nbhkdz.com冰点文库

2015年山东省高考数学一模试卷(理科)含解析答案


2015 年山东省高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 5 1. (5 分) (2015?山东一模)复数 z=|( ﹣i)i|+i (i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数 为( ) A. 2﹣i B. 2+i C. 4﹣i D. 4+i 【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分

析】 : 直接利用复数模的公式求复数的模,再利用虚数单位 i 的运算性质化简后得 z, 则复数 z 的共轭复数可求. 【解析】 : 解:由 z=|( ﹣i)i|+i =
5



得: . 故选:A. 【点评】 : 本题考查复数模的求法,考查了虚数单位 i 的运算性质,是基础题. 2. (5 分) (2015?山东一模)若[﹣1,1]?{x||x ﹣tx+t|≤1},则实数 t 的取值范围是( A. [﹣1,0] B. [2﹣2 ,0] C. (﹣∞,﹣2] D. [2﹣2 ,2+2 ] 【考点】 : 集合的包含关系判断及应用. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用;集合. 【分析】 : 令 y=x ﹣tx+t,由题意,将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围. 2 【解析】 : 解:令 y=x ﹣tx+t, ① 若 t=0, 则{x||x ≤1}=[﹣1,1],成立, ② 若 t>0, 则 ymax=(﹣1) ﹣t(﹣1)+t=2t+1≤1,即 t≤0,不成立; ③ 若 t<0, 2 则 ymax=(1) ﹣t+t=1≤1,成立, ymin=( ) ﹣t? +t≥﹣1, 即 t ﹣4t﹣4≤0, 解得,2﹣2 ≤t≤2+2 , 则 2﹣2 ≤t<0, 综上所述, 2﹣2 ≤t≤0. 故选 B. 【点评】 : 本题考查了集合的包含关系的应用,属于基础题. 3. (5 分) (2015?山东一模)已知 M(2,m)是抛物线 y =2px(p>0)上一点,则“p≥1”是 “点 M 到抛物线焦点的距离不少于 3”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条
2 2 2 2 2 2 2



【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 根据抛物线的定义和性质,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【解析】 : 解:抛物线的交点坐标为 F( ,0) ,准线方程为 x=﹣ , 则点 M 到抛物线焦点的距离 PF=2﹣(﹣ )=2+ , 若 p≥1,则 PF=2+ ≥ ,此时点 M 到抛物线焦点的距离不少于 3 不成立,即充分性不成立, 若点 M 到抛物线焦点的距离不少于 3,即 PF=2+ ≥3,即 p≥2,则 p≥1,成立,即必要性成 立, 故“p≥1”是“点 M 到抛物线焦点的距离不少于 3”的必要不充分条件, 故选:B 【点评】 : 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用抛物线的定义和性质是解决本题 的关键.

4. (5 分) (2015?山东一模)若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x + ( ) A. B. C. 或 D. 或

2

的离心率为

【考点】 : 圆锥曲线的共同特征;等比数列的性质. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 先根据等比中项的性质求得 m 的值,分别看当 m 大于 0 时,曲线为椭圆,进而 根据标准方程求得 a 和 b,则 c 可求得,继而求得离心率. 当 m<0,曲线为双曲线,求得 a,b 和 c,则离心率可得.最后综合答案即可. 【解析】 : 解:依题意可知 m=± =±4 当 m=4 时,曲线为椭圆,a=2,b=1,则 c= ,e= =

当 m=﹣4 时,曲线为双曲线,a=1,b=2,c= 则,e= 故选 D 【点评】 : 本题主要考查了圆锥曲线的问题,考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用, 对基础的把握程度. 5. (5 分) (2015?山东一模)在△ABC 中,若 b=2,A=120°,三角形的面积 S= 形外接圆的半径为( ) A. B. 2 C. 2 D. 4 【考点】 : 正弦定理. 【专题】 : 解三角形. ,则三角

【分析】 : 由条件求得 c=2=b,可得 B 的值,再由正弦定理求得三角形外接圆的半径 R 的 值. 【解析】 : 解: △ABC 中, ∵b=2, A=120°, 三角形的面积 S= 故 B= (180°﹣A)=30°. 再由正弦定理可得 =2R= =4,∴三角形外接圆的半径 R=2, = bc?sinA=c? , ∴c=2=b,

故选:B. 【点评】 : 本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题. 6. (5 分) (2015?山东一模)某几何体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边 长为 1 的正方形,则此几何体的外接球的表面积为( )

A. 3π B. 4π C. 2π D.

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : 如图所示,该几何体是正方体的内接正四棱锥.因此此几何体的外接球的直径 2R=正方体的对角线 ,利用球的表面积计算公式即可得出. 【解析】 : 解:如图所示,该几何体是正方体的内接正四棱锥. 因此此几何体的外接球的直径 2R=正方体的对角线 , 2 其表面积 S=4πR =3π. 故选:A.

【点评】 : 本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题.

7. (5 分) (2015?山东一模) 定义 max{a, b}=

, 设实数 x, y 满足约束条件



则 z=max{4x+y,3x﹣y}的取值范围是( ) A. [﹣8,10] B. [﹣7,10] C. [﹣6,8] D. [﹣7,8] 【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 分类讨论;转化思想;不等式的解法及应用. 【分析】 : 由约束条件作出可行域,结合新定义得到目标函数的分段函数,然后化目标函数 为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解析】 : 解:由约束条件 作出可行域如图,

由定义 max{a,b}=

,得

z=max{4x+y,3x﹣y}=



当 x+2y≥0 时,化 z=4x+y 为 y=﹣4x+z,当直线 y=﹣4x+z 过 B(﹣2,1)时 z 有最小值为 4× (﹣2)+1=﹣7; 当直线 y=﹣4x+z 过 A(2,2)时 z 有最大值为 4×2+1×2=10; 当 x+2y<0 时,化 z=3x﹣y 为 y=3x﹣z,当直线 y=3x﹣z 过 B(﹣2,1)时 z 有最小值为 3× (﹣2)﹣1=﹣7; 当直线 y=﹣4x+z 过 A(2,﹣2)时 z 有最大值为 4×2﹣1×(﹣2)=10. 综上,z=max{4x+y,3x﹣y}的取值范围是[﹣7,10]. 故选:B. 【点评】 : 本题是新定义题, 考查了简单的线性规划, 考查了数形结合及数学转化思想方法, 是中档题. 8. (5 分) (2015?山东一模)函数 y=log3(x+3)﹣1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m,n 均大于 0,则 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【考点】 : 基本不等式;对数函数的图像与性质. 的最小值为( )

【专题】 : 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 : 现根据对数函数图象和性质求出点 A 的坐标,再根据点在直线上,代入化简得 到 2m+n=1,再根据基本不等式,即可求出结果 【解析】 : 解:∵y=log3(x+3)﹣1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A, 当 x+3=1 时,即 x=﹣2 时,y=﹣1, ∴A 点的坐标为(﹣2,﹣1) , ∵点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, ∴﹣2m﹣n+1=0, 即 2m+n=1, ∵m,n 均大于 0, ∴ 故 = + =2+ + +2≥4+2 =8,当且仅当 m= ,n= 时取等号,

的最小值为 8,

故选:C 【点评】 : 本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式,属于中档题 9. (5 分) (2015?山东一模) 已知△ABC 中, 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, 且 acosC+ 若 a=1, A. c﹣2b=1,则角 B 为( B. C. D. )

c=b,

【考点】 : 余弦定理;正弦定理. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : 已知等式利用正弦定理化简,整理求出 cosA 的值,求出 A 的度数,利用余弦定 理列出关系式,把 a 与 sinA 的值代入得到关于 b 与 c 的方程,与已知等式联立求出 b 与 c 的值,再利用正弦定理求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 【解析】 : 解:已知等式利用正弦定理化简得:sinAcosC+ =sinAcosC+cosAsinC, 由 sinC≠0,整理得:cosA=
2 2 2

sinC=sinB=sin(A+C)

,即 A=


2 2

由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 1=b +c ﹣ 与 c﹣2b=1 联立,解得:c= ,b=1, 由正弦定理 = ,得:sinB= =

bc① ,

= ,

∵b<c,∴B<C, 则 B= .

故选:B. 【点评】 : 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题 的关键.

10. (5 分) (2015?山东一模)设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0) )处的切 线方程为 l:y=g(x) ,当 x≠x0 时,若
2

>0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 )

y=h(x)的“类对称点”,则 f(x)=x ﹣6x+4lnx 的“类对称点”的横坐标是( A. 1 B. C. e D.

【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】 : 计算题;新定义;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 : 当 a=4 时,函数 y=H(x)在其图象上一点 P(x0,f(x0) )处的切线方程为 y=g (x)=(2x0+ ﹣6) (x﹣x0)++x02﹣6x0+4lnx0.由此能推导出 y=h(x)存在“类对称点”,

是一个“类对称点”的横坐标. 【解析】 : 解:当 a=4 时,函数 y=h(x)在其图象上一点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为: y=g(x)=(2x0+ ﹣6) (x﹣x0)+x0 ﹣6x0+4lnx0,
2 2

设 m(x)=h(x)﹣g(x)=x ﹣6x+4lnx﹣(2x0+ 则 m(x0)=0. m′ (x)=2x+ ﹣6﹣(2x0+ 若 x0< ,φ(x)在(x0,

﹣6) (x﹣x0)﹣x0 +6x0﹣4lnx0,

2

﹣6)=2(x﹣x0) (1﹣ )上单调递减,

)= (x﹣x0) (x﹣



∴当 x∈(x0, 若 x0 ∴当 x∈(

)时,m(x)<m(x0)=0,此时 ,x0)上单调递减,

<0;

,φ(x)在(

,x0)时,m(x)>m(x0)=0,此时 )∪( ) >0,
2

<0;

∴y=h(x)在(0, 若 x0= , (x﹣

,+∞)上不存在“类对称点”.

∴m(x)在(0,+∞)上是增函数, 当 x>x0 时,m(x)>m(x0)=0, 当 x<x0 时,m(x)<m(x0)=0,故 >0.

即此时点 P 是 y=f(x)的“类对称点” 综上,y=h(x)存在“类对称点”, 是一个“类对称点”的横坐标. 故选 B.

【点评】 : 本题考查函数的单调增区间的求法,探索满足函数在一定零点下的参数的求法, 探索函数是否存在“类对称点”.解题时要认真审题,注意分类讨论思想和等价转化思想的合 理运用,此题是难题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2015?山东一模)已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a,若不等式 f(x)≤6 的解集为{x| ﹣2≤x≤3},则实数 a 的值为 a=1 . 【考点】 : 其他不等式的解法. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 不等式即|2x﹣a|≤6﹣a,解得 a﹣3≤x≤3.再由已知不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}, 可得 a﹣3=﹣2,由此求得实数 a 的值. 【解析】 : 解:由题意可得,不等式即|2x﹣a|≤6﹣a, ∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a,解得 a﹣3≤x≤3. 再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},可得 a﹣3=﹣2,故 a=1, 故答案为 a=1. 【点评】 : 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题. 12. (5 分) (2015?山东一模)已知点 A(2,0)抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与 抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|= 1: . 【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标,从而得到 AF 的斜率 k=﹣ .过 M 作 MP⊥l 于 P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN 中,根据 tan∠MNP= ,从而得到|PN|=2|PM|, 进而算出|MN|= |PM|,由此即可得到|FM|:|MN|的值. 2 【解析】 : 解:∵抛物线 C:x =4y 的焦点为 F(0,1) ,点 A 坐标为(2,0) , ∴抛物线的准线方程为 l:y=﹣1,直线 AF 的斜率为 k= 过 M 作 MP⊥l 于 P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM|, ∵Rt△MPN 中,tan∠MNP=﹣k= , ∴ = ,可得|PN|=2|PM|, = |PM| . =﹣ ,
2

得|MN|=

因此可得|FM|:|MN|=|PM|:|MN|=1: 故答案为:1: .

【点评】 : 本题给出抛物线方程和射线 FA,求线段的比值.着重考查了直线的斜率、抛物 线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题.

13. (5 分) (2015?山东一模)已知函数



=



【考点】 : 定积分. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : =
2 2

,由定积分的几何意义可知: .利用

表示上半圆 x +y =1(y≥0)的面积,即可得出 微积分基本定理即可得出 【解析】 : 解: 由定积分的几何意义可知: ∴ 又 ∴ 故答案为: dx= =
2

dx= =

. , 表示上半圆 x +y =1(y≥0)的面积,
2 2



=e ﹣e. = . =好 .

【点评】 : 本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理,属于中档题. 14. (5 分) (2015?山东一模)把座位编号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、 丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种 数为 96 . (用数字作答) 【考点】 : 排列、组合及简单计数问题. 【专题】 : 概率与统计.

【分析】 : 根据题意,先将票分为符合题意要求的 4 份,可以转化为将 1、2、3、4、5 这五 个数用 3 个板子隔开,分为四部分且不存在三连号的问题,用插空法易得其情况数目,再将 分好的 4 份对应到 4 个人,由排列知识可得其情况数目,由分步计数原理,计算可得答案. 【解析】 : 解:先将票分为符合条件的 4 份,由题意,4 人分 5 张票,且每人至少一张,至 多两张,则三人一张,1 人 2 张,且分得的票必须是连号,相当于将 1、2、3、4、5 这五个 3 数用 3 个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在 4 个空位插 3 个板子,共有 C4 =4 种情 4 况,再对应到 4 个人,有 A4 =24 种情况,则共有 4×24=96 种情况. 故答案为 96. 【点评】 : 本题考查排列、组合的应用,注意将分票的问题转化为将 1、2、3、4、5 这五个 数用 3 个板子隔开,分为四部分的问题,用插空法进行解决. 15. (5 分) (2015?山东一模)已知函数 f(x)=xe ,记 f0(x)=f′ (x) ,f1(x)=f′ (x0) ,…, fn(x)=f′ n﹣1(x)且 x2>x1,对于下列命题: ① 函数 f(x)存在平行于 x 轴的切线; ②
x x

>0;
x

③ f′ 2012(x)=xe +2014e ; ④ f(x1)+x2<f(x2)+x1. 其中正确的命题序号是 ① ③ (写出所有满足题目条件的序号) . 【考点】 : 导数的运算. 【专题】 : 导数的概念及应用. 【分析】 : 根据导数的几何意义判断① 正确,根据导数和函数的单调性判断② 错;根据导数的 运算,得到③ 正确,根据导数与函数的单调性的关系判断④ 错 【解析】 : 解:对于① ,因为 f′ (x)=(x+1)e ,易知 f′ (﹣1)=0,函数 f(x)存在平行 于 x 轴的切线,故① 正确; 对于② ,因为 f′ (x)=(x+1)e ,所以 x∈(﹣∞,﹣1)时,函数 f(x)单调递减,x∈(﹣ 1,+∞)时,函数 f(x)单调递增,故
x x x x

>0 的正负不能定,故② 错;
x x

对于③ ,因为 f1(x)=f′ (x0)=xe +2e ,f2(x)=f′ (x1)=xe +3e ,…,fn(x)=f′ n﹣1(x) x x =xe +(n+1)e , x x 所以 f′ 正确; 2012(x)=f2013(x)=xe +2014e ;故③ 对于④ ,f(x1)+x2<f(x2)+x1 等价于 f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2,构建函数 h(x)=f(x) x ﹣x,则 h′ (x)=f′ (x)﹣1=(x+1)e ﹣1, 易知函数 h(x)在 R 上不单调,故④ 错; 故答案为:① ③ 【点评】 : 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系, 以及导数的运算法 则,属于中档题 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.

16. (12 分) (2015?山东一模)已知函数 f(x)=2sinx+2sin(x﹣

) .

(1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 f(A)= C=3B.

,a=

b,证明:

【考点】 : 两角和与差的正弦函数;正弦定理. 【专题】 : 计算题;三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】 : (1)运用两角差的正弦公式,即可化简,再由正弦函数的单调增区间,即可得 到; (2)由 f(A)= 证. 【解析】 : (1)解:函数 f(x)=2sinx+2sin(x﹣ =2(sinx+ sinx﹣ =2 sin(x﹣ ≤x﹣ ≤x≤2kπ ) , ≤2k , ,2kπ ],k∈Z. )= , ,k∈Z, cosx)=2 ( sinx﹣ cosx) ) ,及 0<A<π,即可得到 A= ,再由正弦定理,及边角关系,即可得

令 2kπ﹣ 则 2kπ﹣

则 f(x)的单调递增区间是[2kπ﹣ (2)证明:由 f(A)= 由 0<A<π,则﹣ 则 A= 由 , = ,a= ,B=

,则 sin(A﹣ < ,

<A﹣

b,则 sinB= , ,C= ,

由 a>b,A=

故 C=3B. 【点评】 : 本题考查三角函数的化简,正弦函数的单调区间,考查正弦定理及边角关系,注 意角的范围,属于中档题. 17. (12 分) (2015?山东一模)2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成,分别 叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有 8 个相同的盒子,每个盒子中放一只福娃,每种福 娃的数量如下表: 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 1 1 1 2 3

从中随机地选取 5 只. (Ⅰ)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率; (Ⅱ)若完整地选取奥运会吉祥物记 10 分;若选出的 5 只中仅差一种记 8 分;差两种记 6 分;以此类推.设 ξ 表示所得的分数,求 ξ 的分布列及数学期望. 【考点】 : 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】 : 概率与统计.

【分析】 : (Ⅰ)根据排列组合知识得出 P=

运算求解即可.

(Ⅱ)确定 ξ 的取值为:10,8,6,4.分别求解 P(ξ=10) ,P(ξ=8) ,P(ξ=6) ,P(ξ=4) , 列出分布列即可.

【解析】 : 解: (Ⅰ)选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率 P= (Ⅱ)ξ 的取值为:10,8,6,4.

=

=



P(ξ=10)=

=



P(ξ=8)=



P(ξ=6)=

=



P(ξ=4)= ξ 的分布列为: ξ 10 8 6 4 P ﹣ Eξ=

=

=7.5.

【点评】 : 本题综合考查了运用排列组合知识,解决古典概率分布的求解问题,关键是确定 随机变量的数值,概率的求解,难度较大,仔细分类确定个数求解概率,属于难题.

18. (12 分) (2015?山东一模)在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的 点,满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图 1) .将△AEF 沿 EF 折起到△A1EF 的位置, 使二面角 A1﹣EF﹣B 成直二面角,连结 A1B、A1P(如图 2) (1)求证:A1E⊥平面 BEP (2)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; (3)求二面角 B﹣A1P﹣F 的余弦值.

【考点】 : 与二面角有关的立体几何综合题; 直线与平面垂直的判定; 直线与平面所成的角. 【专题】 : 空间角. 【分析】 : (1)设正三角形 ABC 的边长为 3.在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF.由 已知条件推导出△ADF 是正三角形,从而得到 EF⊥AD.在图 2 中,推导出∠A1EB 为二面 角 A1﹣EF﹣B 的平面角,且 A1E⊥BE.由此能证明 A1E⊥平面 BEP. (2)建立分别以 EB、EF、EA 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系,利用向量法能求出 直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角的大小. (3)分别求出平面 A1FP 的法向量和平面 BA1F 的法向量,利用向量法能求出二面角 B﹣ A1P﹣F 的余弦值. 【解析】 : (1)证明:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3.

在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF. ∵AE:EB=CF:FA=1:2,∴AF=AD=2,而∠A=60 度, ∴△ADF 是正三角形,又 AE=DE=1,∴EF⊥AD. 在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB 为二面角 A1﹣EF﹣B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE. 又 BE∩ EF=E,∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP. (2)建立分别以 EB、EF、EA 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系, 则 E(0,0,0) ,A(0,0,1) , B(2,0,0) ,F(0, ,0) ,P (1, ,0) ,则 . ,

设平面 ABP 的法向量为





平面 ABP 知, , .

,即



,得





∴直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 60 度. (3) 设平面 A1FP 的法向量为 . ,



平面 A1FP 知, , .

令 y2=1,得

, 所以二面角 B﹣A1P﹣F 的余弦值是 .

【点评】 : 本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面所成的角的求法,考查二面角 的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 19. (12 分) (2015?山东一模)数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和为 Sn,满足 Sn =an (Sn﹣ ) . (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,不等式 Tn≥ (m ﹣5m)对所有的 n∈N 恒
2 * 2

成立,求正整数 m 的最大值. 【考点】 : 数列的求和;数列递推式.

【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,代入利用等差数列的通项公式即可得出; (2)利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出. 【解析】 : 解: (1)∵Sn =an(Sn﹣ )= 化为 ∴数列 故 , 是首项为 = =1,公差为 2 的等差数列.
2



=1+2(n﹣1)=2n﹣1, .

∴Sn=

(2)bn= 故 Tn=

= +…+

= =
*





又∵不等式 Tn≥ ∴ ≥
2

(m ﹣5m)对所有的 n∈N 恒成立,

2

(m ﹣5m) ,
2

化简得:m ﹣5m﹣6≤0,解得:﹣1≤m≤6. ∴正整数 m 的最大值为 6. 【点评】 : 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式 的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. (13 分) (2015?山东一模)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左 焦点为 F1(﹣1,0) ,P 为椭圆 G 的上顶点,且∠PF1O=45°. (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1:y=kx+m1 与椭圆 G 交于 A,B 两点,直线 l2:y=kx+m2(m1≠m2)与椭 圆 G 交于 C,D 两点,且|AB|=|CD|,如图所示. (ⅰ)证明:m1+m2=0; (ⅱ)求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值.

【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】 : 综合题. 2 2 2 【分析】 : (Ⅰ)根据 F1(﹣1,0) ,∠PF1O=45°,可得 b=c=1,从而 a =b +c =2,故可得 椭圆 G 的标准方程;

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) . (ⅰ) 直线 l1: y=kx+m1 与椭圆 G 联立, 利用韦达定理, 可求 AB, CD 的长, 利用|AB|=|CD|, 可得结论; (ⅱ)求出两平行线 AB,CD 间的距离为 d,则 ,表示出四边形 ABCD 的

面积 S,利用基本不等式,即可求得四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值. 【解析】 : (Ⅰ)解:设椭圆 G 的标准方程为 因为 F1(﹣1,0) ,∠PF1O=45°,所以 b=c=1. 2 2 2 所以,a =b +c =2.…(2 分) 所以,椭圆 G 的标准方程为 .…(3 分) .

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) .

(ⅰ)证明:由

消去 y 得:







…(5 分)

所以 = =

=



同理 因为|AB|=|CD|, 所以

.…(7 分)



因为 m1≠m2,所以 m1+m2=0.…(9 分) (ⅱ)解:由题意得四边形 ABCD 是平行四边形,设两平行线 AB,CD 间的距离为 d,则 .因为 m1+m2=0,所以 .…(10 分)

所以 =



(或



所以 当

时,四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值为

.…(12 分)

【点评】 : 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查弦长的计算,考查 三角形的面积,同时考查利用基本不等式求最值,正确求弦长,表示出四边形的面积是解题 的关键. 21. (14 分) (2015?山东一模)已知函数 f(x)=aln(x+1)﹣ax﹣x . (Ⅰ)若 x=1 为函数 f(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)讨论 f(x)在定义域上的单调性; (Ⅲ)证明:对任意正整数 n,ln(n+1)<2+ .
2

【考点】 : 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函 数的极值. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (I)由 (Ⅱ)由 ,f′ (1)=0,知 ,令 f′ (x)=0,得 x=0,或 ,由此能求出 a. ,又 f(x)的定

义域为(﹣1,+∞) ,讨论两个根及﹣1 的大小关系,即可判定函数的单调性; 2 (Ⅲ)当 a=1 时,f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f(0) ,即 ln(x+1)≤x+x ,由此能 够证明 ln(n+1)<2+ 【解析】 : 解: (1)因为 令 f'(1)=0,即 ,解得 a=﹣4, . ,

经检验:此时,x∈(0,1) ,f'(x)>0,f(x)递增;x∈(1,+∞) ,f'(x)<0,f(x)递 减, ∴f(x)在 x=1 处取极大值.满足题意.

(2) 令 f'(x)=0,得 x=0,或 ① 当

, ,又 f(x)的定义域为(﹣1,+∞)

,即 a≥0 时,若 x∈(﹣1,0) ,则 f'(x)>0,f(x)递增;若 x∈(0,+∞) ,

则 f'(x)<0,f(x)递减; ② 当 减; 若 递减; ③ 当 ④ 当 ,即 a=﹣2 时,f'(x)≤0,f(x)在(﹣1,+∞)内递减, , 即 a<﹣2 时, 若 x∈ (﹣1, 0) , 则 f' (x) <0, ( f x) 递减; 若 x∈ (0, ,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)递减;
2

,即﹣2<a<0 时,若 x∈(﹣1,

,则 f'(x)<0,f(x)递

,0) ,则 f'(x)>0,f(x)递增;若 x∈(0,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)



则 f'(x)>0,f(x)递增;若

(3)由(2)知当 a=1 时,f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f(0) ,即 ln(x+1)≤x+x , ∵ ∴ ∴ . ,∴ ,i=1,2,3,…,n, ,

【点评】 : 本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性,证明:对任意的正整数 n.解题时要认真审题,注意导数的合理运用,恰当地利用裂项求和法进行解题.


山东省潍坊市2015届高三一模试卷数学理科试卷含解析答案

2015 年山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求...

山东省烟台市2015届高三一模数学试题(理科、含答案)

山东省烟台市2015届高三一模数学试题(理科含答案)_数学_高中教育_教育专区。小记:以下试卷全是根据个人从网上下载整理而来。颇具可靠性,专门为 2015 年考山东各地...

2015年山东省19所名校联考高考数学一模试卷(理科)

2015年山东省19所名校联考高考数学一模试卷(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。考前必备 含答案详解2015 年山东省 19 所名校联考高考数学一模试卷 (理科)一...

山东省济南市2015届高三一模数学试题(理科、含答案)_图文

山东省济南市2015届高三一模数学试题(理科含答案)_数学_高中教育_教育专区。以 小记:以下试卷全是根据个人从网上下载整理而来。颇具可靠性,专门为 2015 年考...

山东省泰安市2015届高三一模数学试题(理科、含答案)

山东省泰安市2015届高三一模数学试题(理科含答案)_数学_高中教育_教育专区。小记:以下试卷全是根据个人从网上下载整理而来。颇具可靠性,专门为 2015 年考山东各地...

山东省潍坊市2015届高三一模数学试题(理科、含答案)_图文

山东省潍坊市2015高三一模数学试题(理科含答案)_数学_高中教育_教育专区。15年潍坊高考数学一模试题,看好多都是收费的。给孩子们一份学习的资料。...

2015年山东省烟台市高考数学一模试卷(理科)

(共 23 页) 2015 年山东省烟台市高考数学一模试卷(理科)参考答案试题解析 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个...

山东省菏泽市2015届高三一模数学试题(理科、含答案)

山东省菏泽市2015高三一模数学试题(理科含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。以小记:以下试卷全是根据个人从网上下载整理而来。颇具可靠性,专门为 2015 ...

2015年山东省济宁市高考数学一模试卷(理科)

(1+ )<e. 第 5 页(共 54 页) 2015 年山东省济宁市高考数学一模试卷(理科)参考答案试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分...

...山东省烟台市2015年高考诊断性测试理科数学试题及答...

[烟台一模 理数]山东省烟台市2015年高考诊断性测试理科数学试题答案(Word版)_数学_高中教育_教育专区。山东省烟台市2015届高三第一次模拟考试.2015.03 2015年3...