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高中数学必修3(北师版)第一章1.8 最小二乘法(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修3(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 统计 1.8 最小二乘法

一、知识清单
线性回归方程

二、知识讲解
1.线性回归方程 描述: 两个变量的线性关系 将样本中的 n 个数据点 (x i , y i )(i = 1 ,2 ,?,n)描在平面直角坐标系中,就得到了散点 图.如果两个变量

的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域,即一个变量的值由小变大 时,另一个变量的值也由小变大,我们将这种相关称为正相关.如果两个变量的散点图中的点散 布的位置是从左上角到右下角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小, 我们将这种相关称为负相关.

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量具有线性相关关 系. 回归直线方程 “ 最贴近 ” 已知数据点的直线叫做回归直线(regression line),其方程称之为回归直线方 程,简称回归方程,方程为

^ = a + bx, y b 叫做回归系数.y i ? y ^ i 刻画了实际观察值 y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度即 离差,n 个离差构成的总离差越小越好,总离差通常是用离差的平方和来表示,即 Q = ∑ ( y i ? a ? bx i ) 2
i=1 n

作为总离差,并使之达到最小.回归直线就是所有直线中 Q 取最小的那一条.由于平方又叫二 乘方,所以这种使“离差平方和最小”的方法,叫做最小二乘法 (method of least square).

^= 其中 b

i=1 n

?y ? ∑ xi y i ? nx
i=1

n



x2 i

? nx ?

2

^x ,a ^=y ??b ? . a ,b 的上方加 “^ ”,表示是由观察值按最小二乘

法求得的估计值,^ b 也叫回归系数. 例题: 对变量 x ,y 有观测数据 (x i , y i )(i = 1 ,2 ,?,10),得散点如下图 1;对变量 u,v 有观 测数据 (u i , v i )(i = 1 ,2 ,?,10),得散点图 2.由这两个散点图可以判断( )

A.变量 B.变量 C.变量 D.变量 解:C

x x x x

与 与 与 与

y y y y

正相关,u 正相关,u 负相关,u 负相关,u

与 与 与 与

v v v v

正相关 负相关 正相关 负相关

某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下对应关系:

x y
①画出散列图; ②求线性回归方程. 解:①散点图如下图所示.

2 30

4 5 40 60

6 50

8 70

②利用科学计算器求得

?=5, y ? = 50 , ∑ x2 x i = 145 , ∑ x i y i = 1380.
i=1 i=1

5

5

设回归方程为 y ^ = bx + a,则

^ b=

i=1

?y ? ∑ xi y i ? 5x
i=1

5



5

x2 i

? 5x ?

2

=

1380 ? 5 × 5 × 50 145 ? 5 × 5 2

= 6.5,

^=y ??^ ? = 50 ? 6.5 × 5 = 17.5. a bx

故所求方程为 y ^ = 6.5x + 17.5. 为了了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高x(cm) 儿子身高y(cm) 则 y 对 x 的线性回归方程为( A.y ^ = x?1 B.y ^ = x+1 C.y ^ = 88 + D.y ^ = 176 解:C 因为 )

174 175

176 176 175 176

176 177

178 177

1 x 2

174 + 176 + 176 + 176 + 178 175 + 175 + 176 + 177 + 177 ?= = 176 ,y = 176 , 5 5 又 y 对 x 的线性回归方程表示的直线恒过点 (x ?, y ? ),所以将 (176, 176) 代入 A、B、C、D 中 ?= x
检验可知选 C 项.

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