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2014届苏州市第一次调研考试题及答案(纯word版)

时间:2014-01-28


苏州市 2014 届高三调研测试

数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

2014.1

1. 本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题 ? 第 14 题) 、解答题(第 15 题 ? 第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后

,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规 定位置. 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米 黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答 案直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A ? { x | x < 2 },B ? { ?1,0,2,3 },则 A∩B ? 2. 已知 i 为虚数单位,计算 (1 ? 2i)(1 ? i)2 = 3. 若函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( 0 ? ? ? 对称,则 θ ? ▲ . N . ▲ . 开始 输入 x x≥0 Y ▲ .

π π )的图象关于直线 x ? 2 6

4. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S5 = 5,S9 = 27, 则 S7 = ▲ . ▲

5. 若圆锥底面半径为 1,高为 2,则圆锥的侧面积为

y ← ?2x

y ← x(x?2)

6. 运行右图所示程序框图,若输入值 x?[?2,2],则输出值 y 的取值范围是 7. 已知 sin( x ? ▲ . ▲ . 输出 y 结束 (第 6 题)

π 3 π 4 ) ? , sin( x ? ) ? ,则 tan x = 4 5 4 5

8. 函数 y ? ex ? ln x 的值域为





9. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60° , c = t a ?(1 ? t) b . 若 b · c = 0,则实数 t 的值为 ▲ .

高三数学Ⅰ第 1 页,共 4 页

10.已知 m?{?1,0,1},n?{?1,1},若随机选取 m,n,则直线 mx ? ny ? 1 ? 0 恰好不经 过第二象限的概率是 ▲ . ▲ .

2 ? ? x ? x ( x≥ 0), 11.已知 f ( x) ? ? 2 ,则不等式 f ( x2 ? x ? 1) ? 12 的解集是 ? ?? x ? x ( x ? 0)

12.在直角坐标系 xOy 中, 已知 A (?1, 0) , B (0, 1) , 则满足 PA2 ? PB2 ? 4 且在圆 x2 ? y 2 ? 4 上的点 P 的个数为
2



. ▲ . ▲ .

13.已知正实数 x,y 满足 xy ? 2x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为 14.若

m x ?1 ? 0 (m ? 0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 mx ? 1

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)
1 在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos C ? c ? b . 2 (1)求角 A 的大小;

(2)若 a ? 15 , b ? 4 ,求边 c 的大小.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点.求证: (1)PA∥平面 MDB; P (2)PD⊥BC.

M D B

C

A

(第 16 题)

高三数学Ⅰ第 2 页,共 4 页

17.(本小题满分 14 分) 甲、乙两地相距 1000 km ,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 80 km/h ,已 知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方 1 的 倍,固定成本为 a 元. 4 (1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v( km/h )的函数,并指出这个函数的定义 域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?

18.(本小题满分 16 分)
x2 y 2 1 ,点 P(2e, )在椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2,0) 2 2 a b 上(e 为椭圆的离心率) . (1)求椭圆的方程; ???? ??? ? ???? ??? ? (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足 OC ? ? BA ,且 OC ? OB ? 0 ,求

如图,已知椭圆

实数 λ 的值.
y C

O

A x

B

(第 18 题)

高三数学Ⅰ第 3 页,共 4 页

19.(本小题满分 16 分) 设数列{an}满足 an?1 = 2an ? n2 ? 4n ? 1. (1)若 a1 ? 3,求证:存在 f (n) ? an2 ? bn ? c (a,b,c 为常数) ,使数列{ an ? f(n) } 是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式.

20.(本小题满分 16 分)
b 已知 a,b 为常数,a ? 0,函数 f ( x) ? (a ? ) e x . x (1)若 a = 2,b = 1,求 f ( x) 在(0,?∞)内的极值; (2)① 若 a > 0,b > 0,求证: f ( x) 在区间[1,2]上是增函数;

② 若 f (2) ? 0 , f (?2) ? e?2 ,且 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数,求由所有点 (a, b) 形 成的平面区域的面积.

高三数学Ⅰ第 4 页,共 4 页

苏州市 2014 届高三调研测试

数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

2014.1

1. 本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题 ? 第 14 题) 、解答题(第 15 题 ? 第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规 定位置. 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米 黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答 案直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? { x | x < 2 },B ? { ?1,0,2,3 },则 A∩B ? ?? 1,0?. 2.已知 i 为虚数单位,计算 (1 ? 2i)(1 ? i)2 = 4 ? 2i . 3. 若函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( 0 ? ? ? 称,则 θ ?
π π ) 的图象关于直线 x ? 对 2 6

开始 输入 x N x≥0 Y

? . 3

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S5 = 5,S9 = 27, 则 S7 = 14. 5. 若圆锥底面半径为 1,高为 2,则圆锥的侧面积为 5? . 6. 运行右图所示程序框图,若输入值 x?[?2,2],则输出值 y 的取值范围是 ?? 1,4? . 7. 已知 sin( x ?
π 3 π 4 ) ? , sin( x ? ) ? ,则 tan x = ? 7 . 4 5 4 5

y ← ?2x

y ← x(x?2)

输出 y 结束 (第 6 题)

高三数学Ⅰ第 5 页,共 4 页

8. 函数 y ? ex ? ln x 的值域为 ?2,??? . 9. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60° , c = t a ?(1 ? t) b . 若 b · c = 0,则实数 t 的值为 2. 10.已知 m?{?1,0,1},n?{?1,1},若随机选取 m,n,则直线 mx ? ny ? 1 ? 0 恰好不经 过第二象限的概率是

1 . 3

2 ? ? x ? x ( x≥ 0), f ( x ) ? 11.已知 ,则不等式 f ( x2 ? x ? 1) ? 12 的解集是 ?? 1,2? . ? 2 ? ?? x ? x ( x ? 0)

12.在直角坐标系 xOy 中, 已知 A (?1, 0) , B (0, 1) , 则满足 PA2 ? PB2 ? 4 且在圆 x2 ? y 2 ? 4 上的点 P 的个数为 2. 13.已知正实数 x,y 满足 xy ? 2x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为 2 6 ? 3 . 14.若

1? ? m2 x ? 1 ? 0 (m ? 0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ? ? ?,? ? . mx ? 1 2? ?

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
1 在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos C ? c ? b . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 15 , b ? 4 ,求边 c 的大小.
1 解:(1)因为 a cos C ? c ? b ,所以 2

1 sin A cosC ? sin C ? sin B ? sin? A ? C ? ? sin A cosC ? cos Asin C 2 1 即 sin C ? cos A sin C ,又因为 0 ? C ? ? 2 1 所以 sin C ? 0 ,所以 cos A ? ,又因为 0 ? A ? ? 2

高三数学Ⅰ第 6 页,共 4 页

所以 A ?

?
3
2


2 2 2

(2) 因为 a ? b ? c ? 2bc cos A ,即 15 ? 16 ? c ? 4c
2 所以 c ? 4c ? 1 ? 0 ,解得 c ? 2 ? 3 .

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点.求证: (1)PA∥平面 MDB; P (2)PD⊥BC. 证明:(1)连结 AC 交 BD 于点 O,连结 OM,则 M 因为四边形 ABCD 是矩形 所以 O 为 AC 的中点,又 M 为 PC 的中点. 所以 OM // PA . D C 又因为 PA ? 平面 MDB,而 OM ? 平面 MDB 所以 PA∥平面 MDB. (2)因为平面 PCD⊥平面 ABCD, B A (第 16 题) 且平面 PCD ? 平面 ABCD ? CD , BC ? CD 所以 BC ? 平面 PCD. 又 PD ? 平面 PCD, 所以 PD⊥BC. 17.(本小题满分 14 分) 甲、乙两地相距 1000 km ,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 80 km/h ,已 知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方 1 的 倍,固定成本为 a 元. 4 (1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v( km/h )的函数,并指出这个函数的定义 域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶? 解:(1)由题意 y ?

(2)当 0 ? a ? 1600 时,

1000 ? 1 2 1000 a 4a ? ? ? ? 250 ? v ? ? v ? a ? ? 250 v ? ? ?0 ? v ? 80 ? . v ?4 v v ? ? ?

4a ? ? y ? 250 ? v ? ? ? 250 ? 2 4a ? 1000 a v ? ? 4a 当且仅当 v ? ,即 v ? 2 a 时,取最小值. v 2 ? 4a ? 250 v ? 4a 当 a ? 1600 时, y ? ? 250 ?1 ? 2 ? ? v2 ? v ? 因为 0 ? v ? 80 ,所以 y ? ? 0 ,所以 y 在 ?0,80 ?上递减,

?

?

高三数学Ⅰ第 7 页,共 4 页

所以当 v ? 80 时, y 取最小值 20000 ? 18.(本小题满分 16 分)

25a . 2

x2 y 2 1 ,点 P(2e, )在椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2,0) 2 2 a b 上(e 为椭圆的离心率) . (1)求椭圆的方程; ???? ??? ? ???? ??? ? (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足 OC ? ? BA ,且 OC ? OB ? 0 ,求

如图,已知椭圆

实数 λ 的值.

4e 2 1 解:(1)由题意知 a ? 2 ,且 2 ? ? 1. a 4b 2
又b ? 4 ? c ,c ? 2.
2 2

y C

O

A x

解得 c ?

3 ,所以 b 2 ? 1 .
B

所以椭圆的方程为

x ? y 2 ? 1. 4

2

(第 18 题)

(2)设 B?x1 , y1 ?, C ?x2 , y 2 ? ?0 ? x2 ? 2,0 ? y 2 ? 1? ,又 A?2,0? ,则:

OC ? ? x 2 , y 2 ? , BA ? ?2 ? x1 ,? y1 ? , OB ? ?x1 , y1 ? .
所以 ? BA ? ?2? ? ?x1 ,??y1 ? ? ?x 2 , y 2 ? ,有 ?
???? ??? ? 又 OC ? OB ? 0 ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .

? x 2 ? 2? ? ?x1 . ? y 2 ? ??y1

所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 ?2? ? ?x1 ? ? y1 ?? ?y1 ? ? 0 . 即 x1 ? y1 ? 2 x1 ,又 x1 ? 4 y1 ? 4 ,解得 x1 ? 2 或 x1 ?
2 2 2 2

2 . 3

又 x2 ? ? ?2 ? x1 ? ? 0 ,所以 x1 ? 2 . 又 x2 ? 4 y 2 ? 4 .
2 2

所以 ?2? ? ?x1 ? ? 4? y1 ? 4 ,即 ?
2 2 2

2

??2 ? x ?
1

2

? 4 y12 ? 4 .

?

高三数学Ⅰ第 8 页,共 4 页

所以 ? ?
2

?2 ? x1 ?

4
2

? 4y

2 1

?

4 1 3 ? ? . 8 ? 4 x1 2 ? x1 4
3 . 2

???? ??? ? 又由题意 OC ? ? BA 知 ? ? 0 ,所以 ? ?

19.(本小题满分 16 分) 设数列{an}满足 an?1 = 2an ? n2 ? 4n ? 1. (1)若 a1 ? 3,求证:存在 f (n) ? an2 ? bn ? c (a,b,c 为常数) ,使数列{ an ? f(n) } 是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式. 解:(1)证明:设数列{ an ? f(n) }的公比为 q ,则: a n ?1 ? f ?n ? 1? ? q?a n ? f ?n ??. 而 a n ?1 ? f ?n ? 1? ? 2a n ? n ? 4n ? 1 ? a?n ? 1? ? b?n ? 1? ? c
2 2

? 2a n ? n 2 ?4n ? 1 ? an2 ? 2na ? a ? bn ? b ? c ? 2a n ? ?a ? 1?n 2 ??2a ? 4 ? b ?n ? ?1 ? a ? b ? c ? q?a n ? f ?n ?? ? qan ? qan2 ? qbn ? qc .

?q ? 2 ?q ? 2 ?qa ? a ? 1 ?a ? 1 ? ? 由等式恒成立得 ? ,解得 ? . qb ? 2 a ? 4 ? b b ? ? 2 ? ? ? ? qc ? 1 ? a ? b ? c ? ?c ? 0
故存在 f ?n ? ? n ? 2n ,使数列{ an ? f(n) }成公比为 2 的等比数列.
2

又 a1 ? f ?1? ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ,所以 a n ? f ?n ? ? 2 ? 2 所以 a n ? 2 ? f ?n ? ? 2 ? n ? 2n .
n n 2

n ?1

? 2n .

(2) 因为 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,可设 a n ? An ? Bn ,则:
2

a n ?1 ? A?n ? 1? ? B?n ? 1? ? An 2 ? ?2 A ? B ?n ? ? A ? B ? .
2

又 an?1 = 2an ? n2 ? 4n ? 1 ? 2 An ? 2Bn ? n ? 4n ? 1 ? ?2 A ? 1?n ? ?2 B ? 4?n ? 1 .
2 2
2

高三数学Ⅰ第 9 页,共 4 页

?A ? 2A ?1 ? A ? ?1 ? 由此得 ?2 A ? B ? 2 B ? 4 ,解得 ? . ?B ? 2 ?A ? B ? 1 ?
所以 a n ? ?n ? 2n ,所以 a1 ? 1 .
2

所以当 n ? 2 时, bn ? a n ? a n ?1 ? ?n ? 2n ? ? ?n ? 1? ? 2?n ? 1? ? 3 ? 2n .
2 2

?

?

当 n ? 1时, b1 ? a1 ? 1 满足上式. 故 bn ? 3 ? 2n . 20.(本小题满分 16 分)
b 已知 a,b 为常数,a ? 0,函数 f ( x) ? (a ? ) e x . x (1)若 a = 2,b = 1,求 f ( x) 在(0,?∞)内的极值; (2)① 若 a > 0,b > 0,求证: f ( x) 在区间[1,2]上是增函数;

② 若 f (2) ? 0 , f (?2) ? e?2 ,且 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数,求由所有点 (a, b) 形 成的平面区域的面积. 解:(1)由 a = 2,b = 1 知 f ? x ? ? ? 2 ?

? ?

1? x ?e , x ? ?0,?? ? x?

所以 f ??x ? ? ?

1 x ? 1 ? x ?x ? 1??2 x ? 1?e x e ? 2 ? . ? ?e ? x? x2 x2 ?

1 . 2 1 1 当 x ? 时, f ??x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 时, f ??x ? ? 0 . 2 2 1 所以当 x ? 时, f ? x ? 取极大值 4 e ,无极小值. 2
令 f ??x ? ? 0 得 x1 ? ?1(舍) ,或 x ?
b (2) ①因为 f ( x) ? (a ? ) e x .所以 x

ax 2 ? bx ? b e x b? ? b ? ? f ??x ? ? ? ? 2 ?e x ? ? a ? ?e x ? . x? x2 ? x ? ?
令 g ?x ? ? ax ? bx ? b , x ? ?1,2? .
2

?

?

高三数学Ⅰ第 10 页,共 4 页

因为 a > 0,b > 0,所以其对称轴 x ? ?

b ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?1,2? 上递增. 2a

所以 g ?x ?min ? g ?1? ? a ? b ? b ? a ? 0 ,故 g ?x ? ? 0 在 ?1,2? 上恒成立. 所以 f ??x ? ? 0 ,即 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数. ②由题意知 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数,且 f (2) ? 0 . 所以 f ?1? ? f ?2? ? 0 ,即 若, f (?2) ? e?2 ,且,求由所有点 (a, b) 形成的平面区域的面积.

高三数学Ⅰ第 11 页,共 4 页


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