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【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:7.7空间向量及其运算(人教A版·数学理)


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课时提能演练(四十六)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·杭州模拟)如图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中,M 是 AC 与 BD 的交点,若 AB =a, A1D1 =b

, A1A =c,则 下列向量中与 B1M 相等的向量是(
?????
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100 分)

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???? ?

)

1 1 (A)- a+ b+c 2 2 1 1 (C) a- b+c 2 2

1 1 (B) a+ b+c 2 2 1 1 (D)- a- b+c 2 2 )

15 2.已知向量 a=(2, -3,5)与向量 b=(3, , )平行, λ =( λ 则 2 2 (A) 3 9 (C)- 2 3.有以下命题: 9 (B) 2 (D)- 2 3

①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a,

b 的关系是不共线; ②O,A,B,C 为空间四点,且向量 OA , OB , OC 不构成空间的一个 基底,那么点 O,A,B,C 一定共面; ③已知向量 a,b,c 是空间的一个基底,则向量 a+b,a-b,c 也是 空间的一个基底.其中正确的命题是( (A)①② (B)①③ ) (D)①②③
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????

??? ?

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(C)②③

AD 4.设 A、 C、 是空间不共面的四个点, B、 D 且满足 AB · AC =0, · AC

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=0, AD · AB =0,则△BCD 的形状是( (A)钝角三角形 (C)锐角三角形

????

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)

(B)直角三角形 (D)无法确定

5.(2012·西安模拟)已知 ABCD 为四面体,O 为△BCD 内一点(如图), 则 AO =
? 1 ??? ???? ???? ( AB + AC + AD )是 O 为△BCD 重心的( 3

????

)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
???? 1 ? ???? ? 6.(预测题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, M 在 AC1 上且 AM = 点 2

???? ? ????? MC1 ,N 为 B1B 的中点,则| MN |为(

)

(A)

21 6 15 15 (B) (C) (D) 6 6 6 3

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

7.(2012·台州模拟)在空间四边形 ABCD 中, AB · CD + BC · AD +
??? ? ??? ? CA · BD =

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.

8.已知 O 是空间中任意一点,A,B,C,D 四点满足任意三点不共线, 但四点共面, OA =2x BO +3y CO +4z DO , 2x+3y+4z= 且 则
???? ??? ? ??? ? ????

.

9.(易错题)空间四边形 OABC 中, OA=8, AB=6, AC=4, BC=5, ∠OAC =45°,∠OAB=60°,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于 .

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.已知 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2, -2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得 OE ⊥b?(O 为原点) 11.(2012·杭州模拟)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面△ABC 中, CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点.
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(1)求 BN 的模; (2)求 cos〈 BA1 , CB1 〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 【探究创新】 (16 分)在棱长为 1 的正四面体 OABC 中,若 P 是底面 ABC 上的一点, 求|OP|的最小值.
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答案解析
???? ? ? ????? ???? ? ???? ? 1 ??? 1.【解析】选 A. B1M = B1B + BM = A1A + BD 2 ? 1 ???? ??? 1 =c+ ( AD - AB )=c+ (b-a) 2 2

1 1 =- a+ b+c. 2 2 【变式备选】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中 心,若 AE = AA1 +x AB +y AD ,则 x、y 的值分别为( (A)x=1,y=1 1 1 (C)x= ,y= 2 2 【解析】选 C. (B)x=1,y= 1 2
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)

1 (D)x= ,y=1 2

如图, AE = AA1 + A1E
???? ? 1 ????? ? ???? ? = AA1 + A1C1 = AA1 + 2
? 1 ??? ???? ( AB + AD ), 2

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1 1 所以 x= ,y= . 2 2 2 -3 5 9 2.【解析】选 C.由 a∥b 得, = = ,解得λ=- . 3 λ 15 2 2 3.【解析】选 C.对于①, “如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间 向量的一个基底,那么 a,b 的关系一定是共线” ,所以①错误,②③ 正确. 4.【解题指南】通过 BC 〃 BD , DB 〃 DC , CB 〃 CD 的符号判断△BCD 各内角的大小,进而确定出三角形的形状. 【解析】选 C. BC 〃 BD =( AC - AB )〃( AD - AB ) = AC 〃 AD - AC 〃 AB - AB 〃 AD + AB 2= AB 2>0, 同理 DB 〃 DC >0, CB 〃 CD >0. 故△BCD 为锐角三角形.
???? ??? ??? ? ??? ? ? 2 1 5.【解析】选 C.若 O 是△BCD 的重心,则 AO = AB + BO = AB + 〓 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? ??? ? 1 ( BD + BC )= AB + ( BD + BC )= AB + ( AD - AB + AC - AB )= 3 3 3
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( AB + AC + AD ),
???? 1 ??? ??? ? ? ???? 若 AO = ( AB + AC + AD ), 3

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则 AO - AB + AO - AC + AO - AD =0, 即 BO + CO + DO =0. 设 BC 的中点为 P,则-2 OP + DO =0, ∴ DO =-2 PO ,即 O 为△BCD 的重心. 6.【解析】选 A.如图,设 AB =a,
???? ???? ? AD =b, AA1 =c,

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则 a〃b=b〃c=c〃a=0. 由条件知 MN = MA + AB + BN 1 1 =- (a+b+c)+a+ c 3 2 2 1 1 = a- b+ c 3 3 6
???? ? ???? ? 4 1 1 21 21 ∴ MN 2= a2+ b2+ c2= ,∴| MN |= . 9 9 36 36 6 ???? ?
???? ? ??? ?

??? ?

7.【解析】设 AB =b, AC =c, AD =d, 则 CD =d-c, BD =d-b, BC =c-b. 原式=b〃(d-c)+d〃(c-b)-c〃(d-b)=0. 答案:0 8.【解析】∵A,B,C,D 四点共面, ∴ OA =m OB +n OC +p OD ,且 m+n+p=1. 由条件知 OA =-2x OB -3y OC -4z OD , ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1.∴2x+3y+4z=-1. 答案:-1 9. 【解析】 由题意知 AO 〃BC = AO 〃 AC - AB )= AO 〃AC - AO 〃AB (
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=8〓4〓cos45°-8〓6〓cos60°=16 2-24.
???? ??? ? ???? ??? ? 16 2-24 2 2-3 AO?BC ? ∴cos〈 AO , BC 〉= ???? ??? = = . 8〓5 5 | AO || BC |

3-2 2 ∴OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5 3-2 2 答案: 5 【误区警示】本题常误认为〈 AO , BC 〉即为 OA 与 BC 所成的角. 【变式备选】 已知点 A(1,2,1), B(-1,3,4), D(1,1,1), AP =2 PB , 若 则| PD |的值是
??? ? ??? ? ??? ?

????

??? ?

.
??? ?

【解析】设 P(x,y,z),则 AP =(x-1,y-2,z-1),
??? ? PB =(-1-x,3-y,4-z),
??? ? ??? ? 1 8 由 AP =2 PB 知 x=- ,y= ,z=3, 3 3

1 8 故 P(- , ,3). 3 3 由两点间距离公式可得| PD |= 答案: 77 3
??? ?

77 . 3

10.【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|= 02+(-5)2+52=5 2. (2)令 AE =t AB (t∈R),所以 OE = OA + AE = OA +t AB =(-3,- 1,4)+ t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t), 若 OE ⊥b,则 OE 〃b=0,
??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

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所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0, 9 解得 t= . 5
??? ? 6 14 2 因此存在点 E,使得 OE ⊥b,此时 E 点的坐标为(- ,- , ). 5 5 5

【变式备选】已知 b 与 a=(2,-1,2)共线,且满足 a〃b=18,(ka +b)⊥(ka-b),求 b 及 k 的值. 【解析】∵a,b 共线, ∴存在实数λ,使 b=λa. ∴a〃b=λa2=λ|a|2=λ( 22+(-1)2+22 ) 2=18, 解得λ=2. ∴b=(4,-2,4). ∵(ka+b)⊥(ka-b), ∴(ka+b)〃(ka-b)=0, ∴(ka+2a)〃(ka-2a)=(k2-4)|a|2=0, ∴k=〒2. 11.【解析】如图,建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)依题意得 B(0,1,0)、N(1,0,1), ∴| BN |= (1-0)2+(0-1)2+(1-0)2= 3.
??? ?

(2)依题意得 A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、 B1(0,1,2), ∴ BA1 =(1,-1,2), CB1 =(0,1,2), BA1 〃 CB1 =3,| BA1 |= 6, | CB1 |―= 5,
???? ???? ? ? ???? ? ???? ? 1 BA1 ?CB1 ? ? ∴cos〈 BA1 , CB1 〉= ???? ???? = 30. | BA1 || CB1 | 10

???? ?

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???? ?

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???? ? ????? 1 1 (3)依题意,得 C1(0,0,2)、M( , ,2),A1B =(-1,1,-2),C1M = 2 2

1 1 ( , ,0). 2 2
???? ? ????? 1 1 ∴ A1B 〃 C1M =- + +0=0, 2 2

∴ A1B ⊥ C1M . ∴A1B⊥C1M. 【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法 (1)常见类型 利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题. (2)常用的解题方法 ①基向量法 先选择一组基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根据向量的运

???? ?

?????

算解题; ②坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标,根据向 量的坐标运算解题即可. 【探究创新】 【解题指南】向量 OA , OB , OC 的模均为 1,其夹角都是 60°,故 选取 OA , OB , OC 当基底,利用向量的运算求| OP |的最小值. 【解析】设 OA =a, OB =b,
??? ? OC =c,

????

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????

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由题意,知|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∵点 P 在平面 ABC 上, ∴存在实数 x,y,z, 使 OP =xa+yb+zc,且 x+y+z=1, ∴ OP 2=(xa+yb+zc)2 =x2+y2+z2+2xya〃b+2yzb〃c+2xza〃c =x2+y2+z2+xy+yz+zx =(x+y+z)2-(xy+yz+zx) =1-(xy+yz+zx) ∵1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx 1 1 = [(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)]+2xy+2yz+2zx≥ (2xy+2yz+ 2 2 2zx)+2xy+2yz+2zx
??? ? ??? ?

1 =3(xy+yz+zx),∴xy+yz+zx≤ , 3 1 当且仅当 x=y=z= 时“=”成立. 3
??? ? 1 2 ∴ OP 2≥1- = , 3 3

∴| OP |≥

??? ?

2 6 = , 3 3 6 . 3

∴|OP|的最小值为


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