 同理椭圆关于x轴对称 关于原点对称

? ?x?

2

P(x,y)

O

X

P3(-x,-y)

P 2 ? x, ? y ?

结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

综上, 椭圆关于 x 轴、y 轴对称, 这时, 坐标轴是椭圆的对 称 轴 , 原点是 椭圆的 对 称 中心 , 椭 圆的对称中 心 叫做 椭圆的中心.

3 顶点
研究曲线上某些特殊点 的位置, 可以确定曲 线的位置 .要确定曲线在坐标系中 的位置, 常 常需要求出曲线与 x 轴、y 轴的交点坐标.
探究 你能由椭圆的方 x y 程 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? a b A 得出椭圆与x 轴、y 轴的 交点坐标吗?
2 2

y
B2

1

O

A2

x

B1

图2.1 ? 8

3、椭圆的顶点 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? *顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的 顶点。
B2 (0,b) A1

y

b

a F2

*长轴、短轴:线段A1A2、 (-a,0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

o c
B1 (0,-b)

A2 (a,0)

名师点睛
1.椭圆几何性质的应用

(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置,范围决定椭圆的大小,
离心率决定了椭圆的扁圆程度,对称性是椭圆的重要特征, 顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆重要的特殊点;若已 知椭圆的标准方程,则根据a、b的值可确定其性质. (2)明确a,b的几何意义,a是长半轴长,b是短半轴长,不 要与长轴长、短轴长混淆,由c2=a2-b2,可得“已知椭圆 的四个顶点,求焦点”的几何作图法,只要以短轴的端点 B1(或B2)为圆心,以a为半径作弧交长轴于两点,这两点就

是焦点.

(3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a,b,c, e 对应的线段或量为 a=|F2B2|,b=|OB2|,c=|OF2|, c |OF2| e= = =cos∠OF2B2. a |F2B2|
x2 y2 (4)若椭圆的标准方程为 2+ 2= 1(a>b>0),则椭圆与 x 轴的交点 a b A1,A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小,且 |A1F2|= a+ c,|A2F2| = a- c.

学生活动(课本48页练习1)

思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 ,
怎样确定椭圆焦点的位置?
B2

a
A1

b

a F2

F1 c

o c
B1

A2

因为a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为 圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为 椭圆焦点.

练习:课本48页2

4 离心率
思考 观察不同的椭圆?图 2.1 ? 9? , 我们发现, 椭圆的扁平程度不一 , 那么, 用什么量可以刻 画椭圆的扁平程度呢 ?

图2.1 ? 9

4、离心率
观察得知: x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
长半轴为 a
半焦距为 c

思考:保持长半轴 a 不变,改变椭圆的半焦距 c , 扁平 我们可以发现,c 越接近 a ,椭圆越________ c a 这样,我们就可以利用__和__这两个量来刻 画椭圆的扁平程度

看动画

c 我们把椭圆的焦距与长 轴长的 称为: 椭圆的离心率 a c

用e来表示,即 e ?

a 0<e<1 因为 a >c>0,所以 e 的取值范围是:_________

.

e 越接近于1,则c越接近于a,从而b就越小,因此椭圆就 越扁反之,e越接近于0, c 就越接近于0,从而b 就越接近 于 a,这时椭圆就越接近于圆 重合 图形变为 当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点就_____, 圆 它的方程为: ___,

x ?y ?a
2 2

2

看动画

2. 椭圆的离心率对椭圆形状的影响
2c c 椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率,记作 e= = . 2a a ∵ a>c>0,∴ 0<e<1. e 越接近于 1,则 c 就越接近于 a,从而 b= a2- c2越小,因此 椭圆越扁;反之,e 越接近于 0, c 就越接近于 0,从而 b 越接 近于 a,这时椭圆就越接近于圆,当且仅当 a=b 时,c=0,这 时两个焦点重合,这时图形就变为圆,此时方程即为 x2+ y2= a2.

4、椭圆的离心率 e与a,b的关系:

2 2 c a ?b e? ? 2 a a

b ? 1? 2 a

2

标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x 轴、y 轴成轴对称;关于原点 成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

c e ? a

a、b、c的 关系

a2=b2+c2

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x 轴、y 轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

离心率

c e ? a

同前 同前

a、b、c的关系

a2=b2+c2

自学导引
椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程

x2 y2 2+ 2= 1 a b __________

y2 x2 2+ 2= 1 a b ___________

(a>b>0) _________

(a>b>0) _________

焦点的位置
范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

焦点在y轴上 焦点在x轴上 -b≤x≤b -a≤x≤a __________ __________ 且-a≤y≤a 且-b≤y≤b ____________ ____________ A1(-a,0)、A2(a,0) ___________________ A1(0,-a)、A2(0,a) ___________________ B1(0,-b)、B2(0,b) ___________________ B1(-b,0)、B2(b,0) ___________________ 2a 短轴长=___ 2b ,长轴长=___
F1(-c,0)、F2(c,0) ___________________ F1(0,-c)、F2(0,c) ___________________ 2c |F1F2|=___ x轴和y轴 ,对称中心______ (0,0) 对称轴_________ c (0< e< 1) e=a _________

例4

x y 解:把已知方程化成标准方程 ? 2 ?1 2 5 4 这里, a ? 5, b ? 4, c ? 25 ?16 ? 3

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标 2 2

因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a ? 10,2b ? 8 焦点坐标分别是 c 3 离心率 e ? ? ? 0.6 F a 5 1 (?3,0), F 2 (3,0) 四个顶点坐标是

A 1 (?5,0), A 2 (5,0), B 1 (0,?4), B2 (0,4)
解题的关键:1、将椭圆方程转化为标准方程 2、确定焦点的位置和长轴的位置

练习:课本48页4
例.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);

3 (2)长轴长等于20,离心率等于 . 5

解: (1)由椭圆的几何性质可知,点P、Q分别为椭圆长 轴和短轴的一个端点.

? a ? 3, b?2
2 y ? x ? ? 1 为所求椭圆的标准方程 . 9 4 c ? 6. (2) 由已知 2a ? 20, e ? c ? 3 , ? a ? 10 , 2

a

5

? b2 ? a2 ? c2 ? 64 .
x2 y2 y2 x2 所以椭圆方程为: ? ? 1或 ? ?1 100 64 100 64

y
B 例 5 如图2.1 ? 11, 一种 反射镜面 E 电影放映灯泡的反射镜 O F A 是旋转椭圆面(椭圆绕 F x D 其对称轴旋转一周形成 透明窗 C 的曲面)的一部分.过对 称轴的截口BAC 是椭圆的一部分 , 灯丝位于椭圆 一个焦点 F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆 一个焦点 F1 发出的光线 , 经过旋转椭圆面反射后 集中到另一个焦点F2 . 已知 BC ? F1 F2 , | F1 B |? 2.8 cm, | F1 F2 |? 4.5cm, , 求截口BAC 所在的椭圆方程 .
1 2

y
B E

反射镜面
O

解 建立图2.1 ? 11所示 的直角坐标系 , 设所求椭 x y 圆方程为 2 ? 2 ? 1. a b 在Rt ?BF1 F2 中,
2 2

A

F1
D C

F2

x

2

2

透明窗

图2.1 ? 11
2 2

| F2 B |? | F1 B | ? | F1 F2 | ? 2.8 ? 4.5 .

由椭圆的性质知 , | F1 B | ? | F2 B |? 2a, 所以
1 1 a ? ( | F1 B | ? | F2 B | ) ? 2.8 ? 2.8 2 ? 4.5 2 ? 4.1; 2 2

?

?

y
B E

反射镜面
O

A

F1
D C

F2

x

透明窗

图2.1 ? 11

b ? a 2 ? c 2 ? 4.12 ? 2.252 ? 3.4 .
x2 y2 所以, 所求的椭圆方程为 2 ? ? 1. 2 4.1 3.4

例6.点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到
2 a 定直线 l : x ? 的距离的比是常数 c (a ? c ? 0) a c

,求

点M的轨迹

.

解: 设 d是点M到直线l的距离,则 由题意知 | MF | ? c d a ( x ? c)2 ? y 2 c 即 ? . 2 a |a ?x| c

l'

y

l

F’O

.

.

M F

d
x

.

2 2 2 2 2 2 2 2 化简 (a ? c )x ? a y ? a (a ? c ) . 2 2 y 设 a2 ? c2 ? b2 ,则 方程化为 x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b ? 点 M 的轨迹是长轴、短轴长 分别为2a、 2b的椭圆.

椭圆第二定义:

当点M与一个定点的距离和它 到一条定直线的距离的 比是 c 常数e ? (0 ? e ? 1)时, 这个点的轨迹是椭圆 , a 定点是椭圆的焦点 , 定直线叫椭圆的准线 , 常数e是离心率
l'
y

l

F’O

.

.

M
F

d
x

.

活页规范训练

4.已知椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端 点间的距离等于 5 ,则此椭圆的标准方程是 ________.
解析 设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,焦 距为2c, 则b=1,a2+b2=( 5 )2,即a2=4.
2 x2 y 所以椭圆的标准方程是 +y2=1或 +x2=1. 4 4 2 x2 y 答案 +y2=1或 +x2=1 4 4

为________.

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则k的值 5.已知椭圆 2 k ?8 9

解析 k= 4; 2 c 9? k ?8 2 当k+8<9时,e = 2 = 5 a 9 k=- .
4

c 2 当k+8>9时,e =

1 k ?8?9 = = , 2 4 k ?8 a
2

1 = 4



答案

5 4或- 4

7.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴 长是短轴长的2倍,则m= ( ). 1 1 A. B. C.2 D .4
4 2

解析

∵焦点在y轴上, 1 ∴ >1,∴0<m<1.
m

2 y 将椭圆方程化为标准方程为x2+ = 1, 1 m

1 1 由方程得a= m ,b=1.∵a=2b,∴m= . 4

答案 A

11.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍,且过点A(2,- 6).求椭圆的标准方程. 解 法一 依题意a=2b. x2 y 2 ? 2 ?1 . (1)当椭圆焦点在x轴上时,设椭圆方程为 2 4b b 4 36 2=37, 代入点A(2,-6)坐标,得 ,解得 b ? ? 1 2 2 4 b b ∴a2=4b2=4×37=148,2 x y2 ? ?1 . ∴椭圆的标准方程为 148 37 y2 x2 (2)当焦点在y轴上时,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 . 4b b 36 4 代入点A(2,-6)坐标得 2 ? 2 ? 1 , 4b b 2 2 ∴b =13,∴a =52. 2 y x2 ? ?1 ∴椭圆的标准方程为 . 52 13 x2 y2 综上所述,所求椭圆的标准方程为 ? ?1 2 2 y x 148 37 ? ? 1 或 . 52 13

2.1.2《 椭圆的几何性质》

2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)

自学导引
点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 x2 y2 (1)点 P(x0, y0)与椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)的位置关系: a b x02 y02 点 P 在椭圆上? 2 + 2 = 1; a b x02 y02 点 P 在椭圆内部? 2 + 2 <1; a b x02 y02 点 P 在椭圆外部? 2 + 2 >1. a b

直线与椭圆的位置关系

种类: 相切 相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
由方程组:

Ax+By+C=0
x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b

mx2+nx+p=0(m≠ 0) = n2-4mp >0 =0 <0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离

自学导引
x2 y2 (2)直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系判断方 a b ?y=kx+m, ? 2 2 法:联立?x y ? ? a2+b2=1.

所以消y得一个一元二次方程 位置关系 相交 相切 解的个数 两解 ___ Δ的取值 > Δ___0 Δ___0 =

一解 ___
无解 ___

相离

Δ___0 <

x2 y2 例 7.已知椭圆 ? ? 1 ,直线 l: 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.

d?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 4 ?5
2 2

?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 41



x0 2 25

?

y0 2 9

?1

x2 y2 例 3.已知椭圆 ? ? 1 ,直线 l: 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l,则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x ? 5 y ? k ? 0
?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 联立方程组 ? x y2 ?1 ? ? ? 25 9
m

消去 y,得 25 x 2 ? 8kx ? k 2 ? 225 ? 0 令△= 64k 2 ? 4 ? 25 ? (k 2 ? 225) ? 0 解得 k=25,或 k=-25 由图可知,当 k=25 时,直线 m 与椭圆的交点到直线 l 的距离最近,此时直线 m 的方程为 4x-5y+25=0 | 40 ? 25 | 15 直线 m 与直线 l 间的距离 d ? ? 41
2 2

41 65 4 ?5 15 所以最小距离是 41. 思考:最大距离为多少? 41 41 41

1 1 7 变式1:交点坐标是什么? A(1, ), B(? , ? ) 2 5 10 6 变式2:相交所得的弦的弦长是多少? | AB |? 5 5 2 2 2 | AB |? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k (x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 弦长公式:
k表示弦的斜率,x1、x2表示弦的端点坐标

解:联立方程组 ?x ? x ? ? 1 1 2 1 ? 5 ? y ? x ? 消去y 2 2 ----- (1) 5 x ? 4 x ? 1 ? 0 x2+4y2=2 因为 ?=36>0,所以方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.

1 4 ? 例 .已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2,判断它们 x1 ? x2 ? ? 2 5 由韦达定理 ? 的位置关系。 ?

名师点睛
(3)弦长公式: x2 y2 设直线方程为 y=kx+m(k≠0),椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0)或 a b y2 x2 + =1(a>b>0),直线与椭圆的两个交点为 A(x1,y1),B(x2, a2 b2 y2),则|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2, ∴|AB|= (x1-x2)2+(kx1-kx2)2 = 1+k2· (x1-x2)2 = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2,

方法技巧

函数方程思想在椭圆中的应用

利用设而不解的方法求解直线与椭圆相交位置关系中 的中点、弦长等问题是本节特别常见的方程思想方法.
x2 2 【示例】 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 +y =1 的右焦点,交 4 椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的长.

[思路分析] 求弦AB的长,需确定点A、B的坐标,点A、B是

直线与椭圆的交点,因此由直线方程和椭圆方程组成方程
组,解方程组,依据根与系数的关系和弦长公式可求解.



∵ a2= 4, b2= 1,

∴ c= a2- b2= 3, ∴右焦点 F( 3, 0), ∴直线 l 方程 y= x- 3. ?y= x- 3, ? 2 由? x 消去 y 并整理得 5x2- 8 3x+ 8= 0. ? ? 4 + y= 1, 设直线 l 与椭圆的交点的 A(x1, y1), B(x2, y2), 8 3 8 则 x1+ x2= , x1x2= , 5 5 ∴ |AB|= ( x1- x2)2+( y1- y2)2 = ( x1- x2)2+( x1- 3- x2+ 3)2

= 2(x1-x2)2= 2[(x1+x2)2-4x1x2] = 8 3 2 8 8 8 2[( ) -4× ]= ,即弦 AB 的长为 . 5 5 5 5

方法点评

解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而

不解的方法,解题步骤为: (1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2); (2)联立直线与椭圆的方程; (3)消元得到关于x或y的一元二次方程;

(4)利用根与系数的关系设而不求;
(5)把题干中的条件转化为x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2,进 而求解.

5.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为 ________.
解析
? x 2 ? 4 y 2 ? 16 ? 由 ? y ? 1 x ? 1 消去y并化简得x2+2x-6=0. ? 2 ?

设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=-2,x1x2=-6.
? 弦长 | MN |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
1 1 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) 2 2
2

5 2 ? [(x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] 4
5 ? (4 ? 24) ? 35 4

练习:课本48页7