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2.3.2 双曲线的简单几何性质(第一课时教学设计)


2.3.2 双曲线的简单几何性质(第一课时教学设计)
一. 教学任务分析 1. 学生已有的主要知识结构 学生已经经历了根据标准椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方 法,并已学过了双曲线的定义及标准方程。 2. 建立新的知识结构 类比椭圆的简单几何性质的推导过程, 利用双曲线的标准方程通过学生自 我思考,得出结论,同学交流回答展示,得出与椭圆相近的几何性质。 通过多媒

体展示渐近线的发现与论证过程。 3. 在整个过程中教师的作用:启发诱导,点拨释疑,补充完善。 二. 教学目标 1.通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的范围,对称性,顶点,渐 近线和离心率等几何性质。 2. 了解双曲线的中心,实轴,虚轴,渐进线,等轴双曲线的概念,以及 a、 b、c、e 的关系及其几何意义。 3. 通过启发诱导,让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法,培养学 生类比,分析,归纳,猜想,概括,讨论等逻辑思维能力。 4. 通过类比旧知识,探索新知识,培养学生学习数学的兴趣,探索新知识 的能力及勇于创新精神。 三. 教学重点、难点 重点:双曲线的几何性质,双曲线各元素之间相互依存关系,特别是双曲线 的渐近线的性质。 难点:有关离心率,渐近线的问题。 关键:要注重数形结合,类比归纳及等价转化思想的运用。 四. 教学方法 启发诱导、类比探究 五. 教学手段 多媒体 六.教学基本流程 回忆椭圆的简单几何性质、双曲线的定义及标准方程 类比得出双曲线的简单几何性质:范围、对称性、顶点、离心率

渐近线的发现与论证 离心率的几何意义

例题与练习

小结与布置作业 七. 教学情境设计

教 学 程 序 [情境设置]

设计意图

回顾旧知, 为问 题的引入做准 提问: (1)双曲线的定义 备, 有助于本节 (2)双曲线的标准方程 课所研究的问 (3) 前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质 题顺利解决。

[探索研究]
1. 类 比 椭 圆
x2 y 2 ? ? 1 , ( a>b>0 ) 的 几 何 性 质 , 借 助 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 ,(a>0,b>0)图象探讨双曲线的几何性质:范围、 a 2 b2

对称性、顶点、离心率; 程序是: 学生:自主思考→得出结论→小组讨论→回答所得 结论 (与大家讨论) 教师:启发诱导→点拨释疑→补充完善 通过观察类比, 形成知识的迁 移, 明确双曲线 几何性质的研 究过程和研究 方法, 进而培养 学生观察问题 解决问题的能 力。 ,

2. 渐近线的发现与论证:
通过几何画板 的演示, 让学生 ① 在位于第一象限内的双曲线上找一点 M, 点 M 的横坐标 直 观 感 受 离 心 x y 率对双曲线开 xM 与它到直线 ? ? 0 的距离 d 有什么关系? 口大小的影响。 3 2 (几何画板演示,学生回答)

思考:双曲线

x2 y 2 ? ?1 9 4

归纳总结:双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线
但永远不能到达这条直线 。 (几何画板演示引导学生发现渐近线,明确渐近线与双曲线 的关系)

x2 y 2 结论:①双曲线 2 ? 2 ? 1 , (a>0,b>0)的渐近线方程 a b
x y ? ?0 a b ②画双曲线时,我们可以先画矩形框,然后画出双曲线的渐 近线,最后再画双曲线。 3. 离心率的几何意义



思考:渐近线、e、双曲线张口有什么关系?
通过几何画板 的演示, 让学生 直观感受, 以完 善对双曲线渐 近线的正确认 识。 ( (学生独立完成焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质、 完善表 格)
双曲线
·

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

双曲线

y

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

·

图形

F1 o F2 x x≥a或x≤-a
·

范围 顶点 离心率

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 (±a,0)

e?

e越大双曲线张口越大

c a

e>1

渐近线

x y ? ? 0 双曲线与渐 a b
近线无限接近但永不相交

借助信息技术 的演示, 以增强 学生对双曲线 离心率是如何 影响双曲线张 口大小的认识。

(引导学生找出焦点在 x 轴和焦点在 y 轴上的双曲线的几何 性质的异同。以帮助学生准确记忆。 ) 4. 例题: (1)求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴和虚半轴长、焦点坐 标、离心率、渐近线方程。

(2)求双曲线 x2-y2=a2 的实轴和虚轴长、渐近线方程。

定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
5. 巩固练习:

培养学生类比 归纳, 独立思考 的能力,

巩固双曲线的 几何性质。

6.总结提练 1. 通过类比椭圆学习了双曲线的简单几何性质:范 围、对称性、顶点、离心率,并且感悟双曲线与渐 近线的关系; 2. 渐近线是双曲线特有的性质, 其发现与给出过程蕴 含了重要的数学方法。 3. 渗透了类比、数形结合等重要的数学思想。 7.布置作业: 1. 课本 P66 3,4

学生自主归纳 完成, 进一步明 确本节课所学 内容及体现的 思想方法


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