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高一数学下册期末测试试题8

时间:2010-12-05


2009龙川一中 2009-2010 学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷(文科) 数学试卷(文科)
小题, 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题:
1. tan 390 = (
0

) B.

A. ? 3

3

C.

3 3

D. ?

3 3


2. 若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3,x)满足条件(8 a - b )· c =30,则 x=(

A.6

B.5

C.4

D.3

3. 某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这三 个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为 7, 那么从高三学生中抽取的人数应为 ( A. 10 B 9 ) C. 8 D 7 )

4. 已知函数 f ( x ) = sin(ω x + A.关于点 ( , 对称 0)

π
3

), ω > 0) ( 的最小正周期为 π ,则该函数的图象(
B.关于直线 x =

π

π
4

3

对称

C. 关于点( , 对称 0)

π

4

D. 关于直线 x =

π
3

对称

5. 下图是 2010 年我市举行的名师评选活动中,七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为( A、84,4.84 B、84, 1.6 C、85,1.6 ) D、85,4

6. 将函数 y = sin x 的图像上所有的点向右平行移动

π
10

个单位长度,再把所得各点的横坐标 )

伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 (

A. y = sin(2 x ?

π

10 1 π C. y = sin( x ? ) 2 10

)

π B. y = sin(2 x ? ) 5 1 π D. y = sin( x ? ) 2 20


7. 若 a,b 是非零向量,且 a ⊥ b , a ≠ b ,则函数 f ( x ) = ( xa + b) ? ( xb ? a ) 是(

A.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数

B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数
) D. 1500

8. 若非零向量 a,b 满足| a |=| b |,(2a + b) ? b = 0 ,则 a 与 b 的夹角为 ( A. 300 B. 600 C. 1200

9. 某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1, 顶角为 α 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为( )

A. 2 sin α ? 2 cos α + 2 ; C. 3sin α ? 3 cos α + 1

B. sin α ? 3 cos α + 3 D. 2 sin α ? cos α + 1

2 2 10. 已知圆 ( x ? 3) + ( y + 5) = 36 和点 A( 2,2) B ( ?1,?2) ,若点 C 在圆上且 ?ABC 的面积为

5 ,则满足条件的点 C 的个数是( 2
A.1 B.2 C.3

) D.4

(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 填空题: (
11. 已知 α 为第三象限的角, sin a = ? , 则 tan 2α = 12. 执行右图所示的程序框图,若输入 x = 10 ,则输出 y 的值为 13. 圆: 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 上的点到直线 x ? y = 2 的距离的 x 最大值 是__________________

3 5

14.关于函数 f ( x ) = 4 sin(2 x ? (1) y = f ( x +

π
3

)( x ∈ R ) ,有下列命题:

4π ) 为偶函数 3

(2)要得到函数 g( x ) = ?4 sin 2 x 的图像,只需将 f ( x ) 的图像向右 平移

π
3

个单位

(3) y = f ( x) 的图像关于直线 x = ?

π
12

对称

( 4) y = f ( x) 在 [0, 2π ] 内 的增区间 为 [0,

5π 11π ]和 [ , 2π ] , 其中正 确的命题 序号为 12 12

__________________.

解答题: (本大题共 小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或 ( 演算步骤。 演算步骤。 )
15.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = 3sin(ω x + (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 f ( α +

π
4

) , ω>0 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) ,且以

2π 为最小正周期. 3

2 3

π
12

)=

12 ,求 sin α 的值. 5

16. (本小题满分 13 分) 为了了解高一学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整 理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中从左到右各小长方形的面积之比为 2:4:17:15: 9:3,第二小组频数为 12. (1)求第二小组的频率; (2)求样本容量; (3) 若次数在 110 以上为达标, 试估计全体 高一学生的达标率为多少?

17. (本小题满分 14 分) 已知向量 a = (cos α , sin α ), b = (cos β , sin β ), a ? b = (1)求 cos(α ? β )的值 ; (2)若 ?

2 5, 5

π
2

< β < 0 <α <

π
2

,且 sin β = ?

5 , 求 sin α 的值. 13

18. (本小题满分 13 分) 直线 y = 2 x + m 和圆 x + y = 1 交于 A 、B 两点,以 x 轴正半轴 Ox 为始边, OA 、 OB 为
2 2

终边的角分别为 α 、 β , 求 sin(α + β ) 的值

19. (本小题满分 14 分) 已知与曲线 C : x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0相切的直线l分别交x轴 、y 轴于 A( a,0) 、

B(0, b)两点(a > 2, b > 2), O 为原点。
(1)求证: (a ? 2)(b ? 2) = 2 ; (2)求线段 AB 中点 M 的轨迹方程;

20. (本小题满分 14 分)

x + ) + cos 2 x ? 1. 4 2 π 2π (1)设 ω >0 为常数,若 y = f (ωx )在区间[ ? , ] 上是增函数,求 ω 的取值范围; 2 3 π 2π 1 (2) 设集合 A = {x | ≤ x ≤ }, B = {x | [ f ( x)]2 ? mf ( x) + m 2 + m ? 1 > 0}, 若 A ? B 恒 6 3 2
已知函数 f ( x ) = 4 sin x sin (
2

π

成立,求实数 m 的取值范围

2009龙川一中 2009-2010 学年第二学期高一年级期末考试 数学(文科) 数学(文科)答案
小题, 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C 9 A 10 C

(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题: ( 11. 11

24 ; 7

12.-

5 4

13 . 2 + 1

14. (2)(3)

(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: ( ) 15. (12 分)解: (1)由题意 T =

2π 3

∴ω =

(2)

∴ f ( x) = 3sin(3 x + ) 4 2α π π π π 12 f( + ) = 3sin(2α + + ) = 3sin(2α + ) = 3cos 2α = 3 12 4 4 2 5 4 ∴ cos 2α = 5 4 cos 2α = 1 ? 2sin 2 α = 5

π

2π =3 T

∴ sin α = ±

10 10

16. (13 分)解:(1) 由于每个长方形的面积即为本组的频率,设第二小组的频率为 4 f ,则

2 f + 4 f + 17 f + 15 f + 9 f + 3 f = 1 解得 f =
∴ 第二小组的频率为 4 ×

1 50

1 2 = 50 25 12 2 (2)设样本容量为 n , 则 = ,∴ n = 150 n 25
110 以 上 的 频 率 为

(3) 由 (1) 和 直 方 图 可 知 , 次 数 在

17 f + 15 f + 9 f + 3 f = 44 f =

22 = 0.88 25

由此估计全体高一学生的达标率为 88 % 17. (14 分) (Ⅰ)解:

∵ a = 1, b = 1

(1 分)

∴ a ? b = a ? 2a ? b + b = a + b ? 2(cos α cos β + sin α sin β )
= 1 + 1 ? 2 cos(α ? β )
2 2

2

2

2

2

2

(3 分)

(4 分)

?2 5? 4 3 4 ? ∵ a?b =? (7 分) ? 5 ? = 5 ∴ 2 ? 2 cos(α ? β ) = 5 得 cos(α ? β ) = 5 ? ? π π (Ⅱ)解:∵ ? < β < 0 < α < (8 分) ∴0 < α ? β < π 2 2
由 cos(α ? β ) =

3 5

得 sin(α ? β ) = 1 ? cos 2 (α ? β ) =

4 5

(9 分)

由 sin β = ?

5 13

得 cos β = 1 ? sin 2 β =

12 13

(10 分)

∴ sin α = sin [(α ? β ) + β ] = sin(α ? β ) cos β + cos(α ? β ) sin β

(14 分)

=
18. (13 分)解:

4 12 3 5 33 × + × (? ) = 5 13 5 13 65

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

联立直线与圆的方程得 5 x + 4mx + m ? 1 = 0
2 2

4m ? ? x1 + x2 = ? 5 ? 则? 2 ?x ? x = m ?1 ? 1 2 5 ? sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β = x1 y2 + x2 y1 y1 = 2 x1 + m, y2 = 2 x2 + m 代入上式可得:

sin(α + β ) = x1 (2 x2 + m) + x2 (2 x1 + m) = m( x1 + x2 ) + 4 x1 x2 = ?

4 5

19. (14 分)解: (1)∵ 圆C的方程为 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 1,∴ 其圆心为(1,1) ,半径为 1 依题设直线 l :

x y + = 1, a b

由圆 C 与 l 相切得: 1 =

| a + b ? ab | a2 + b2

? (a ? 2)(b ? 2) = 2

a ? ?x = 2 ?a = 2 x ? (2)设线段 AB 中点为 M ( x, y ),由中点坐标公式得? ?? . ?b = 2 y ?y = b ? ? 2
代入 ( a ? 2)(b ? 2) = 2可得2( x ? 1)( y ? 1) = 1( x > 1) 即为所求的轨迹方程。

(2) [
2

1 f ( x)]2 ? mf ( x) + m 2 + m ? 1 2
2

= sin x ? 2m sin x + m + m ? 1 > 0

π 2π 1 因为 x ∈ [ , ] ,设 sin x = t ,则 t ∈ [ ,1] 6 3 2
上式化为 t 2 ? 2mt + m 2 + m ? 1 > 0 由题意,上式在 t ∈ [
1 ,1]上恒成立. 2

记 f (t ) = t 2 ? 2mt + m 2 + m ? 1 , 这是一条开口向上的抛物线, 1 ? m< ? ? 2 则? ? f (1) > 0 ? 2 ?
?m > 1 或? ? f (1) > 0 ?1 ? ≤ m ≤1 或 ?2 ?? < 0 ?

解得: m < ?

3 或m > 1 . 2


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