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(新课标人教版A)数学必修一:1-2-2-1函数及其表示ppt课件


1.2.2 第 1 课时

函数的表示法 函数的表示法

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【课标要求】 1.掌握函数的三种表示方法. 2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数. 【核心扫描】 1.解析法表示函数及函数图象的作法.(重点) 2.换元法和待定系数法求函

数解析式.(难点)

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自学导引 函数的表示法 (1)解析法:就是用数学表达式 表示两个变量之间的对应关系. (2)图象法:就是用 图象 表示两个变量之间的对应关系.

(3)列表法:就是列出 表格 来表示两个变量之间的对应关系. 想一想:任何一个函数都能用解析法表示吗? 提示 不一定.如学校安排的月考,某一地区绿化面积与年份

关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示.,

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名师点睛 函数三种表示方法的优缺点

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提醒

函数的三种表示互相兼容和补充,许多函数是可以用三

种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.

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题型一

换元法求函数解析式

【例 1】 求下列函数的解析式 (1)已知 f(2x+1)=x2+1,求 f(x); (2)已知
?1? x ? ?= fx 2,求 ? ? 1-x

f(x).

[思路探索] (1)将变量式 2x+1 以 t 来替换,按此规则将 x2+1 用 t 表示出来即可. (2)同(1)问.

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t-1 (1)设 t=2x+1,则 x= , 2

?t-1? ?2 ∴f(t)=? ? 2 ? +1. ? ?

从而

?x-1? ?2 f(x)=? ? 2 ? +1,即 ? ?

1 2 1 5 f(x)=4x -2x+4.

1 (2)设 t=x ,
?1? 1 x 则 x= t (t≠0),代入 f? x?= 2, ? ? 1-x

t x 得 f(t)= ?1? =t2-1,故 f(x)=x2-1(x≠0). 1-? t ?2 ? ?
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1 t

规律方法

换元法就是直接将式子左边括号内的表达式换作字

母“t”,然后从中解出 x,代入原式中,求出关于“t”的函数关系 式,即为所求的函数解析式,这种方法要注意自变量取值范围 的变化情况,否则易弄错函数定义域.

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【变式 1】 已知 f(x+2)=x2+3x-1,求 f(x). 解 令 x+2=t,则 x=t-2,

∴f(t)=(t-2)2+3(t-2)-1 =t2-4t+4+3t-7 =t2-t-3, ∴f(x)=x2-x-3.

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题型二

函数图象的作法

【例 2】 画出下列函数的图象: (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y=x2-2x,(x∈[-1,2); 2 (3)y= x,x∈[2,+∞). [思路探索] 根据定义域,结合解析式的特征描点作图.

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解 (1)当 x=0 时,y=1; 当 x=2 时,y=5. 所画图象如图 1 所示. (2)y=x2-2x=(x-1)2-1, 当 x=-1 时,y=3. 当 x=0 时,y=0. 当 x=1 时,y=-1. 当 x=2 时,y=0.所画图象如图 2 所示. (3)当 x=2 时,y=1,其图象如图 3 所示.

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规律方法

作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图

象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析 式(可能有的要表示为分段函数),再列表画出图象,并在画图 象的同时注意一些关键点,如与坐标轴的交点、区间端点等.

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【变式 2】 作出下列函数的图象: (1)y=x-1,x∈N 且-1<x<3; (2)y=-2x2+4x,x∈(-∞,0)∪[1,+∞). 解 如图所示.

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题型三 待定系数法求函数解析式 【例 3】 (12 分)已知 f(x)是一次函数,若 f(f(x))=4x+8,求 f(x) 的解析式. 审 题 指 导 设出f?x?的解析式 → 代入、列方程组

→ 求解待定系数 → 得解析式

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[规范解答] 设 f(x)=ax+b(a≠0),(2 分) 则 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.(4 分) 又 f(f(x))=4x+8, ∴a2x+ab+b=4x+8,(5 分)
?a2=4, ? ∴? ?ab+b=8, ?

(7 分)

?a=2, ?a=-2, ? ? 解得? 8 或? (10 分) ?b=-8, ? ?b=3 ? 8 ∴f(x)=2x+3或 f(x)=-2x-8.(12 分)
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【题后反思】 待定系数法是求函数解析式的常用方法: 若已知函数类型,可用待定系数法求解,若 f(x)是一次函数, 可设 f(x)=kx+b(k≠0),若 f(x)是二次函数,可设 f(x)=ax2+bx +c(a≠0),然后利用题目中的已知条件,列出待定系数的方程 组,进而求出待定的系数.

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【变式 3】 已知函数 f(x)=x2,g(x)为一次函数,且一次项系数 大于零,若 f(g(x))=4x2-20x+25,求 g(x)的表达式. 解 由 g(x)为一次函数,设 g(x)=ax+b(a>0), ∵f(g(x))=4x2-20x+25, ∴(ax+b)2=4x2-20x+25, 即 a2x2+2abx+b2=4x2-20x+25, ?a2=4 ? ∴?2ab=-20 ?b2=25 ? 解得 a=2,b=-5,故 g(x)=2x-5,(x∈R).
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区警示

因忽略函数的定义域而出错

【示例】 已知 f(x2+2)=x4+4x2,求 f(x)的解析式. [错解] ∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 设 t=x2+2,则 f(t)=t2-4,∴f(x)=x2-4. 采用换元法求函数的解析式时,一定要注意换元后 的自变量的取值范围.如本题中令 t=x2+2 后,则 t≥2.

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[正解] ∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 令 t=x2+2(t≥2),则 f(t)=t2-4(t≥2), ∴f(x)=x2-4(x≥2). 本题错解的原因是忽略了函数 f(x)的定义域.上面 错误的解法,似乎是无懈可击,然而从其结论,即 f(x)=x2-4 来看,并未注明 f(x)的定义域,那么按一般理解,就应认为其 定义域是全体实数.但是 f(x)=x2-4 的定义域不是全体实数.

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