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2014年女子数学奥林匹克试题word版


2014 年女子数学奥林匹克试题
第一天 2014 年 8 月 12 日 上午 8:00-12:00 广东中心华南师范大学中山附属中学 1、 如图, O1 与 延长 O1 A 交 O2 于点 C , 延长 O2 A 交 O1 O2 交于 A 、B 两点, 作 BE O2 A 交

于点 D ,过点 B

O1 于 另 一 点 E

。 若 DE O 1 A ,求证:

(郑焕供题) DC ? CO2 。 解答:

2、 设 x1 , x2 ,

, xn ? R ,且 ? x1 ? , ? x2 ? ,

, ? xn ? 是1, 2,

其中 n ? 2 是给 , n 的一个排列,

定的整数。求

?? x
i ?1

n ?1

i ?1

? xi ? 的最大值和最小值。

注: ? x ? 表示不超过实数 x 的最大整数。 (梁应德供题)

3、 在 n 名学生中,每名学生恰好认识 d 名男生和 d 名女生(认识是相互的) 。求所有可 能的正整数对 ? n, d ? 。 (王新茂供题)

4、 对整数 m ? 4 ,定义 Tm 为满足下列条件的数列 a1 , a2 , (1) 对每个 i ? 1, 2, (2)

, am 的个数:

, m, ai ??1, 2,3, 4? ;

a1 ? am ? 1, a2 ? 1; , m, ai ? ai ?1, ai ? ai ?2 .
,使得对任意整数 n ? 4 ,都有

(3) 对每个 i ? 3, 4,

求 证 : 存 在 各 项 均 为 正 数 的 正 比 数 列 ? gn ?

gn ? 2 gn ? Tn ? gn ? 2 gn . (朱华伟供题)

第二天 2014 年 8 月 13 日 上午 8:00-12:00 广东中心华南师范大学中山附属中学 5.设正整数 a 不是完全平方数, r 是关于 x 的方程 x3 ? 2ax ? 1 ? 0 的一个实根。求证: (李胜宏供题) r ? a 是无理数。

6.如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC , D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点,?ADE 的

D E 外接圆与 ?BCE 的外接圆交于点 P (异于点 E ) , ?A

的外接圆与 ?BCD 的外接

圆交于点 Q (异于点 D ) 。求证: AP ? AQ 。 (付云皓供题)

7.对有限非空实数集 X , 记 X 的元素个数为 X

,f ? X ? ?

1 X

a?X

? a.

集合对 ? A, B ? 满



A B ? ?1,2, ,100?, A B ? ?

且 1 ? A ? 98.

任 取

p?B

, 令

Ap ? A
p

? p?, Bp ? ?x
p

x | ?B x ? , p? 对 所 . 有 满 足 上 述 条件 的 ? A, B ? 与 p ? B , 求
的最大值。 (何忆捷供题)

? f ? A ? ? f ? A? ? ? f ? B ? ? f ? B ? ?
8. 设

n 是正整数, S
n (0, ], S2 ? S 3

是 ?1, 2,

, n? 中 所 有 与 n 互 素 的 数 构 成 的 集 合 , 记
( 2n , n]. 如果 S 的元素个数是 3 的倍数, 求证: 3

S1 ? S

n 2n ( , ], S3 ? S 3 3

集合 S1 , S2 , S3 的元素个数相等。 (王彬供题)


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