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四种命题及其关系


引入

请将命题“正弦函数是周期函数”

改写成“ 若p, 则q ”的形式.

若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数.

条件

结论

命题:
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)

是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期 函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦 函数.
思考:上面四个命题中,命题(1)与 命题(2)(3)(4)的条件和结论之 间分别有什么关系?

探究 下列四个命题中,命题(1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?

(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期 函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦 函数.

探究点1 观察命题(1)与命题(2)的条件和结论 之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数, 则f(x)是周期函数;

p 则f(x)是正弦函数; q (2)若f(x)是周期函数, q p
互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件,这两个命题叫做互逆命题. 原 命 题:其中一个命题叫做原命题. 逆 命 题:另一个命题叫做原命题的逆命题. 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆命题 是“两直线平行,同位角相等”.

探究点2 观察命题(1)与命题(3)的条件和结论 之间分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数, 则f(x)是周期函数;

(3)若f(x)不是正弦函数, 则f(x)不是周期函数.
┐p ┐q

p

q

为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”

互否命题 原命题 (原命题的)否命题 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
例如,命题“同位角相等,两直线平行”的否命题 是“同位角不相等,两直线不平行”.

探究点3 观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之 间分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,

q p (4)若f(x)不是周期函数, 则f(x)不是正弦函数. ┐q ┐p
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题 原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p

则f(x)是周期函数;

例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题 是“两直线不平行,同位角不相等”.

准确地作出反设 (即否定 )是非常重要的,下面是一 些常见的结论的否定形式.
原结论 反设词 不是 不都是 不大于 大于或等于 存在某x, 不成立 原结论 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立


都是 大于 小于 对所有x, 成立

至少有一个
至多有一个 至少有n个 至多有n个 对任何x, 不成立

练一练:写出下列四组命题的逆命题、否命
题及逆否命题,并判断四种命题的真假.

(1)原 命 题 : 若 a ? b, 则 a ? c ? b ? c 逆 命 题 : 若 a ? c ? b ? c, 则 a ? b 否 命 题 : 若 a ? b, 则 a ? c ? b ? c
逆 否 命 题 : 若 a ? c ? b ? c, 则 a ? b
( 2 )原 命 题 : 若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2

真 真 真 真



真 真 逆 否 命 题 : 若 x ? 2, 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 假

逆 命 题 : 若 x ? 2, 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 否 命 题 : 若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2

( 3 )原 命 题 : 若 a ? 0, 则 ab ? 0 逆 命 题 : 若 ab ? 0, 则 a ? 0

真 假 假 真 假 假 假 假

否 命 题 : 若 a ? 0, 则 ab ? 0

逆 否 命 题 : 若 ab ? 0, 则 a ? 0
( 4 )原 命 题 : 若 a ? b, 则 ac ? bc

逆 命 题 : 若 ac ? bc, 则 a ? b 否 命 题 : 若 a ? b, 则 ac ? bc
逆 否 命 题 : 若 ac ? bc, 则 a ? b

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面 四种情况:
原命题 真
真 假 假

逆命题 真
假 真 假

否命题 真
假 真 假

逆否命题 真
真 假 假

【提升总结】 (1)原命题为真,则其逆否命题一定为真. 但其逆命题、否命题不一定为真. (2)若其逆命题为真,则其否命题一定为真.

但原命题、其逆否命题不一定为真.
由以上三例及总结我们能发现什么?

解:原命题与其逆否命题同真假.
原命题的逆命题与否命题同真假.

(两个命题为互逆命题或互否命题,
它们的真假性没有关系).

四种命题之间的关系

原命题 若p,则q
互 否

互逆

逆命题 若q,则p
互 否

否命题 若﹁p,则﹁q

互逆

逆否命题 若﹁q,则﹁p

1.判断下列说法是否正确: (1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题 不一定为真. (2)一个命题的否命题为真,它的逆命题

正确

一定为真.

正确

2.如果一个命题的逆命题为假命题,则它的否命
题( A ) A. 一定是假命题 C. 一定是真命题 B. 不一定是假命题 D. 有可能是真命题

3.判断命题“若x- 2 不是有理数,则x不是无理数” 的真假.

逆否命题:若x是无理数,则x- 2 是有理数.
“假命题”

在数学的证明中,我们会常常用到一种 方法——反证法. 反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾 来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种 数学证明方法.

反证法的一般步骤:

(1)假设命题的结论不成立 , 即假设 反设 结论的反面成立; (2)从这个假设出发 , 经过推理论证归谬 , 得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确 , 从而 结论 肯定 命题的结论正确.

适用的情况: 1.证明唯一性、无数个等问题 2.命题以否定形式出现(如不存在, 不相交等),并伴有“至少…”“不 都…”“都不…”“没有…”等指示性词语 3.正难则反,即从正面解决不好入手 或比较麻烦,可以从问题的反面入 手解决。


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