1.2.1 充分条件与必要条件

第一章 常用逻辑用语 q? p A B 1.2.1 充分条件与必要条件 q? p p?q A A、B p?q B 问题引入 问题 1：前面我们讨论了“若 p ，则 q ”形式的命题，其中有 的命题是真命题，有的命题是假命题，你能分别举出一些这样 命题的例子吗？ 铺垫过渡 “若 p ，则 q ”为真命题，可以将它表示为 p ? q . 例如： “若 x ? 1 ，则 x ? 0 ”为真命题, 即： “ x ? 1 ? x ? 0 ”. 概念理解 例 1：下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？ (1)若 x ? 3 ，则 x ? 2 ； 2 (2)若 x ? 1 ，则 x ? 4 x ? 3 ? 0 ； ? ?? 上为增函数. (3)若 f ( x) ? x ，则 f ( x) 在 ? ??， 解：上述三个命题都是真命题，所以 p 都是 q 的充分条件. 问题： 对于以上命题，我们可不可以称 q 是 p 的必要条件呢？ 概念理解 练习 1、判断下列问题中， p 是 q 的充分条件吗？ (1) p : 两圆面积相等 (2) p : x ? a 2 ? b 2 (3) p : a ? b (4) p : x 为无理数 q : 两圆半径相等； q : x ? 2ab ; q : ac ? bc ； q : x 2 为无理数. 解：在?1?? 2? 中都有p ? q, 所以在?1?? 2? 中，p 是q 的充分条件. 在?3?? 4? 两个问题中p 与q 关系的描述 “ 若p则q”为假命题，那么由p 推不出q，记为p ? ? q, 称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 概念理解 练习 2：判断下列各组问题中， q 是 p 的必要条件吗？ （1） p : x ? 3 q:x ?5; ? ? （2） p : a ? b （3） p :同位角相等 （4） p :四边形对角线相等 ?? q : a? b ? 0; q : 两直线平行 ; q : 四边形是平行四边形 . 解：在（2） （3）中都有 p ? q ,故（2） （3）中， q 是 p 的必要条件； 在（1） （4）中都有 p ? （4）中， q 不是 p 的必要条件. ? q ，故（1） 新知体会 小结：例1、练习1、练习2 问题 2：在什么条件下，我们能说 （1） q 是 p 的充分条件？ q ? p ? （2） p 是 q 的必要条件？ ?q ? p q? p ? 知识应用 例 2、用“充分条件”或“必要条件”填空： 充分条件 ； （1） a ? 5 是 a ? 0 的______________ 必要条件 （2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的___________. 自主建构 【课堂活动】 请同学们自己举例给出 p, q 并判断其二者之间存 在的是否是充分条件或必要条件的关系. 知识联系 p : x ? Z, q: x?R p?q 思考：充分条件和必要条件与集合之间的联系. p : x ? A, q : x ? B ，且 p ? q ,则集合 A 与 B 有怎样的关系？ 任意x ? A, 则x ? B, 即：A ? B A B A、 B 历史文化 p : x ? A, q : x ? B ，且 p ? q ,则 A ? B . A B A、 B 我国战国时期，墨子所著《墨经》 充分条件：有之则必然，无之则未必不然； 必要条