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1.2.1 充分条件与必要条件


第一章 常用逻辑用语 q? p A B 1.2.1 充分条件与必要条件 q? p p?q A A、B p?q B 问题引入 问题 1:前面我们讨论了“若 p ,则 q ”形式的命题,其中有 的命题是真命题,有的命题是假命题,你能分别举出一些这样 命题的例子吗? 铺垫过渡 “若 p ,则 q ”为真命题,可以将它表示为 p ? q . 例如: “若 x ?

1 ,则 x ? 0 ”为真命题, 即: “ x ? 1 ? x ? 0 ”. 概念理解 例 1:下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 x ? 3 ,则 x ? 2 ; 2 (2)若 x ? 1 ,则 x ? 4 x ? 3 ? 0 ; ? ?? 上为增函数. (3)若 f ( x) ? x ,则 f ( x) 在 ? ??, 解:上述三个命题都是真命题,所以 p 都是 q 的充分条件. 问题: 对于以上命题,我们可不可以称 q 是 p 的必要条件呢? 概念理解 练习 1、判断下列问题中, p 是 q 的充分条件吗? (1) p : 两圆面积相等 (2) p : x ? a 2 ? b 2 (3) p : a ? b (4) p : x 为无理数 q : 两圆半径相等; q : x ? 2ab ; q : ac ? bc ; q : x 2 为无理数. 解:在?1?? 2? 中都有p ? q, 所以在?1?? 2? 中,p 是q 的充分条件. 在?3?? 4? 两个问题中p 与q 关系的描述 “ 若p则q”为假命题,那么由p 推不出q,记为p ? ? q, 称p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. 概念理解 练习 2:判断下列各组问题中, q 是 p 的必要条件吗? (1) p : x ? 3 q:x ?5; ? ? (2) p : a ? b (3) p :同位角相等 (4) p :四边形对角线相等 ?? q : a? b ? 0; q : 两直线平行 ; q : 四边形是平行四边形 . 解:在(2) (3)中都有 p ? q ,故(2) (3)中, q 是 p 的必要条件; 在(1) (4)中都有 p ? (4)中, q 不是 p 的必要条件. ? q ,故(1) 新知体会 小结:例1、练习1、练习2 问题 2:在什么条件下,我们能说 (1) q 是 p 的充分条件? q ? p ? (2) p 是 q 的必要条件? ?q ? p q? p ? 知识应用 例 2、用“充分条件”或“必要条件”填空: 充分条件 ; (1) a ? 5 是 a ? 0 的______________ 必要条件 (2)四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的___________. 自主建构 【课堂活动】 请同学们自己举例给出 p, q 并判断其二者之间存 在的是否是充分条件或必要条件的关系. 知识联系 p : x ? Z, q: x?R p?q 思考:充分条件和必要条件与集合之间的联系. p : x ? A, q : x ? B ,且 p ? q ,则集合 A 与 B 有怎样的关系? 任意x ? A, 则x ? B, 即:A ? B A B A、 B 历史文化 p : x ? A, q : x ? B ,且 p ? q ,则 A ? B . A B A、 B 我国战国时期,墨子所著《墨经》 充分条件:有之则必然,无之则未必不然; 必要条

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