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2014北京石景山高考一模数学理

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2014 年石景山区高三统一测试 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , B ? ? x | x ? 1 ? 0? ,那么 A ? ?U B ? ()

?

?

A. ? x | 0 ? x ? 1? C. ? x | x ? 2?

B. ? x | x ? 0? D. ? x |1 ? x ? 2?

? ?) 内单调递减,并且是偶函数的是() 2.下列函数中,在 (0 ,
A. y ? x 2
2

B. y ? x ? 1

C. y ? ? lg | x |

D. y ? 2 x

3.在 ( x ? ) 的展开式中, x 的系数为()
5

1 x

A. 10

B. ?10

C. 20

D. ?20

D

A

4. 已知 Rt △ ABC 中,?C ? 90o , 以 BC 为直径的圆交 AB 于 D , AB ? 5, BC ? 4, 则 BD 的长为() A. 4 C.

12 5

9 5 16 D. 5
B.

B

C

5.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为1 的点到焦点的 距离为 3 ,则焦点到准线的距离为() A. 2 B. 8 C. 3 D. 4

6.右图是某个三棱锥的三视图,其中主视图是等边三角形,左视 图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体 积是()

1
主视图 左视图

6 12 6 C. 4
A.

3 3 3 D. 6
B.

开始

俯视图

i ? 0, A?2
i ? i ?1
A ? 1? 1 A


7.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为() A. ?2 C. ?1

1 2 D. 2
B.

i ? 2014
是 输出 A
1 / 13

结束

y) 在 椭 圆 C : 8 . 已 知 动 点 P( x ,

???? ? ???? ???? MP ? MF ? 0 ,则 | PM | 的最小值为()
A. 3 B. 3

???? x2 y 2 ? ? 1 上 , F 为 椭 圆 C 的 右 焦 点 , 若 点 M 满 足 | MF |? 1且 25 16

C.

12 5

D. 1

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知命题 p : ?x ? R , e x ? 0 ,则 ?p 是____________________.

a4 =16 ,则数列 an ? 的通项公式 an = _____________,设 bn ? log 2 an ,则 10.在等比数列 an ? 中, a1 =2 ,
数列 bn ? 的前 n 项和 S n = _____________. 11.已知圆 C 的极坐标方程为 ? =2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,则圆 C 的 直角坐标方程为_______________, 若直线 l : kx ? y ? 3 ? 0 与圆 C 相切, 则实数 k 的值为_____________.

?

?

?

?x ? y ? 2 ? 0 , y y 满足约束条件 ? 12.已知变量 x , 则 的取值范围是_________. ? x ? 1, ?x ? y ? 7 ? 0 , x ?
13.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的 7 个专业中,选择 3 个作为 自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生有_____________种不同 的填报专业志愿的方法(用数字作答) . 14.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x) 和 g ( x) 对其定义域上的任意实数 x 分别满足: f ( x) ? kx ? b 和

g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“隔离直线”.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1 和函数 g ( x) ? 2ln x ,那么函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的隔离直线方程为_________.
三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分)

B, C 的对边分别为 a ,, b c ,且 a ? b ? c , 3a ? 2b sin A . 在△ ABC 中,角 A , (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 7 ,求 c 边的长和△ ABC 的面积.

2 / 13

16. (本小题满分 13 分) 经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒,其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏 高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小 数点前的数字为茎,小数点后一位数字为叶)如下: 罗非鱼的汞含量 (ppm)

0

123556 7889 35567

1

《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.0 ppm. (Ⅰ)检查人员从这 15 条鱼中,随机抽出 3 条,求 3 条中恰有 1 条汞含量超标的概率; (Ⅱ)若从这批数量很大的鱼 中任选 3 条鱼,记 ? 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此 15 条鱼的 ........ 样本数据来估计 这批数量很大的鱼的总体数据,求 ? 的分布列及数学期望 E? . ...

3 / 13

17. (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2 ,侧棱长是 3 , D 是 AC 的中点. (Ⅰ)求证: B1C ∥平面 A1 BD ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (Ⅲ)在线段 AA1 上是否存在一点 E ,使得平面 B1C1 E ? 平面 A1 BD ,若存在,求出 AE 的长;若不 存在,说明理由.

C
D

C1

B

B1

A

A1

4 / 13

18. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x(a ? R) . (Ⅰ)若 ,求函数 作曲线 的单调区间; 的切线,证明:切点的横坐标为1 .

1] 上是减函数,求实数 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (0 ,
(Ⅲ)过坐标原点

5 / 13

19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 称圆心在原点 O , 半径为 a 2 ? b 2 的圆是椭圆 C 的“准圆”. 若 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 2 a b 椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 , 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; l2 交“准圆”于点 M ,N . (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点,过点 P 作椭圆的切线 l1 , l2 的方程并证明 l1 ? l2 ; (ⅰ)当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l1 ,
给定椭圆 C : (ⅱ)求证:线段 MN 的长为定值.

y l2
l1

P M
O

N

x

6 / 13

20. (本小题满分 13 分)

3 4, ?, n )作为新数列 {bn } 的 对于数列 {an } ,把 a1 作为新数列 {bn } 的第一项,把 ai 或 ?ai ( i ? 2 ,,
2 3 4 5的 一 个 生 成 数 列 是 第 i 项 , 数 列 {bn } 称 为 数 列 {an } 的 一 个 生 成 数 列 . 例 如 , 数 列 1,,,, 1, ? 2, ? 3,, 4 5.
已知数列 {bn } 为数列 {

1 }(n ? N? ) 的生成数列, S n 为数列 {bn } 的前 n 项和. n 2

(Ⅰ)写出 S 3 的所有可能值; (Ⅱ)若生成数列 {bn } 满足 S3n ?

1 1 (1 ? n ) ,求数列 {bn } 的通项公式; 7 8

(Ⅲ)证明:对于给定的 n ? N? , S n 的所有可能值组成的集合为 {x | x ?

2k ? 1 , k ? N? , k ? 2n?1} . n 2

7 / 13

2014 年石景山区高三统一测试 高三数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 2 3 4 5 题号 A C B D D 答案 6 B 7 C 8 A

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.两空的题目,第一空 2 分,第二空 3 分. 题号 答案 9 10 11 12 13 14

?x ? R , e ?0
x

2n ; n(n ? 1) 2

x +y =4 ;
5 k ?? 2
[

2

2

9 ,6 ] 5

180

y ? 2x ? 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A , 所以 3 sin A ? 2sin B sin A ,…………………………2 分 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 ,

3 ………………………… 4 分 , 2 因为 0 ? B ? ? ,且 a ? b ? c ,所以 B ? 60? .…………………………6 分 (Ⅱ)因为 a ? 2 , b ? 7 , 1 2 2 2 所以由余弦定理得 ( 7) ? 2 ? c ? 2 ? 2 ? c ? ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , 2 解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍) , 所以 c 边的长为 3 .…………………………10 分 1 1 3 3 3 .…………………………13 分 S?ABC = ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2
所以 sin B ? 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记“ 15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A ,则

P( A) ?

1 2 C5 C10 45 ? , 3 C15 91

? 15 条鱼中任选 3 条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为

45 . 91

…………………………4 分

(Ⅱ)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P( B) ?

? 可能取 0 , 1, 2 , 3 .
0 则 P (? ? 0) ? C3 ?1 ? ? ?

5 1 ? ,………………5 分 15 3
…………………………6 分
2

? ?

1? 3?
2

3

8 1 ? 1? 4 1 , P (? ? 1) ? C3 ? ? ?1 ? ? ? , 27 3 ? 3? 9
3

?1? P (? ? 2) ? C32 ? ? ? ?3?
其分布列如下:

1 ? 1? 2 3?1? .……………………10 分 ? 1 ? ? ? , P (? ? 3) ? C3 ? ? ? 27 ? 3? 9 ?3?
0 1 2 3

?

8 / 13

P
所以 E? ? 0 ?

8 27

4 9

2 9

1 27
…………………………12 分

8 4 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 .…………………………13 分 27 9 9 27

17. (本小题满分 14 分)

DM , (Ⅰ)证明:连结 AB1 交 A1B 于 M ,连结 B1C ,
因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱, 所以四边形 AA1 B1 B 是矩形, 所以 M 为 A1B 的中点. 因为 D 是 AC 的中点, 所以 MD ∥ B1C .…………………………3 分

C

C1

D

B

B1

所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线,…………………………2 分 因为 MD ? 平面 A1 BD , B1C ? 平面 A1 BD , 所以 B1C ∥平面 A1 BD .…………………………4 分 (Ⅱ)解:作 CO ? AB 于 O ,所以 CO ? 平面 ABB1 A1 , 所以在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中如图建立空间直角坐标系 O ? xyz . 因为 AB ? 2 , AA1 ? 3 , D 是 AC 的中点.

M
A1

A

0 0) , B(?1, 0, 0) , C (0 , 5分 z 所以 A(1,, 0) ,………………………… 0 , 3) , A1 (1, 3 ,
所以 D( , 0 , ) , BD ? ( , 0,

设 n ? (x , y, z ) 是平面 A1BD 的法向量,

?

??? ? 1 3 2 2 ???? BA1 ? (2 , 3 , 0) .

3 2

3 ), 2

C
B

C1

? ??? ? ?3 3 ? z ? 0, ?n ? BD ? 0 , ? x ? 2 所以 ? ? ???? 即 ?2 ? ?n ? BA1 ? 0 , ? 2 x ? 3 y ? 0 , ?
令 x ? ? 3 ,则 y ? 2 , z ? 3 ,

D

B1
y

O
A

A1

x 6分 所以 n ? (? 3 , 2, 3) 是平面 A1BD 的一个法向量.…………………………
0) 是平面 ABD 的一个法向量,…………………………7 分 由题意可知 AA1 ? (0 , 3 ,
2 3 1 ? .…………………………8 分 4 3 2 ? 所以二面角 A1 ? BD ? A 的大小为 .…………………………9 分 3 ???? ? ????? E (1 , x , 0) 0 ? 3) (Ⅲ)设 ,则 C1 E ? (?1 , 3 ? x , 3) , C1 B1 ? (?1 ,, ?? y1 , z1 ) , 设平面 B1C1 E 的法向量 n1 ? ( x1 , ?? ???? ? ?n1 ? C1E ? 0 , ? ? ?? x1 ? ( 3 ? x) y1 ? 3z1 ? 0 , 所以 ? ? ????? 即? ? ?n ? C1B1 ? 0 , ? ?? x1 ? 3z1 ? 0 , 6 令 z1 ? ? 3 ,则 x1 ? 3 , y1 ? , 3?x
所以 cos ? n , AA1 ??
9 / 13

?

????

? ????

?? 6 n1 ? (3 , , ? 3) ,…………………………12 分 3?x ?? ? 12 ? 3 3 ? 0 ,解得 x ? 3 , 又 n1 ? n ? 0 ,即 ?3 3+ 3?x 3
所以存在点 E ,使得平面 B1C1 E ? 平面 A1 BD 且 AE ? 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 时, f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x

3 .…………………………14 分 3

( x ? 0) , 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? f ?( x) ? 2 x ? 1 ? = ,…………………………1 分 x x 1 1 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, x ?( , ? ?) , f ?( x) ? 0 , 2 2 1 1 ? ?) .…………………………3 分 的减区间为 (0, ) ,增区间 ( , 2 2 1 (Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? a ? x ? f ( x) 在区间 (0, 1] 上是减函数, ? f ?( x) ? 0 对任意 x ? (0, 1] 恒成立, 1 1] 恒成立,…………………………5 分 即 2 x ? a ? ? 0 对任意 x ? (0, x 1 1] 恒成立, ? a ? ? 2 x 对任意 x ? (0, x 1 令 g ( x) ? ? 2 x , x ? a ? g ( x)min ,…………………………7 分
1] 单调递减,? g ( x)min ? g (1) ? ?1 . 易知 g ( x) 在 (0, ? a ? ?1 .…………………………8 分

f (t )) , f ?( x) ? 2 x ? a ? (Ⅲ)设切点为 M (t ,
切线的斜率

1 , x
, ,

,又切线过原点

存在性: 所以,

满足方程 是方程

, 的根.…………………………11 分 , , ,

再证唯一性:设

? (t ) 在 (0, ??) 单调递增,且

所以方程 有唯一解. 综上,切点的横坐标为 1 .…………………………13 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? c ?

2, a ? 3, ?b ? 1 ,

10 / 13

x2 ? y 2 ? 1,………………………………2 分 3 准圆方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .………………………………3 分 2) , (Ⅱ) (ⅰ)因为准圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0, 2) 且与椭圆相切的直线为 y ? kx ? 2 , 设过点 P(0, ? y ? kx ? 2, ? 所以由 ? x 2 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?3 因为直线 y ? kx ? 2 与椭圆相切,

?椭圆方程为

所以 ? ? 144k 2 ? 4 ? 9(1 ? 3k 2 ) ? 0 ,解得 k ? ?1 ,………………………………6 分

y ? ? x ? 2 .………………………………7 分 l2 方程为 y ? x ? 2, 所以 l1 ,
? kl1 ? kl2 ? ?1 ,? l1 ? l2 .………………………………8 分

l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在, (ⅱ)①当直线 l1 ,
则 l1 : x ? ? 3 , 当 l1 : x ? 3 时, l1 与准圆交于点 ( 3 ,, 1) ( 3 , ? 1) ,

l2 垂直; 此时 l 2 为 y ? 1(或 y ? ?1 ) ,显然直线 l1 , l2 垂直.………………………………10 分 同理可证当 l1 : x ? ? 3 时,直线 l1 ,
2 2 y0 ) ,其中 x0 l2 斜率存在时,设点 P( x0 , ? y0 ? 4. ②当 l1 ,

y0 ) 与椭圆相切的直线为 y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , 设经过点 P( x0 ,
? y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , ? 所以由 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?3 2 2 2 得 (1 ? 3t ) x ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 ) ? 3 ? 0 .
2 2 2 由 ? ? 0 化简整理得 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? 1 ? y0 ? 0 ,

2 2 2 2 2 因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 .

l2 的斜率分别为 t1 , t 2 ,因为 l1 , l2 与椭圆相切, 设 l1 ,
2 2 2 t 2 满足上述方程 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 , 所以 t1 ,

l2 垂直.………………………………12 分 所以 t1 ? t2 ? ?1 ,即 l1 ,
N ,且 l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M , l2 垂直. 综合①②知:因为 l1 ,
所以线段 MN 为准圆 x 2 ? y 2 ? 4 的直径, | MN | =4 , 所以线段 MN 的长为定值.………………………………14 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知, b1 ?

1 1 ? , | bn |? n (n ? N , n ? 2) , 2 2 1 1 b3 ? ? , ∴ b2 ? ? , 4 8 1 1 1 7 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 1 由于 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 1 3 5 7 ∴ S 3 可能值为 ,,, .…………………………3 分 8 8 8 8
11 / 13

(Ⅱ)∵ S3n ?

1 1 (1 ? n ) , 7 8

当 n ? 1 时, a1 ? a2 ? a3 ? S3 ?

1 1 1 (1 ? ) ? , 7 8 8 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, a3n ?2 ? a3n ?1 ? a3n ? S3n ? S3n ?3 ? (1 ? n ) ? (1 ? n ?1 ) ? n , 7 8 7 8 8 1 ? a3n ?2 ? a3n ?1 ? a3n ? n , n ? N* ,…………………………5 分 8 ?1? ? ∵ {bn } 是 ? n ? ( n ? N ) 的生成数列, ?2 ? 1 1 1 ∴ b3n ? 2 ? ? 3n ? 2 ; b3n ?1 ? ? 3n ?1 ; b3n ? ? 3n ; 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ∴ b3n ?2 ? b3n ?1 ? b3n ? ? 3n ?2 ? 3n ?1 ? 3n ? n (?4 ? 2 ? 1) ? n (n ? N ), 2 2 2 8 8
在以上各种组合中,

当且仅当 b3n ?2 ?

4 2 1 , b3n?1 ? ? n , b3n ? ? n (n ? N? ) 时,才成立. n 8 8 8

? 1 , n ? 3k ? 2, ? ? 2n b ? (k ? N? ) ∴ n ? .…………………………8 分 1 ?? , n ? 3k ? 2. ? ? 2n 1 1 1 1 (Ⅲ) Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 共有 2n?1 种情形. 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ,即 n ? Sn ? n , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n ?1 n?2 n ?3 2 ? 2 ? 2 ?? ?1 又 Sn ? ,分子必是奇数, 2n 1 x 2n ? 1 满足条件 n ? n ? 的奇数 x 共有 2n?1 个.…………………………10 分 n 2 2 2 { b } { a } 设数列 n 与数列 n 为两个生成数列,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,从 第二项开始比较两个数列,设第一个不相等的项为第 k 项. 1 bk ? 0 , 由于 | ak |?| bk |? k ,不妨设 ak ? 0, 2 则 S n ? Tn ? ( ak ? ak ?1 ? ? ? an ) ? (bk ? bk ?1 ? ? ? bn )
1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( k ?1 ? k ? 2 ? ? ? n ) ? 2 ? k ? 2 ? ( k ? n ) ? n ?1 ? 0 , k 2 2 2 2 2 2 2 2 所以,只有当数列 {an } 与数列 {bn } 的前 n 项完全相同时,才有 Sn ? Tn .……12 分 1 1 1 1 ∴ Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 共有 2n?1 种情形,其值各不相同. 2 2 2 2 1 3 5 2n ? 1 ∴ S n 可能值必恰为 n , n , n , ?, n ,共 2n?1 个. 2 2 2 2 2k ? 1 , k ? N? , k ? 2n?1} .…………………………13 分 即 S n 所有可能值集合为 {x | x ? 2n ? 2?
12 / 13

【注:若有其它解法,请酌情给分】

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