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山西省朔州市应县一中2014届高三补习班上学期第四次月考数学理试题 Word版含答案


数学理试题
时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,只有一项是符合要求 的)
1、已知集合 A={x|log 2 x <1},B={x|0<x <c} ,若 A ? B=B ,则 是( ) A. (0,1] 2.若集合 “B B. [1,+? ) C. (

0,2] D. [2,+?)

c 的取值范围

A ? x x 2 ? 5 x ? 4<0 ; B ? x x ? a <1 , 则“ a ? (2,3) ”是


?

?

?

?

? A ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图如右图 (其中侧视图中的圆弧是半圆) 则该几何体的表面积为 , ( )

π A. 92 ? 14

π B. 82 ? 14

π C. 92 ? 24

π D. 82 ? 24
an , an+2

4.已知数列满足:a1=1,an+1=

?1 ? (n∈N*),若 bn+1=(n-λ) ? +1?, ?an ? b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为( A.λ>2 B.λ>3 C.λ<2 D.λ<3 )

? ? ? ? ? ? ? a ? 3, b ? 2 3 ,且 a ? a ? b 5.已知向量 a, b 满足

?

? ? b 在 a 方向的投影为( ? ,则
D.



A.3

B. ?3 .

C. ?

3 3 2

3 3 2

6.在△ ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F 为边 BC 的三等分点(E 为靠近点 C 的三等分点),则

??? ??? ? ? AE ? 等于 AF





? A?

??? ? ???? 7.已知 M 是△ABC 内的一点, AB · AC =2 3, BAC=30°, 且 ∠ 若△MBC, MCA △

5 3

? B?

5 4

? C?

10 9

? D?
)

15 8

1 1 4 和△MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( 2 x y A.20 8.已知 B.18 C.16 D.19

m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列命题:其
( ).

中正确命题的个数是

①若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ;②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n, 则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? ;④若 m / /? , n / / ? ,且 m / / n ,则 ? / / ? .

A.1

B.2

C.3

D.4

9.如图所示为函数

? ? ? f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 的部分图象,其 2 ? ?
f ? ?1? ?
D. ( )

中 A 、 B 两点之间的距离为 5,那么 A.

3

B. ?

3

C.

2

?2

10、已知函数

f ( x) ? x ? 4 ?

9 ( x ? ?1) ,当 x ?1

x=a 时, f ( x) 取得最小值,则在直角坐

1 x ?1 g ( x) ? ( ) 的大致图象为( 标系中,函数 a



11.已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 AA1 ? 2 AB ,则 CD 与 BDC1 所成角的正弦值 是( )

2 A. 3

B.

3 3

C.

2 3

1 D. 3
f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,当

12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足

?1≤x< 1

时 ,

f ( x) ? x3

, 若 函 数

g ( x ) ? f ( x ) ? log a x
值范围是( )

至少 6 个零点, a 取 则

( A. 0,

1 ]? 5, ??) ( 5

( B. 0,
( D.

1 ) [5, ??) ? 5

( C.

1 1 , ] ? 5, 7) ( 7 5
(1 ? i )(1 ? i ) 2i

1 1 , ) [5, 7) ? 7 5

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 在复平面内对应的点到原点的距离为 。

13.复数

?x≥0, ? 14.已知 x,y 满足条件?y≤x, ?2x+y+k≤0, ?
(k 为常数),若 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=______. 15.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,AC⊥BC,

D1

C1

A1

D A

P

?

B1

PA=AC=BC,则直线 PC 与 AB 所成角的大小是______.
16.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的 中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值 为__________. 三、解答题(共 6 个题, 共 70 分) 17. (本题 10 分)设函数 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 (Ⅱ)若不等式

B

E

C

f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 .

f ( x) ? 3x ? 2 的解集;

f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1

?

,求 a 的值.

18. (本题 12 分)如图,四棱锥 E ? ABCD 中, EA ? EB ,

AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD .
(Ⅰ)求证: AB ? ED ; (Ⅱ)线段 EA 上是否存在点 F ,使 DF // 平面 BCE ?若存在,求出 说明理由. 19. (本题 12 分)已知函数 f

EF 的值;若不存在, EA

?x? ?

3 1 sin 2x ? cos 2 x ? (x ? R). 2 2
E

? 5? [ , ] (1)当 x∈ ? 时,求函数 f(x)的最小值和最大值. 12 12
(2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c=

3, f(C)=0,若向量 m=(1,sin A)与向量 n=(2,sin B)
C

B D

A

共线,求 a,b 的值.
20. (本题 12 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 满足 b1

1 的等差中项,等差数列{b }
n

? a1 , b4 ? S3 .

(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;

1 cn ? (2)设 bn bn ?1

1 1 ? Tn ? . ,数列 {c } 的前 n 项和为 T ,证明: 3 2
n n

21. (本题 12 分)如图,四边形 PCBM 是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1, BC=2.又 AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°. (1)求证:PC⊥AC; (2)求二面角 M﹣AC﹣B 的余弦值; (3)求点 B 到平面 MAC 的距离.

22(本题 12 分)已知函数
x f ? ?,自 ) (e 1e 对 x? ? 然 ) a 0 x ( 为数 a 数 的 底
(1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x?R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下, 证 明 :

1 2 n ? n e 1 (n(n?? ) (n ) ) ?( n ) ?? ? ? ? (中 其) n* ? N n n n ne ? 1

高三月考四理科数学答案 2013.11

17.【答案】解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 . 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1.
-----5 分

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} . ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3 x ? 0 此不等式化为不等式组

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ? ?x ? a ? 或? 即 x? a ? ?a ? x ? 3x ? 0 ? 4
a 2

?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2

---10 分

-----6 分 (2)f(C)=sin(2C-

? ? )-1=0,则 sin(2C- )=1, 6 6 ? ? 11? <2C- < , 6 6 6

∵0<C<π,∴0<2C<2π, ∴-

∴2C-

? ? ? = ,C= , 6 2 3

∵向量 m=(1,sin A)与向量 n=(2,sin B)共线, ?

1 sin A ? , 2 sin B


由正弦定理得

a 1 ? b 2 ? , 即 a2+b2-ab=3 3
-----12 分

由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos 由①②,解得 a=1,b=2.



(2) cn ? ∴ Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

7分

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
*

9分

∵ n ? N ,∴ Tn ?

1? 1 ? 1 ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2

10 分

Tn ? Tn ?1 ?

n n ?1 1 ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

∴数列 {Tn } 是一个递增数列

∴ Tn ? T1 ?

1 . 3

1 1 ? Tn ? 2 综上所述, 3

12 分

21、解:方法 1: (1)证明:∵PC⊥BC,PC⊥AB, 又 BC 与 AB 交于点 B∴PC⊥平面 ABC,∴PC⊥AC. 分) (3 (2)取 BC 的中点 N,连 MN.∵PM=∥CN,∴MN=∥PC,∴MN⊥平面 ABC. 作 NH⊥AC,交 AC 的延长线于 H,连接 MH. 由三垂线定理得 AC⊥MH,∴∠MHN 为二面角 M﹣AC﹣B 的 平面角. ∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°, ∴在 Rt△AMN 中,∠AMN=60°. 在△ACN 中, 在 Rt△AMN 中, 在 Rt△NCH 中, 在 Rt△MNH 中,∵ 故二面角 M﹣AC﹣B 的余弦值为 ,∴ . 分) (8 . . . .

(3)作 NE⊥MH 于 E.∵AC⊥平面 MNH,∴AC⊥NE,∴NE⊥平面 MAC, ∴点 N 到平面 MAC 的距离为 .∵点 N 是线段 BC 的中点, . (12)

∴点 B 到平面 MAC 的距离是点 N 到平面 MAC 的距离的两倍为

方法 2: (1)证明:∵PC⊥BC,PC⊥AB,∴PC⊥平面 ABC,∴PC⊥AC. 分) (3 (2)在平面 ABC 内,过 C 作 BC 的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.设 P(0,0,z) , 则 . .





且 z>0,∴

,得 z=1,∴



设平面 MAC 的一个法向量为 =(x,y,1) ,则由









平面 ABC 的一个法向量为





显然,二面角 M﹣AC﹣B 为锐二面角,∴二面角 M﹣AC﹣B 的余弦值为

. 分) (8

(3)点 B 到平面 MAC 的距离

. (12 分)

x (3)由(2)知,对任意实数 x 均有 e ? ?≥ 1 x≤ x. ,即 x1 0 ? e

令x ? ?

k ?? k k ,则 0 ?1? ≤e n . ( N ,2 , n ,? ,… ? 03n * 1 k , , ? 1 ) n n k ? ? k n ( ? ) ≤e n) ? ? 1 n ( ek n





12 n n ( ) (2 ? 1 n n n ? 1 n ? ) 2 ( ? …( ≤? ?? ? ) ) ?) )e? … 1 (? ( n n ? e ? ? 1 e ? ? e nn n n

1 en ?? 1 e ? ?? ?? 1 1 1 e 1 e e 1 --------12 分 ? ? ?


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