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2014届高考一轮复习数学10.2排列与组合

时间:2013-09-29


第 2讲 排列与组合

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考纲展示
1.理解排列的概念.能利用

考纲解读

计数原理推导排列数公式, 并能利用公式解决一些简 从近两年高考试题来看, 排列组合的应用问题是 单的实际问题. 命题的热点内容. 独立成题时多为选择题、填空 2.理解组合的概念.能利用 题, 也常与概率、分布列的有关知识融合, 题型多 计数原理推导组合数公式, 为解答题, 难度中等. 并能利用公式解决一些简 单的实际问题.

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1. 排列 (1) 排列的定义: n个不同的元素中取出 m (m ≤n) 从 个元素, 按照一定的 顺序排成一列, 叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2) 排列数的定义: n个不同元素中取出 m (m ≤n) 从 个元素的所有排列的 个数, 叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数, 用符号A 表示.

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(3) 排列数公式: =n( ( A n-1)n-2)?(n-m +1), 其中 n, ∈N , m 并且 m ≤n.
*

(4) 全排列: n个不同元素全部取出的一个排列, 叫做 n个不同元素的一个 全排列, =n·( A n-1) n-2)·?·2·1=n!. ·( 排列数公式写成阶乘的形式为 A =
! (-)!

, 这里规定 0!=1.

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2. 组合 (1) 组合的定义: n个不同元素中取出 m (m ≤n) 从 个元素并成一组, 叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2) 组合数的定义: n个不同元素中取出 m (m ≤n) 从 个元素的所有组合的
个数, 叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数, 用符号C 表示. A (-1)(-2)?(-+1) (3) 组合数公式: = = C = A !


! !(-)!

, 由于 0!=1, 所以

0 C =1.

(4) 组合数的性质: =C ①C -

-1 ; +1=C +C ②C

.

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(1) 要搞清组合与排列的区别与联系: 组合与顺序无关, 排列与顺序有关; 排列可以分成先选取( 组合) 后排列两个步骤进行. (2)组合数公式有两种形式: ①乘积形式; ②阶乘形式. 前者多用于数字 计算, 后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算. 注意公式的逆用. 即 由
!
写出C .

!(-)!

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3. 常用的几个恒等式
+1 (1) +C+1+C +2+?+C +=C++1; C -1

(2)kC =nC-1;

(3)n·n!=( !-n!. n+1)

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1. 已知 a∈N 且 a<20, 则(27-a)(28-a)?( 34-a) 等于( A. 8 A27- 【答案】D B . 34- A
27-

)

C. 7 A34-

D. 8 A34-

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3 2. 满足C3 +C21+ 的 n的值为(

38-

)

A. 9 C. 11 【答案】B

B. 10 D . 10, 9, 11

3 ≥ 38-, 【解析】由 38- ≥ 0, 得 9. 5≤n≤10. 5, 21 + ≥ 3, 又 n∈N , n=10. 故
*

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3. (2012·辽宁卷, 5)一排 9个座位坐了 3个三口之家, 若每家人坐在一起, 则 不同的坐法种数为( ) 3 A . 3! 3× B. ( 3× 3!) 4 C. (3!) D. 9! 【答案】C 【解析】完成这件事可以分为两步, 第一步排列三个家庭的相对位置, 3 有A3 种排法; 第二步排列每个家庭中的三个成员, 共有A3 A3 A3种排法. 由乘法原 3 3 3 理可得不同的坐法种数为A3 A3 A3 A3, 3 3 3 3 故选 C .

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4. (2012·北京卷, 6)从 0, 2中选一个数字, 1, 5中选两个数字, 从 3, 组成无重复 数字的三位数, 其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】先分成两类:一) 0, ( 从 2中选数字 2, 1, 5中任选两个所组成的无 从 3,
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=12;

( 从 0, 二) 2中选数字 0, 1, 5中任选两个所组成的无重复数字的三位 从 3,
2 数中奇数的个数为C3 × 2=6.

故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18.
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5. 2012年上海春季高考有 8所高校招生, 如果某 3位同学恰好被其中 2所高 校录取, 那么录取方法的种数为 . 【答案】168 【解析】 分步考虑: 8所高校中选 2所, 8 种选法; 从 有C 2 依题意必有 2位同学被
2 1 同一所学校录取, 则有C3 C2种录取方法; 另一位同学被剩余的一所学校录取. 2 2 1 所以共有C8 ·C3 ·C2 =168种录取方法.

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T 题型一排 列数、组合数公式的应用
例 1解下列方程. (1) 4 =140A3 ; A2+1
(2) +3 =C +1+C+1+C+2. C +1 -1 -2

(1) 根据排列的意义和排列数公式求解; (2)利用组合数的性质.
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【解】( 根据排列的意义及公式得 1) 4 ≤ 2 + 1, 3 ≤ , (2 + 1)2(2-1)(2-2) = 140(-1)(-2), ≥ 3, 则有 (-1)(4-23)(-3) = 0. 解之并检验, x=3. 得

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2 1 4 2 4 (2)由组合数的性质可得C +1+C+1+C+2=C +1+C +1+C+2=C+2+C +2,

-1

-2

+1 2 又C+3 =C+3, 2 4 ∴ +3=C+2+C +2, C2

1 2 2 4 即C+2+C +2=C+2+C+2. 4 ∴ +2=C+2. C1

∴ 5=x+2, 经检验知 x=3. x=3.

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凡遇到解排列组合的方程、不等式问题时, 应首先利用性质 和排列组合的意义化简, 然后再根据公式进行计算.

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1.1) 2 +n>2, n的解集; ( 若A-2 求 (2) 若
A -A A5
7 5

=89, n的值; 求

-1

(3) 证明C = C-1 ;



+1 +1 (4) 证明C = C . +1 +1

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【解】( 根据题意, 1) 有 的解集为{n∈N | n≥4}. (2)因为原式左边=
2 2 *

-2 ≥ 2, * 解得 n≥4且 n∈N , 所以 n (-2)(-3) + > 2,

(-5)(-7+1)A -A A5

5

5

=(n-5)·( n-6)-1=n -11n+29, 所以

2

n -11n+29=89, n -11n-60=0. 即 所以 n=15或 n=-4( 舍去). 由于 15>7, 从而 n=15符合题意.

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(3) 证明: 右边= ·




(-1)!

(-1)![(-1)-(-1)]! [·(-1)!](-)! !(-)!

=

!

=

!

=C =左

边, 所以原式成立. (4) 证明: 右边 =
+1 +1

·

(+1)!

(+1)![(+1)-(+1)]! +1

=

+1

·

(+1)!

(+1)!(-)! !(-)!

=

!

=C =左边, 所以原式

成立.

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T 题型二排 列的应用问题
例 2六人按下列要求站一横排, 分别有多少种不同的站法? (1) 甲不站两端; 甲、乙必须相邻; (2) (3) 甲、乙不相邻;4) ( 甲、乙之间恰间隔两人; (5) 甲、乙站在两端;6) ( 甲不站左端, 乙不站右端. 在与不在问题用直接法或间接法; 相邻问题用捆绑法; 不相 邻问题用插空法.
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【解】1) ( 方法一: 要使甲不站在两端, 可先让甲在中间 4个位置上任选 1
1 个有A4 种站法, 然后其余 5人在另外 5个位置上作全排列有A5 种站法, 根据 5

1 分步乘法计数原理, 共有站法A4 ·A5 =480种. 5

方法二: 若对甲没有限制条件共有A6 种站法, 甲在两端共有 2A5 种站法, 6 5 从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数为A6 -2A5 =480种. 6 5

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(2)方法一: 先把甲、 乙作为一个“ 整体” , 看作一个人, 5 种站法, 有A5 再把甲、 乙进行全排列, 2 种站法, 有A2 根据分步乘法计数原理, 共有A5 ·A2 =240种站 5 2 法. 方法二: 先把甲、乙以外的 4个人作全排列, 4 种站法, 有A4 再在 5个空当 中选出一个供甲、乙放入, 1 种方法, 有A5 最后让甲、乙作全排列, 2 种方法, 有A2
4 共有A4 ·A1 ·A2 =240种站法. 5 2

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(3) 方法一:直接法) ( 因为甲、乙不相邻, 中间有隔当, 可用“ 插空法” , 第一 步先让甲、 乙以外的 4个人站队, 4 种; 有A4 第二步再将甲、 乙排在 4人形成的
4 5个空当( 含两端) 有A2 种, 中, 5 故共有站法A4 ·A2 =480种. 5

方法二:间接法) ( 6个人全排列有A6 种站法, 由(2) 知甲、乙相邻有 6 A5 ·A2 =240种站法, 所以不相邻的站法有A6 -A5 ·A2 =720-240=480种. 5 2 6 5 2

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(4) 方法一: 先让甲、乙以外的 4个人作全排列, 4 种, 有A4 然后将甲、乙按
4 条件插入站队, 3A2 种, 有 2 故共有A4 ·(3A2 )=144种站法. 2

方法二: 先从甲、乙以外的 4个人中任选 2人排在甲、乙之间的两个位 置上, 4 种, 有A2 然后把甲、 乙及中间 2人看作一个“ 元素与余下 2人作全排 大”
2 列有A3 种方法, 最后对甲、 乙进行排列, 2 种方法, 有A2 故共有A4 ·A3 ·A2 =144 3 3 2

种站法.

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(5) 首先考虑特殊元素, 甲、乙先站两端, 2 种, 有A2 再让其他 4人在中间位 置作全排列, 4 种, 有A4 根据分步乘法计数原理, 共有A2 ·A4 =48种站法. 2 4 (6) 方法一: 甲在左端的站法有A5 种, 乙在右端的站法有A5 种, 且甲在左 5 5
4 4 端而乙在右端的站法有A4 种, 共有A6 -2A5 +A4 =504种站法. 6 5

方法二: 以元素甲分类可分为两类: ①甲站右端有A5 种, ②甲在中间 4个 5
1 1 4 1 1 4 位置之一, 而乙不在右端有A4 ·A4 ·A4 种, 故共有A5 +A4 ·A4 ·A4 =504种站 5

法.
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1. 有特殊元素或特殊位置, 先满足特殊元素或特殊位置的要求, 再 考虑其他元素或位置. 2. 元素必须相邻的排列, 需将必须相邻的元素捆绑, 作为一个整体, 但 要注意其内部元素的排列顺序. 3. 元素不相邻的排列, 先排其他元素, 然后“ 插空” . 4. 元素有顺序限制的排列, 利用除法, 消去顺序.

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2. 3名男生, 4名女生, 按照不同的要求排队, 求下面不同的排队方案的方 法种数. (1) 5名同学排成一行; 选 (2) 全体站成一排, 其中甲只能在中间或两端; (3) 全体站成一排, 其中甲、乙必须在两端; (4) 全体站成一排, 其中甲不在最左端, 乙不在最右端; (5) 全体站成一排, 男、女各站在一起; (6) 全体站成一排, 男生必须排在一起;

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(7) 全体站成一排, 男生不能排在一起; (8) 全体站成一排, 男、女生各不相邻; (9) 全体站成一排, 甲、乙中间必须有 2人; (10) 全体站成一排, 甲必须在乙的右边; (11) 全体站成一排, 甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变; (12) 排成前后两排, 前排 3人, 后排 4人.

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【解】( 无条件的排列问题, =A5 =2520种. 1) N 7 (2)先考虑甲有A1 种方案, 再考虑其余六人全排, N =A1 A6=2160种. 故 3 3 6 (3) 分两步, 用分步乘法计数原理, =A2 A5=240种. N 2 5

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(4) 方法一( 间接法): =A7 -2A6 +A5 =3720种, N 7 其中A6 是甲或乙在左端( 右 6 5 6 端) 的排法, 5 是甲在左端且乙在右端的排法. A5 方法二( 特殊元素法): 甲在最右端的排法数 N 1 =A6 , 甲 6 甲不在最右端时, 有A1 个位置可选, 而乙只有A1 个位置, 其余全排, 2 =A1 A1 A5, N 5 5 5 所以 5 5 N =N 1 +N 2 =A6 +A1 A1 A5 =3720种. 6 5 5 5 方法三( 特殊位置法): 对于左端除甲外有A1 种排法, 余下六个位置全排, 6 但减去乙在最右端的排法数A1 A5, N =A1 A6-A1 A5=3720种. 5 5故 6 6 5 5
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(5) 即相邻问题( 捆绑法): =A3 A4 A2=288种. N 3 4 2 (6) 即把所有男生视为一个整体, 4名女生组成五个元素的全 与 排, =A3 A5=720种. N 3 5
4 (7) 即不相邻问题( 插空法): 先排女生共A4 种方案, 男生在五个空中安插

4 有A3 种方案, N =A4 A3=1440种. 故 5 5

(8) 对比( 让女生插空, =A3 A4 =144种. 7) N 3 4

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(9)( 捆绑法): 任取 2人与甲、乙组成一个整体, 与余下 3个元素全排, 故 N =( 2 A2)A4 =960种. A5 2 4 (10) 甲与乙之间的左右关系各占一半, N = A7=2520种. 故 7 (11) 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变, 即为所有甲、乙、丙排列的 3 ,
A3 1 1 2

所以 N = 3 =840种.
A3
4 (12) 分步完成共有A3 A4 =5040种. 7

A7 7

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T 题型三组 合的应用问题
例 3男运动员 6名, 女运动员 4名, 其中男女队长各 1人. 选派 5 人外出比赛. 在下列情形中各有多少种选派方法? (1) 男运动员 3名, 女运动员 2名; (2) 至少有 1名女运动员; (3) 队长中至少有 1人参加; (4) 既要有队长, 又要有女运动员. 确定问题与顺序无关, 属于组合问题. 可利用两个计数原理, 采用直接法或间接法求解.

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【解】( 第一步: 3名男运动员, 6 种选法. 1) 选 有C 3 第二步: 2名女运动员, 4 种选法. 选 有C 2
3 2 共有C6 ·C4 =120种选法.

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(2)方法一: 至少 1名女运动员包括以下几种情况: 1女 4男, 3男, 2男, 1男. 2女 3女 4女 由分类加法计数原理可得总选法数为
1 4 2 3 3 2 4 1 C4 C6+C4 C6+C4 C6+C4 C6=246.

方法二: 至少有 1名女运动员” “ 的反面为“ 全是男运动员” 可用间接法
5 5 求解. 10人中任选 5人有C10种选法, 从 其中全是男运动员的选法有C6 种.

5 5 所以“ 至少有 1名女运动员” 的选法数为C10-C6 =246.

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(3) 方法一: 可分类求解:
4 4 “ 只有男队长” 的选法数为C8 ; 只有女队长” “ 的选法数为C8 ; 男、 “ 女队长 3 4 3 都入选” 的选法数为C8 , 所以共有 2C8 +C8 =196种选法.

方法二: 间接法:
5 5 从 10人中任选 5人有C10种选法, 其中不选队长的方法有C8 种, 所以“ 至

5 5 少有 1名队长” 的选法数为C10-C8 =196.

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4 (4) 当有女队长时, 其他人选任意, 共有C9 种选法. 不选女队长时, 必选男

4 4 队长, 共有C8 种选法. 其中不含女运动员的选法有C5 种, 所以不选女队长时

4 4 共有C8 -C5 种选法. 4 4 4 所以既有队长又有女运动员的选法共有C9 +C8 -C5 =191种.

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在解组合应用题时, 常会遇到“ 至少”最多”含” 不含” “ “ 与“ 等 词, 要仔细审题, 理解其含义.

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3. 甲、乙两人从 4门课程中各选修 2门, (1) 甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有多少种? (2) 甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种? 【解】( 甲、乙两人从 4门课程中各选修 2门, 1) 且甲、乙所选课程中恰
2 有 1门相同的选法种数为C4 C1 C1=24. 2 2

2 2 (2)甲、乙两人从 4门课程中选两门, 不同的选法种数为C4 C4 , 又甲、乙 2 两人所选的两门课程都相同的选法种数为C4 , 因此满足条件的不同选法种 2 2 2 数为C4 C4 -C4 =30.

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T 题型四排 列、组合的综合应用问题
例 4从 1到 9的 9个数字中取 3个偶数 4个奇数, 试问: (1) 能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)( 中的七位数中, 1) 3个偶数排在一起的有几个? (3)( 中的七位数中, 1) 偶数排在一起, 奇数也排在一起的有几个? (4)( 中任意 2个偶数都不相邻的七位数有几个? 1) 本题属于有限制条件的排列、组合问题. 可优先考虑特殊元 素或特殊位置, 采用先选后排的顺序求解.
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【解】( 分步完成: 1) 第一步, 4个偶数中取 3个, 4 种情况; 在 有C 3 第二步, 在 5个奇数中取 4个, 5 种情况; 有C 4 第三步, 3个偶数, 对 4个奇数进行排列, 有
3 4 A7 种情况. 所以符合题意的七位数有C4 C5 A7=100800个. 7 7

3 (2)(1) 中的七位数中, 3个偶数排在一起的有C4 C4 A5 A3=14400个. 5 5 3

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(3)( 中的七位数中, 1) 3个偶数排在一起, 4个奇数也排在一起的有
3 4 C4 C5 A3 A4 A2=5760个. 3 4 2

(4)( 中的七位数中, 1) 偶数都不相邻, 可先把 4个奇数排好, 再将 3个偶数
3 4 分别插入 5个空当, 共有C4 C4 A3 A4 =28800个. 5 5

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解排列、组合应用问题的常用思想方法: (1) 对于有特殊元素或特殊位置的排列问题, 一般采用直接法, 即先排 特殊元素或特殊位置; (2)相邻排列问题, 通常采用“ 捆绑” 即可以把相邻元素看作一个整 法, 体参与其他元素排列, 同时, 注意捆绑元素的内部排序; (3) 对于元素不相邻的排列, 通常采用“ 插空” 的方法, 即先考虑不受限 制的元素的排列, 再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; (4) 对于元素有顺序限制的排列, 可以先将不受限制的元素进行排列, 然后将受限制的元素按要求插入到空当里面, 同时要注意: 若空当的个数 多于受限制元素的个数, 则在插入时要考虑受限制元素的排列; (5) 间接法: 先不考虑题中的限制条件, 求出一个中间结果, 再想法剔除 不满足限制条件的情况, 得出最后结果.
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4. 4个不同的球, 4个不同的盒子, 把球全部放入盒内. (1) 恰有 1个盒不放球, 共有几种放法? (2) 恰有 1个盒内有 2个球, 共有几种放法? (3) 恰有 2个盒不放球, 共有几种放法?

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【解】1) ( 为保证“ 恰有 1个盒不放球” , 先从 4个盒子中任意取出去一个, 问题转化为“ 4个球, 3个盒子, 每个盒子都要放入球, 共有几种放法?” 即把 4 个球分成 2, 1的三组, 1, 然后再从 3个盒子中选 1个放 2个球, 其余 2个球放在
1 2 另外 2个盒子内, 由分步计数原理, 共有C4 C4 C1× 2 =144种. 3 A2

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(2)“ 恰有 1个盒内有 2个球” , 即另外 3个盒子放 2个球, 每个盒子至多放 1个球, 也即另外 3个盒子中恰有一个空盒, 因此, 恰有 1个盒内有 2个球” “ 与 “ 恰有 1个盒不放球” 是同一件事, 所以共有 144种放法.
2 (3) 确定 2个空盒有C4 种方法.

4个球放进 2个盒子可分成( 1), 2) 3, (2, 两类, 第一类有序不均匀分组有
C C 3 C4 C1 A2 种方法; 第二类有序均匀分组有 4 2 2·A2 种方法. 故共有 1 2 2 A2
2 C4 3 1 C4 C1 A2 2
2 2

+

C2 C2 4 2 A2 2

·A2 =84种放法. 2

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规范解题
平均分组与部分平均分组、分配问题
试题(12分) 按下列要求分配 6本不同的书, 各有多少种不同的 分配方式. (1) 分成三份, 1本, 2本, 3本; 1份 1份 1份 (2) 甲、乙、丙三人中, 一人得 1本, 一人得 2本, 一人得 3本; (3) 平均分成三份, 每份 2本; (4) 平均分配给甲、乙、丙三人, 每人 2本; (5) 分成三份, 4本, 1份 另外两份每份 1本; (6) 甲、乙、丙三人中, 一人得 4本, 另外两人每人得 1本; (7) 甲得 1本, 乙得 1本, 丙得 4本.
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(1) 这是一个分配问题, 解题的关键是搞清事件是否与顺序 有关. 对于平均分组问题, (2) 要注意顺序. 避免计数的重复或遗漏. (3)

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【规范解答】( 无序不均匀分组问题. 1) 先选 1本, 6 种选法; 有C 1 再从余下的 5本中选 2本, 5 种选法; 有C 2 最后余下 3 本全选, 3 种选法. 有C 3
1 2 3 故共有分配方式C6 ·C5 ·C3 =60种. 1分

(2)有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人, 1) 在( 题基础上, 还应考虑再分配, 共有分
1 2 3 配方式C6 ·C5 ·C3 ·A3 =360种. 2分 3

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(3) 无序均匀分组问题.
2 2 2 先分三步, 则应是C6 ·C4 ·C2 种方法, 但是这里出现了重复. 不妨记六

本书为 A, , , , , , B C D E F 若第一步取了 AB , 第二步取了 CD , 第三步取了 E F , 记该
2 2 种分法为(AB , D , ), 6 ·C4 ·C2 种分法中还有 C EF 则C 2

(AB , , D ),C D , , F ),C D , F , ), F , , ), F , , ), EF C ( AB E ( E AB (E CD AB (E AB CD 共有A3 种情况, 3 而这A3 种情况仅是 AB , , F 的顺序不同, CD E 因此只能作为一种分法, 故分配 3 方式有
C 2·C 2 ·C 2 6 4 2 A3 3

=15种. 4分
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(4) 有序均匀分组问题. 3) 在( 的基础上再分配给 3个人, 共有分配方式
C2 ·C2·C 2 6 4 2 A3 3
2 2 2 ·A3 =C6 ·C4 ·C2 =90种. 6分 3

(5) 无序部分均匀分组问题. 共有分配方式
C4 ·C1·C 1 6 2 1 A2 2

=15种. 8分

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(6) 有序部分均匀分组问题. 在(5) 的基础上再分配给 3个人, 共有分配方式 分 (7) 直接分配问题. 甲选 1本, 6 种方法; 有C 1 乙从余下的 5本中选 1本, 5 种方法; 有C 1 余下 4本留 给丙, 4 种方法. 有C 4
1 1 4 共有分配方式C6 ·C5 ·C4 =30种. 12分

C 6 ·C 2·C 1 A2 2

4

1

1

·A3 =90种. 10 3

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答题模板 第一步: 确定分组的形式, 即是否为均匀分组或有序分组. 第二步: 利用排列组合公式计算. 第三步: 给出明确的结论. 第四步: 反思回顾. 查看关键点, 易错点和答题规范.

1. 均匀分组与不均匀分组、 无序分组与有序分组是组合问题的常 见题型. 解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分 组, 无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数, 还要充分考虑到是否与顺序 有关; 有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数. 此题中第( 3) 问为无序均匀分组, 4) 第( 问为有序均匀分组. 2. 本题易错为: 很多考生认为第(2) 问与第(1) 问结果相同, 导致该种错 误的原因是没有弄清人与人是有顺序的.
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1. 8名学生和 2位老师站成一排合影, 2位老师不相邻的排法种数为( A . 8 A2 A8 9 B . 8 C9 A8 2 C . 8 A2 A8 7 D . 8 C7 A8 2

)

【答案】A 【解析】因 2位老师不相邻, 故可采用插空法.
8 2 学生 8人中有 9个空, 且学生全排列为A8 , 选 8 故排法种数为A8 A9, A .

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2. 在某种信息传输过程中, 4个数字的一个排列( 用 数字允许重复) 表示一个 信息, 不同排列表示不同信息. 若所用数字只有 0和 1, 则与信息 0110至多有 两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】若 0个相同, 共有 1个;
1 若 1个相同, 共有C4 =4个;

2 若 2个相同, 共有C4 =6个,

故共有 1+4+6=11个.

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3. 某台小型晚会由 6个节目组成, 演出顺序有如下要求: 节目甲必须排在前 两位, 节目乙不能排在第一位, 节目丙必须排在最后一位, 该台晚会节目演出 顺序的编排方案共有( ) A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种 【答案】B 【解析】先排丙, 只有一种可能即排最末位, 再排甲需分情况讨论, 若甲排在
4 1 第一位则有A4 =24种排法; 若甲排在第二位则有C3 ·A3 =3× 6=18种可能. 故 3

4 1 所有排法有A4 +C3 ·A3 =24+18=42种, B . 选 3

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4. (2012·浙江卷, 6)若从 1, 3, 9这 9个整数中同时取 4个不同的数, 2, ?, 其和 为偶数, 则不同的取法共有( ) A. 60种 B. 63种 C. 65种 D. 66种 【答案】D
4 【解析】和为偶数共有 3种情况, 4个数均为偶数的取法有C4 =1种, 2 取 取

2 2 4 奇数 2偶数的取法有C4 ·C5 =60种, 4个数均为奇数的取法有C5 =5种, 取 故不

同的取法共有 1+60+5=66种.

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5. 用数字 0, 2, 4, 6组成没有重复数字的四位数, 1, 3, 5, 其中个位、 十位和百位上 的数字之和为偶数的四位数共有 个( 用数字作答) . 【答案】324
2 1 1 【解析】 个位、 十位和百位上的数字都是偶数的四位数有C3 A3 C4 +A3 C3=90 3 3

个; 个位、十位和百位上的数字只有一个偶数的四位数有
2 1 1 2 C3 A3 C4 +C3 C3 A3 C1=234个, 所以共有 90+234=324个. 3 3 3

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