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数学必修2人教A:2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质


第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2.过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识; 3.情感、态度与价值观

通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻 辑推理能力. (二)教学重点、难点 两个性质定理的证明. (三)教学方法 学生依据已有知识和方法,在教师指导下,自主地完成定理的证明、问题的转化. 教学过程 教学内容 问题 1:判定直线和平面垂 直的方法有几种? 问题 2: 若一条直线和一个 平面垂直, 可得到什么结论?若 两条直线与同一个平面垂直 呢? 一、 直线与平面垂直的性质 定理 1.问题:已知直线 a、b 和平面 ? ,如果 a ? ? , b ? ? ,那 师生互动 设计意图

新课导入

师投影问题. 学生思考、 讨 论问题,教师点出主题

复习巩固 以旧带新

探索新知

生:借助长方体模型 AA′、 BB′、CC′、DD′所在直线都垂直 于平面 ABCD, 它们之间相互平 行,所以结论成立. 师:怎么证明呢?由于无 么直线 a、 一定 b 法把两条直线 a、b 归入到一个 平行吗? 平面内,故无法应用平行直线 已知 a ? ? , b ? ? 的判定知识,也无法应用公理 求证:b∥a. 4, 有这种情况下, 我们采用 “反 证明:假定 b 不平行于 a, 证法” 设 b ? ? =0 师生边分析边板书. b′是经过 O 与直线 a 平行 的直线 ∵a∥b′, a ? ? ∴b′⊥a 即经过同一点 O 的两线 b、 b′都与 ? 垂直这是不可能的, 因此 b∥a. 2.直线与平面垂直的性质 定理

借助模 型教学, 培 养几何直 观能力., 反 证法证题 是一个难 点, 采用以 教师为主, 能起到一 个示范作 用, 并提高 上课效率.

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垂直于同一个平面的两条 直线平行 简化为:线面垂直 ? 线线 平行 二、 平面与平面平行的性质 定理 1.问题 黑板所在平面与地面所在 平面垂直, 你能否在黑板上画一 条 直 线 与 地 面 垂 直 ? 教师投影问题,学生思考、 观察、讨论,然后回答问题 生:借助长方体模型,在 长方体 ABCD – A′B′C′D′中,面 A′ADD′⊥面 ABCD,A′A⊥AD, AB⊥A′A ∵ AD ? A?A ? A

探索新知

∴A′A⊥面 ABCD 故只需在黑板上作一直线 与两个平面的交线垂直即可. 2 . 例 1 设 ? ?? , 师:证明直线和平面垂直 AB⊥CD, 一般都转化为证直线和平面内 ? ? ? =CD,AB ? ? , AB⊥CD = B 求证 AB ? ? 两条交线垂直, AB⊥CD, 现 需 找一条直线与 AB 垂直, 有条件 ? ?? 还没有用,能否利用 ? ? ? 构造一条直线与 AB 垂直 呢? 证明:在 ? 内引直线 BE⊥ 生:在面 ? 内过 B 作 BE CD,垂足为 B,则∠ABE 是二 ⊥CD 即可. 面 角 ? ? CD ? ? 的 平 面 角 . 由 师:为什么呢? ? ? ? 知 , AB ⊥ BE, 又 AB ⊥ 学生分析,教师板书 CD,BE 与 CD 是 ? 内的两条相 交直线,所以 AB⊥ ? 3.平面与平面垂直的性质 定理 两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直 简记为:面面垂直 ? 线面 垂直. 例 2 如图, 已知平面 ? , ? , ? ? ? ,直线 a 满足 a?? , 试判断 a ?? , 直线 a 与平面

本 例 题的难点 是构造辅 助线, 采用 分析综合 法能较好 地解决这 个问题.

典例分析

? 的位置关系. 解:在 ? 内作垂直于 ? 与 ? 交线的直线 b, 因为 a ? ? ,所以 b ? ? 因为 a ? ? ,所以 a∥b. 样作直线 b?

师投影例 2 并读题 生:平行 师:证明线面平行一般策 略是什么? 生:转证线线平行 师:假设内一条直线 b∥a 则 b 与 ? 的位置关系如何? 生:垂直 师:已知 b ? ? , ? ? ? ,怎

巩固所学 知识, 训练 化归能力.

巩固所学 知识, 训练 分类思想 化归能力 及思维的

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又因为 a ? ? , 所以 a∥ ? . 即直线 a 与平面 ? 平行. 例 3 设平面 ? ⊥平面 ? , 点 P 作平面 ? 的垂线 a, 试判断

生:在 ? 内作 b 垂直于 ? 、 灵活性. ? 的交线即可.

学生写出证明过程,教师 投影. 直线 a 与平面 ? 的位置关系? 师投影例 3 并读题,师生 证明:如图,设 ? ? ? = c, 共同分析思路,完成证题过程, 过点 P 在平面 ? 内作直线 b⊥c, 然后教师给予评注. 根据平面与平面垂直的性质定 师:利用“同一法”证明 理有 b ? ? . 问题主要是在按一般途径不易 因为过 完成问题的情形下,所采用的 一点有且只 一种数学方法,这里要求做到 有一条直线 两点.一是作出符合题意的直线 与平面 ? 垂 不易想到,二是证直线 b 与直 直, 所以直线 线 a 重合,相对容易一些,本 a 与直线 b 垂合,因此 a ? ? . 题注意要分类讨论,其结论也 可作性质用. 1. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内画 “√”错误的 画“×”. (1)a.垂直于同一条直线 的两个平面互相平行. ( √ ) b.垂直于同一个平面的两 条直线互相平行. ( √ ) c.一条直线在平面内,另 一条直线与这个平面垂直, 则这 两条直线互相垂直. ( √ ) (2) 已知直线 a, 和平面 b ? ,且 a⊥b,a⊥ ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 . 答案:b∥ ? 或 b ? ? . 2. (1)下列命题中错误的 .. 是( A ) A.如果平面 ? ⊥平面 ? , 那么平面 ? 内所有直线垂直于 平面 ? . B.如果平面 ? ⊥平面 ? , 那么平面 ? 内一定存在直线平 行于平面 ? . C.如果平面 ? 不垂直平面 那么平面 ? 内一定不存在直 ?, 线垂直于平面 ? . D.如果平面 ? ⊥平面 ? , 平面 ? ⊥平面 ? ,? ? ? ? l ,那 么l ? ? . 学生独立完成 巩固、 所学 知识

随堂练习

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(2)已知两个平面垂直, 下列命题( B ) ①一个平面内已积压直线 必垂直于另一平面内的任意一 条直线. ②一个平面内的已知直线 必垂直于另一个平面的无数条 直线. ③一个平面内的任意一条 直线必垂直于另一个平面. ④过一个平面内任意一点 作交线的垂线, 则此垂线必垂直 于另一个平面. 其中正确命题的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 3.设直线 a, 分别在正方 b 体 ABCD – A′B′C′D′中两个不同 的面所在平面内, 欲使 a∥b, a, b 应满足什么条件? 答案:不相交,不异面 4.已知平面 ? , ? ,直线 a,且 ? ? ? , ? ? ? ? AB ,a∥

? ,a⊥AB,试判断直线 a 与直 线 ? 的位置关系.
答案:平行、 相交或在平面 ?内 1.直线和平面垂直的性质 2.平面和平面垂直的性质 3.面面垂直 ? 线面垂直 ? 线线垂直 回顾、 反思、 归纳 知识提高 自我整合 知识的能 力. 固化知识 提升能力

归纳总结

学生归纳总结,教材再补 充完善.

课后作业

2.3 第三课时 习案

学生独立完成

备选例题
例 1 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面, 另一条直角边 AC 与桌面所在的平面 ? 垂直,a 是 ? 内一条直线,若斜边 AB 与 a 垂直, 则 BC 是否与 a 垂直?
a ? AC AC ? ? ? 【解析】 ? ? a ? AB a ?? ? AC ? AB ? ? ? ? A? ?

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?

a ? 平面ABC ? ? ? a ? BC BC ? 平面ABC ?

【评析】若 BC 与 ? 垂直,同理可得 AB 与 ? 也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理, 证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法:“线线垂直→线面垂直→线线垂直” . 例 2 求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.已 知 ? ⊥r, ? ⊥r, ? ∩ ? = l,求证:l⊥r. 【分析】 根据直线和平面垂直的判定定理可在 r 内构造两相交直线分别与平面 ? 、? 垂 直.或由面面垂直的性质易在 ? 、 ? 内作出平面 r 的垂线,再设法证明 l 与其平行即可. 【证明】 法一: 如图, ? ∩r = a ,? ∩r = b, r 内任取一点 P. 设 在 过 点 P 在 r 内作直线 m⊥a,n⊥b. ∵ ? ⊥r, ? ⊥r, ∴m⊥a,n⊥ ? (面面垂直的性质). 又 ? ∩ ? = l, ∴l⊥m,l⊥n.又 m∩n = P,m,n ? r ∴l⊥r. 法二:如图,设 ? ∩r = a, ? ∩r = b,在 ? 内作 m⊥a,在 ? 内作 n⊥b. ∵ ? ⊥r, ? ⊥r, ∴m⊥r,n⊥r. ∴m∥n,又 n ? ? ,m ? ? , ∴m∥ ? ,又 ? ∩ ? = l,m ? ? , ∴m∥l, 又 m⊥r,∴l⊥r. 【评析】 充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键. 证法一充分利用面 面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题 是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益 的.

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