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山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编17 等差数列 理 新人教A版


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 17:等差数列
一、选择题 1 . 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 设 S n 是 等 差 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 ( 和, a1 ? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ? A. 90 【 答 案 】 C ( ) B. 54 C. ? 54 D.

?72 由 a1 ? 2, a5 ? 3a3 得 a1 ? 4d ? 3(a1 ? 2d ) , 即 d ? ? a1 ? ?2 , 所 以 C.

S9 ? 9a1 ?

2 . (山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理科数学)在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? ?2013 ,其前 n 项 和为 S n ,若 A.-2012 【 答 案 】 B

9?8 d ? 9 ? 2 ? 9 ? 8 ? ?54 ,选 2

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于 12 10
B.-2013 【 解 析 】 C.2012 D.2013





12 ?11 d S10 11 S12 S10 9 2 ? a1 ? d , 所 以 ? ?d ?2 , 所 以 ? a1 ? d , 10 2 12 10 12 2 2 0? 1 3 2 0 1 2 S2 0? 2 3 1 ?3 1 0 a d? 2 0 1 3 ? ( 2 ,选 B 1 ? 3 ? 0? 2 0 1 2 ) 2 0 1 1 2 3 . (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理) )如果等差数列 ?an ?中, a5 ? a6 ? a7 ? 15 ,那么 S12 ? 12 12a1 ?
a3 ? a4 ? ... ? a9 等于
( ) A.21 B.30 C.35 D.40 【答案】C 【 解析】由 a5 ? a6 ? a7 ? 15 得 3a6 ? 15,a6 ? 5 .所以 a3 ? a4 ? ... ? a9 ? 7 a6 ? 7 ? 5 ? 35 ,选 C.

1 ? 2 1 1 10 ? 9 S1 ? 12a ? 1 d , S10 ? 10a1 ? d 2 2 2

,





4 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)已知 ?an ? 为等差数列,若

a3 ? a4 ? a8 ? 9, 则S9 ?





A.24 B.27 C.15 D.54 【 答 案 】 B 在 等 差 数 列 中 , 由 a3 ? a4 ? a8 ? 9 得 3a1 ? 12d ? 9 , 即 a1 ? 4d ? a5 ? 3 , 所 以

S9 ?

9(a1 ? a9 ) 9 ? 2a5 9 ? 2 ? 3 ? ? ? 27 ,选 2 2 2

B.

5 . (山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已 知 (a1006 ? 1)3 ? 2013(a1006 ? 1) ? 1, (a1008 ? 1)3 ? 2013(a1008 ? 1) ? ?1, 则 A. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 C. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006 B. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 D. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006 ( )

【答案】B 6 . (山东省莱芜市莱芜十七中 2013 届高三 4 月模拟数学 (理) 试题) 已知正项组成的等差数列 {an } 的前 20 项的和 100 ,那么 a6 ? a15 最大值是 ( ) A. 25 B. 50 C. 100 D.不存在 【答案】A 7 . 山 东 省 威 海 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) {an } 为 等 差 数 列 , S n 为 其 前 n 项 和 , (

a7 ? 5,S7 ? 21 则 S10 ? , A. 40 B. 35

( C. 30 D. 28



1

【答案】A

设公差为 d ,则由 a7 ? 5,S7 ? 21 得 S7 ?

a7 ? a1 ? 6d ,所以 d ?

8 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和 为 S n ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ? A. ?14 B. ?13 ( ) C. ?12 D. ?11 13(a1 ? a13 ) 【答案】D 在等差数列中, S13 ? ? 13 ,所以 a1 ? a13 ? 2 ,即 a1 ? 2 ? a13 ? 2 ? 13 ? ?11 ,选 2 9 . 山东省济南市 2012 届高三 3 月高考模拟题理科数学 ( (2012 济南二模) 在等差数列 an ? 中, a1 =-2 012 , ) 其前 n 项和为 S n ,若 A.-2 011 【答案】B D.

10 ? 9 10 ? 9 2 2 d ? 10 ? ? ? 40 ,选 A. .所以 S10 ? 10a1 ? 2 2 3 3

7(a1 ? a7 ) 7(a1 ? 5) ,即 21 ? ,解得 a1 ? 1 ,所以 2 2

?

S12 S10 =2,则 S 2 012 的值等于 ? 12 10
B.-2 012 C.-2 010 , 则 D.-2 013





【 解 析 】 设 公 差 为

d

S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

,

Sn (n ? 1)d ? a1 ? n 2
, 所

, 由 以

10. (山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题)已知数列 ?an ? ,若点 ? n, an ? n ? N * 在经 过点 ? 8, 4 ? 的定直线 l 上,则数列 ?an ? 的前 15 项和 S15 ? A.12 B.32 C.60 D.120 ( )

S12 S10 (12 ? 1)d (10 ? 1)d , 所 以 ? ? ? ?d 12 10 2 2 S n ? n(n ? 2 ) ,0 2012 ?12012 (2012 ? 2013 ) ? ?2012 ,选 B S 3

d ?2

?

?

【答案】C【解析】可设定直线为 y ? 4 ? k ( x ? 8) ,知 an ? 4 ? k (n ? 8), 得an ? k (n ? 8) ? 4 ,则 ?an ? 是 等差数列且 a8 ? 4 ,所以 S15 ?

11. (山东省济南市 2013 届高三 4 月巩固性训练数学(理)试题)等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? ?12 , S13 ? 0 , 使得 an ? 0 的最小正整数 n 为 ( ) A.7 B.8 C .9 D.10 【答案】B 12. (山东师大附中 2013 届级高三 12 月第三次模拟检测理科数学)等差数列 {an } 的前 n 项的和为 S n ,且

15 ? (a1 ? a15 ) ? 15 ? a8 ? 15 ? 4 ? 60 ,选 2

C.

a1013 ? S2013 ? 2013 ,则 a1 ?
A.2012 B.-2012 C.2011 D.-2011 【 答 案 】 D 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , S2013





a1 ? 2 ? a 2 0 1 ? 2? 2 0 1 ? ? 2 0,选 3 11 3

2013(a1 ? a2013 ) ? ? 2013 , 所 以 a1 ? a 2 0 1 ? 2 , 所 以 3 2

D.

13. (山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题)设数列 {an } 是等差数列,且

a2 + a3 + a4 = 15 ,则这个数列的前 5 项和 S 5





A.10 B.15 C.20 D.25 【 答 案 】 D 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 a2 + a3 + a4 = 3a3 = 15 , 所 以 a3 ? 5 , 所 以

S5 ?

5(a1 ? a5 ) 5 ? 2a3 ? ? 5a3 ? 25 ,选 D. 2 2
1 2 9

14. (山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学 (理) 试题) 如果等差数列 {a n } 中, a3 ? a5 ? a7 ? 12 , 那么 a ? a ? ... ? a 的值为 ( )
2

A.18 【答案】C 二、填空题

B. 27

C.36

D.54

15. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)设直线 nx ? (n ? 1) y ? 坐标轴围成的三角形的面积为 Sn,则 S1+S2++S2012 的值为 【答案】

2(n ? N *) 与两

2012 2013

【 解 析 】 当 x?0 时 , y?

2 2 . 当 y?0 时 , y? , 所 以 三 角 形 的 面 积 n ?1 n 1 2 2 1 1 1 , 所 以 Sn ? ? ? ? ? ? 2 n n ? 1 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 2012 . S1 ? S 2 ? ? ? S 2 0 ?21 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1 2 2 3 2012 2013 2013 2013

16. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规 律,并依此规律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是___________.

n(n ? 1) 2 【解析】 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 10 ,所以 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4 , ? an ? an ?1 ? n ,等式 n(n ? 1) 两边同时累加得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,即 an ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ,所以第 n 个图形中小正方形 2 n(n ? 1) 的个数是 . 2
【答案】 17. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)现有一根 n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次 构成等差数列,最上面一节长为 10cm,最下面的三节长度之和为 114cm,第 6 节的长度是首节与末节长 度的等比中 项,则 n=___________. 【 答 案 】 16 设 对 应 的 数 列 为 {an } , 公 差 为 d , ( d ? 0) . 由 题 意 知

a1 ? 10 , an ? an ?1 ? an ? 2 ? 114 , a6 2 ? a1an .由 an ? an ?1 ? an ? 2 ? 114 得 3an ?1 ? 114 ,解得 an ?1 ? 38 ,即
(a1 ? 5d ) 2 ? a1 (an ?1 ? d ) ,即 (10 ? 5d ) 2 ? 10(38 ? d ) ,解得 d ? 2 ,所以 an ?1 ? a1 ? (n ? 2)d ? 38 ,即 10 ? 2(n ? 2) ? 38 ,解得 n ? 16 .
三、解答题 18. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比 数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12, q ? (I)求 an 与 bn ; 【答案】

S2 . b2

(II)设 Tn ? an b1 ? an ?1b2 ? ??? ? a1bn , n ? N ? ,求 Tn 的值.

3

19. (山东省文登市 2013 届高三 3 月二轮模拟考试数学(理) )已知数列 {an } 为公差不为 0 的等差数列, S n 为前 n 项和, a5 和 a7 的等差中项为 11 ,且 a2 ? a5 ? a1 ? a14 .令 bn ? (Ⅰ)求 an 及 Tn ; (Ⅱ)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n), 使得T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存 在,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得

1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1

?a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ?a ? 5d ? 11 ?d ? 2 ?a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d ) 整理得 ? 1 ?? ?a1 ? 1 ?d ? 2a1 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 1 1 1 1 1 由 bn ? ? ? ( ? ) an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
(Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知, Tn ?

n 1 m n ,所以 T1 ? , Tm ? , Tn ? 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比,则有

Tm 2 ? T1 ? Tn ? (

m 2 1 n m2 n ) ? ? ? ? 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
4

4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 3 4m ? 1 ? 2m 2 ,.....(1) ? ? ? m2 n n m2 6 6 因为 n ? 0 ,所以 4m ? 1 ? 2m 2 ? 0 ? 1 ? , ? m ? 1? 2 2 因为 m ? N ? , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,带入(1)式,得 n ? 12 ; 综上,当 m ? 2, n ? 12 可以使 T1 , Tm , Tn 成等比数列 ?
20. (山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)已知数列 列,
2 c n ? a n ? a n ?1 ?n ? N ? ? 2

?a n ? 是等差数

(1)判断数列 (2)如果 式;

a1 ? a3 ? ? ? a 25 ? 130 , a 2 ? a4 ? ? ? a 26 ? 143 ? 13k ?k为常数?

?cn ? 是否是等差数列,并说明理由;

,试写出数列

?cn ? 的通项公

(3)在(2)的条件下,若数列

?cn ? 得前 n 项和为 S n ,问是否存在这样的实数 k ,使 S n 当且仅当 n ? 12 时取

得最大值.若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】解:(1)设

{an }
2 n?2

的公差为 d ,则

cn ?1 ? cn ? (a

2 n ?1

?a

2 2 ) ? (an ? an ?1 )

2 ? 2an ?1 ? (an ?1 ? d ) 2 ? (an ?1 ? d ) 2

? ?2d 2 {cn } ?
数列 (2)

是以 ?2d 为公差的等差数列 3
2

? a1 ? a3 ? ? ? a25 ? 130

a2 ? a4 ? ? ? a26 ? 143 ? 13k ?两式相减: 13d ? 13 ? 13k ?d ? 1? k 13(13 ? 1) ?13a1 ? ? 2d ? 130 2 a1 ? ?2 ? 12 k ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? (1 ? k )n ? (13k ? 3)
2 2 ? cn ? an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 )

? 26 k 2 ? 32 k ? 6 ? (2n ? 1)(1 ? k ) 2
(3)因为当且仅当

? ?2(1 ? k ) 2 n ? 25k 2 ? 30 k ? 5 8 n ? 12 S n


最大

? 有c12 ? 0, c13 ? 0
? ?24(1 ? k ) 2 ? 25k ? 30k ? 5 ? 0 ?k 2 ? 18k ? 19 ? 0 ? ? ?? 2 ? 2 2 ? ?36(1 ? k ) ? 25k ? 30k ? 5 ? 0 ?k ? 22k ? 21 ? 0 ? ?



21. (2013 届山东省高考压轴卷理科数学)设数列 ?a n ? 的前 n 项积为 Tn ,且 Tn ? 2 ? 2a n (n ? N ) . . ..
?

?k ? 1或k ? ?19 ?? ? k ? ?19或k ? 21 ?k ? 21或k ? 1 12

(Ⅰ)求证数列 ?

(Ⅱ)设 bn ? (1 ? a n )(1 ? a n ?1 ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
5

?1? ? 是等差数列; ? Tn ?

1 3 ? T1 2 T 由题意可得: Tn ? 2 ? 2 n ? Tn ? Tn ?1 ? 2Tn ?1 ? 2Tn (n ? 2) , Tn ?1 1 1 1 所以 ? ? Tn Tn ?1 2
【答案】 【解析】(Ⅰ)

?1? n ?1 1 n?2 , an ? , ? 为等差数列, ? n?2 Tn 2 ? Tn ? 1 , bn ? (n ? 2)(n ? 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ?? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 3 4 4 5 n?2 n?3 3? 4 4 ? 5 ( n ? 2) ? ( n ? 3) 1 1 n ? ? ? 3 n ? 3 3n ? 9 22. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公
(Ⅱ)数列 ? 差 d ? 0 ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 (n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,是否存在最大的整数 t,使得对任意的 n 均有 n(an ? 3)

Sn ?

t 总成立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由, 36

【答案】

6

23. (山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知

a1 ? 2 , a3 ? a2 2 ? 10 .
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是 以函数 y ? 4sin (? x ? ) ? 1 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列
2

?an ? bn ? 的前 n 项和 S n .
【答案】

1 2

7

24. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前 5 项和为 S5 ? 35, a1 ? 1, a3 ? 1, a2 ? 1 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 ?

?1 ? ? n n ? ? ? 的前 n 项和,问是否存在常数 m,使 Tn ? n ? ? ,若存在,求 m 的值; ? n ? 1 2(n ? 2) ? ? Sn ?

若不存在,说明理由. 【答案】

25 . 山 东 省 威 海 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 数 列 ?an ? , a1 ? ?5 , a2 ? ?2 , 记 (

A(n) ? a1 ? a2 ? ? ? an , B(n) ? a2 ? a3
8

? ? ? an ?1 , C (n) ? a3 ? a4 ?? +an ? 2 ( n ? N * ),若对于任意 n ? N * , A(n) , B(n) , C (n) 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求数列 ?| an |? 的前 n 项和. 【答案】解:(Ⅰ)根据题意 A( n) , B ( n) , C (n) 成等差数列 ∴ A(n)+C (n) ? 2 B (n) 整理得 an ? 2 ? an ?1 ? a2 ? a1 ? ?2 ? 5 ? 3 ∴ an ? ?5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 8 (Ⅱ) | an |? ? ∴数列 ?an ? 是首项为 ?5 ,公差为 3 的等差数列

记数列 ?| an |? 的前 n 项和为 S n .

??3n ? 8, n ? 2 ?3n ? 8, n ? 3

n(5 ? 8 ? 3n) 3n 2 13 ?? ? n 2 2 2 (n ? 2)(1 ? 3n ? 8) 3n 2 13 当 n ? 3 时, S n ? 7 ? ? ? n ? 14 2 2 2 ? 3 2 13 ?? 2 n ? 2 n n ? 2 ? 综上, S n ? ? ? 3 n 2 ? 13 n ? 14 n ? 3 ?2 ? 2 26. (2010 年高考(山东理) )已知等差数列 ? an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ? an ? 的前 n 项和为 S n .
当 n ? 2 时, S n ? (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn=

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【答案】 【解析】(Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n . 2 1 1 1 1 1 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以 bn= 2 = = ?( = ? ), 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 Tn = ? (1- + ? +? + , ) = ? (1)= 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n 即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = . 4(n+1)
2 所以 an ? 3 ? (n ? 1)=2n+1 ; S n = 3n+

9


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