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河北衡水中学2013—2014学年度第一学期第五次调研考试高二年级理科数学试卷


河北衡水中学 2013-2014 学年高二上学期第五次调研考试 数 学理试题 Word 版含答案

第I卷

选择题 (共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意.) 1. 当

2 ? m ? 1 时,复数 m (3 ? i

) ? (2 ? i ) 在复平面内对应的点位于( ) 3
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 2. 已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 a a ?2 ?4 , 3? ? 3 , 4? ,?,若 6 ? ? 6 (a , b ? R ) , 则 3 3 8 8 15 15 b b
D、a=5,
3

( ) A、a=5, b=24 B、a=6, b=24 C、a=6, b=35 3.某人进行了如下的“三段论”推理:

b=35

如果 f ' ( x0 ) ? 0 ,则 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点,因为函数 f ( x) ? x 在 x ? 0 处的导数值 f ' (0) ? 0 ,所 以 x ? 0 是函数 f ( x) ? x 的极值点。你认为以上推理的(
3

) D. 结论正确

A. 小前提错误

B.大前提错误

C. 推理形式错误

4.设 f ?x? 是定义在正整数集上的函数,且 f ?x? 满足:“当 f ?k ? ? k 2 成立时,总可推出
f ?k ? 1? ? ?k ? 1?2 成立”,那么,下列命题总成立的是

A.若 f ?1? ? 1 成立,则 f ?10? ? 100 成立 B.若 f ?3? ? 9 成立,则当 k ? 1 时,均有 f ?k ? ? k 2 成立 C.若 f ?2? ? 4 成立,则 f ?1? ? 1 成立 D.若 f ? 4 ? ? 16 成立,则当 k ? 4 时,均有 f ?k ? ? k 2 成立

AG .若 ? 2” GD 把该结论推广到空间,则有结论: “在棱长都相等的四面体 ABCD 中,若 ?BCD 的中心为 M ,四面体内 AO 部一点 O 到四面体各面的距离都相等,则 ?( ) OM
5.已知结论:“在正 ?ABC 中, BC 中点为 D ,若 ?ABC 内一点 G 到各边的距离都相等,则 A.1 B.2 C.3 D.4 6. 设定点 F1 ? 0, ? 3? , F2 ? 0,3 ? ,动点 P ? x, y? 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ?a > 0 ? ,则动点 P 的轨迹是 ( ). A. 椭圆 7. 下列说法:

B. 线段

C. 不存在

D.椭圆或线段或不存在

-1-

①命题“存在

x ? R, 2

x

?0

” 的否定是“对任意的

x ? R,2

x

?0

” ;

②关于 x 的不等式 ③函数

a ? sin 2 x ?

2 sin 2 x 恒成立,则 a 的取值范围是 a ? 3 ;
为奇函数的充要条件是 a ? b ? 0 ; C.1 D.0 ,f
,

f ( x) ? a log 2 | x | ? x ? b

其中正确的个数是( ) A.3 B.2 8.函数 f (x ) ? sin x ? 2xf ?
,

?? ? ? ?3?

?x ? 为 f(x)的导函数,令 a=-1 ,b=log 2,则下列关系正确 2
3

的是(

) B.f(a)<f(b) D.f(|a|)<f(b)

A.f(a)>f(b) C.f(a)=f(b)

9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),设其导函数为 f′(x),当 x∈(-∞,0]时,恒有 xf′(x)<f(-x),令

F(x)=xf(x),则满足 F(3)>F(2x-1)的实数 x 的取值范围是(
A.(-2,1) 1? ? B.?-1, ? 2? ? D.(-1,2)

)

?1 ? C.? ,2? ?2 ?
10.设 a>0,b>0.

( B.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b
a b



A.若 2 C.若 2

a

? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b

a

? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b

D.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b
a b

x2 y2 ? ?1 9 11.已知椭圆 16 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 F2 是一个直角三角形
的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( )

9 A. 5

9 7 B. 7

9 C. 4

9 9 7 D. 4 或 7


/ 12.已知 f ( x) 为定义在 (??, ??) 上的可导函数,且 f ( x) ? f ( x) 对于 x ? R 恒成立,则(

A. f (2) ? e f (0), f (2011) ? e
2

2011

f (0) f (0)

B. f (2) ? e f (0), f (2011) ? e
2

2011

f (0) f (0)

C. f (2) ? e f (0), f (2011) ? e
2

2011

D. f (2) ? e f (0), f (2011) ? e
2

2011

-2-

第Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题 (本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 13. 若复数 m ? 5m ? 6 ? m ? 3m i 是纯虚数,则 m=
2 2
2

?

? ?

?

.

14.过抛物线 x ? 2 py ? p ? 0 ? 的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴左侧),则

AF = FB

15.计算

?

?1 ?e

1 dx x =
x y y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上斜率为 1 的弦的中点在直线 2 ? 2 ? 0 上,类比上述结 2 2 a b a b
y2 ? ? 1(a, b ? 0) 上斜率为 1 的弦的中点在直线 a 2 b2 x2


16. 椭圆中有如下结论: 椭圆

x2

论得到正确的结论为:双曲线 17. 将正整数排成下表:

………………………….

则数表中的 2008 出现在第
3 2

行.

18. 对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 给出定义: 设 f ?( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x) 的导数, 若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”,某同学经过探究发现:任 何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。给定函数

1 1 5 , 请 你 根 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 2 12 1 2 3 2012 f( )? f ( )? f ( ) ? ... ? f ( )= 2013 2013 2013 2013
三、解答题(共 5 个小题,每题 12 分,共 60 分) 19. 用数学归纳法证明等式:





面 .















n2 12 22 n2 ? n ? ??? = 对于一切 n ? N ? 都成立. (2n ? 1)(2n ? 1) 4n ? 2 1? 3 3 ? 5

-3-

20. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ,

AB ? 2 AD , E 是线段 PD 上的点, F 是线段 AB 上的点,且

PE BF ? ? ? (? ? 0). ED FA

(Ⅰ)当 ? ? 1 时,证明 DF ? 平面 PAC ; (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60 ? ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请 说明理由.

21.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x +ax)e (x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.

2

x

22. 已知曲线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0, x ? 0)和曲线C2:x 2 ? y 2 ? r 2 ( x ? 0) 都过点 A(0,-1) ,且曲 a 2 b2
-4-

线 C1 所在的圆锥曲线的离心率为

3 . 2

(Ⅰ)求曲线 C1 和曲线 C2 的方程; (Ⅱ)设点 B,C 分别在曲线 C1 , C 2 上, k1 , k 2 分别为直线 AB,AC 的斜率,当 k2 ? 4k1 时,问直线 BC 是否过 定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

23.已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(1) 判断函数 f(x)在(0, ?? ) 上单调性; (2) 若 f ( x) ?

k 恒成立, 求整数 k 的最大值; x ?1
2 n ?3

(3) 求证: (1 ? 1? 2)(1 ? 2 ? 3)?[1 ? n( n ? 1)] ? e

.

-5-

2013-2014 高二第一学期五调试题答案:
DCBDC 13. 2 14. DBADA CA

1 3

15.-1 16.

x a
2

?

y b2

?0

17. 因为每行的最后一个数分别为 1,4,9,16,…,所以由此归纳出第 n 行的最后一个数为 n2. 因为 442=1936,452=2025,所以 2008 出现在第 45 行上. 故答案为:45. 18. 2012 19. 用数学归纳法证明等式:

n2 12 22 n2 ? n ? ??? = 对于一切 n ? N ? 都成立. (2n ? 1)(2n ? 1) 4n ? 2 1? 3 3 ? 5
【答案】利用数学归纳法。
-6-

【解析】

12 ? 1 1 1 试题分析: (1)当 n=1 时,左边= ,右边= ? ,等式成立。 4?2 3 3
(2)假设 n=k 时,等式成立,即

k2 12 22 k2 ? k = , ? ??? (2k ? 1)(2k ? 1) 4k ? 2 1? 3 3 ? 5

k2 (k ? 1) 2 12 22 ? 那么 n=k+1 时, ? ? ?? ? (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 3)(2k ? 1) 1? 3 3 ? 5
=

(k ? 1) 2 k2 ? k ? 4k ? 2 (2k ? 3)(2k ? 1)
5

20 ? ?

21.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x +ax)e (x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围. (1)当 a=2 时,f(x)=(-x +2x)e , ∴f′(x)=(-2x+2)e +(-x +2x)e =(-x +2)e . 令 f′(x)>0,即(-x +2)e >0, ∵e >0,∴-x +2>0,解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2).
x
2 2 2

2

x

x

x

2

x

2

x

x

(2)∵函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, ∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立. ∵f′(x)=(-2x+a)e +(-x +ax)e =[-x +(a-2)x+a]e , ∴[-x +(a-2)x+a]e ≥0 对 x∈(-1,1)都成立. ∵e >0, ∴-x +(a-2)x+a≥0 对 x∈(-1,1)都成立. 即 a≥
2 2 2

x

2

x

x

x

x

x2+2x ? x+1? 2-1 1 = =x+1- 对 x∈(-1,1)都成立. x+1 x+1 x+1
1 1

令 y=x+1- ∴y=x+1-

x+1

,则 y′=1+ ?

1

x+1?

2

>0,

x+1

在(-1,1)上单调递增,

-7-

1 3 3 ∴y<1+1- = ,∴a≥ . 1+1 2 2

22.(Ⅰ)由已知得 b2 ? 1 , a 2 ? 4 , r 2 ? 1 . 所以曲线 C1 的方程为

??2 分 ??3 分

x . ? y 2 ? 1 ( x≥0 ) 4

2

? 2k k 2 ? 1 ? 所以 C ? 2 1 , 2 ?. 2 ? k2 ? 1 k2 ? 1 ?

??8 分

10 分

23.已知函数 f ( x) ? (2) 若 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

k 恒成立, 求整数 k 的最大值; x ?1
2 n ?3

(3) 求证: (1 ? 1? 2)(1 ? 2 ? 3)?[1 ? n( n ? 1)] ? e

.

-8-

1 x 1 1 [ ? 1 ? ln( x ? 1)] ? ? 2 [ ? ln( x ? 1)] 2 x x ?1 x x ?1 1 ? x ? 0,? x 2 ? 0, ? 0, ln( x ? 1) ? 0,? f ?( x) ? 0 ? f ( x)在(0, ?) 上是减函数 4 分 x ?1 k ( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] (2) f ( x) ? 恒成立,即h( x) ? ? k 恒成立 即 h(x)的最小值大于 k. x ?1 x x ? 1 ? ln( x ? 1) x h?( x) ? ,? g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1)( x ? 0) 则 g ?( x) ? ? 0,? g ( x)在(0, ??) 上单调递 x x ?1
解:(1) f ?( x) ? 增, 又 g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ? g ( x) ? 0 存在唯一实根 a, 且满足

a ? (2,3), a ? 1 ? ln(a ? 1)
当 x ? a? ,g ( x) ? 0, h?( x) ? 0, ? 0 ? x ? a? ,g ( x) ? 0, h?( x) ? 0

(a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] ? a ? 1? (3, 4) 故正整数 k 的最大值是 3 ----9 分 a 1 ? ln( x ? 1) 3 3x 3 3 (3)由(Ⅱ)知 ? ( x ? 0) ∴ ln( x ? 1) ? ?1 ? 2 ? ? 2? x x ?1 x ?1 x ?1 x
∴ h( x )min ? h(a) ? 令 x ? n(n ? 1)(n ? N *) , 则 ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ?

3 n(n ? 1)

∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+?+ln[1+n(n+1)]

3 3 3 1 3 1 ) ? (2 ? ) ? ? ? [2 ? ] ? 2n ? 3[ ? ??? ] 1? 2 1? 3 n(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1) 1 3 ? 2n ? 3(1 ? ) ? 2n ? 3 ? ? 2n ? 3 n ?1 n ?1 ? (2 ?
∴(1+1×2)(1+2×3)?[1+n(n+1)]>e
2n-3

-9-


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