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7.2 平面向量的基本定理及坐标表示


第七章 平面向量

第七章 平面向量
学案 7.2 平面向量的基本定理及坐标表示
自主预习案 自主复习 夯实基础 【双基梳理】 自主梳理 1.平面向量基本定理: 2.夹角: 3.把一个向量分解为两个____________的向量,叫做把向量正交分解. ? ? 4.在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j

作为基底,对于平面内 ? ? ? ? ? 的一个向量 a ,有且只有一对实数 x,y 使 a ? xi ? y j ,我们把有序数对______叫做向量 a 的________, ? ? ? 记作 a =________,其中 x 叫 a 在________上的坐标,y 叫 a 在________上的坐标. 5.平面向量的坐标运算: ? ? ? ? ? ? 6.若 a =(x1,y1), b =(x2,y2)( b ? 0 ),则 a ∥ b 的充要条件是________________________. 7.(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1P2 的中点 P 的坐标为________________________________. (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),则△P1P2P3 的重心 P 的坐标为_______________. 【课前热身】 ? ? 1.若向量 a =(x,3) ? x ? R? ,则“x=4”是“| a |=5”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
? ?3 1? ? ? ? 2.设a = ? , sin ? ? , b ? ? cos ? , ?,且a // b, 则锐角?为 3? ?2 ? ?

(A)30°

(B)45°

(C)60°

(D)75°

? ? ?? ?? ? ? ? x 的图象上,则实数 λ 3.已知向量 a ? ? 6, ?4 ? , b =(0,2) ,O C c ?a ? ?b ? ,若 C 点在函数 y ? sin 12
等于 5 (A) 2 3 (B) 2 (C) ?

? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a =(2,-1), b =(-1,m), c =(-1,2),若( a + b )∥ c ,则 m=________. ? ??? ? ??? 5.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120°.如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧
???? ??? ? ??? ? ? 上变动,若 OC AB ? xOA ? yOB ,其中 x, y ? R ,则 x+y 的最大值是______.

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(D) ?

3 2

考点探究案 探究点一 平面向量基本定理的应用

典例剖析 考点突破

??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? OC ? OA, OD ? OB,AD与BC交于点M ,设OA=a, OB=b,以a、 b为基底表示 ?例1? ? 如图所示,在?OAB中, ? 4 2 ???? ? OM .

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第七章 平面向量

??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ??? 变式训练 1 平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? | OA ? OB ? 1, OC ? 2 3 ,若 OC ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) ,则 λ+μ 的值为________. 探究点二 平面向量的坐标运算 ???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? 例 2】已知 A(-2,4) ,B(3,-1) ,C(-3,-4) ,且 CM ? 3CA, CN ? 2CB ,试求点 M,N 和 MN 的坐标.

??? ? ? ??? ? 变式训练2.已知点A ?1, -2?,若向量 AB与a ? ? 2,3?同向, AB ? 2 13,则点B的坐标为 ______

探究点三 在向量平行下求参数问题 ? ? ? 例 3】已知平面内三个向量: a =(3,2), b =(-1,2), c =(4,1). ? ? ? (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m、n; ? ? ? ? ? 2? 若 a ? kc // 2b ? a ,求实数k.

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? 变式训练 3 已知向量 a =(3,1), b =(1,3), c =(k,7),若( a - c )∥ b ,则 k=________. 【感悟与反思】

巩固提高案

日积月累 提高自我

一、选择题 ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 1.已知 a , b 是不共线的向量,若 AB ? ?1 a ? b, AC ? a ? ?2 b ,? ?1, ?2 ? R? ,则 A、B、C 三点共线的充要条 件为 (A)λ1=λ2=-1 (B)λ1=λ2=1 (C)λ1λ2-1=0 (D)λ1λ2+1=0 2.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边 ??? ? ???? ???? 界).若 OP ? aOP 1 ? bOP 2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 a,b 满足

(A)a>0,b>0 (B)a>0,b<0 (C)a<0,b>0 (D)a<0,b<0 ? ? ? ? ? ? m ? 3.设两个向量a ? ? ? ? 2, ? 2 ? cos 2 ? ? 和b ? ? m, ? sin ? ?,其中?,m,?为实数.若a =2b,则 的取值范围是 m ? 2 ? (A)[-6,1] (B)[4,8] (C)(-∞,1] (D)[-1,6] ???? ? ???? ???? 4.设 0≤θ ≤2π 时,已知两个向量 OP1 =(cosθ ,sinθ ),OP2 =(2+sinθ ,2-cosθ ),则向量 PP 1 2 长 度的最大值是 (A) 2 (B) 3 (C)3 2 (D)2 3 ???? ??? ? ??? ? 5.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB= ? 2,4? , AC= ?1,3? , 则BD等于 (A)(-2,-4) (B)(-3,-5) (C)(3,5) (D)(2,4) 二、填空题 6.如图所示, 在△ABC 中, 点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、 AC 于不同的两点 M、 N, ??? ? ???? ? ???? ???? 若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m+n 的值为______.

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第七章 平面向量

7.在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC.已知 A(-2,0),B(6,8),C(8,6), 则 D 点的坐标为________. ??? ? ???? ? 1 ??? ? ? 1 ??? 3 ??? 8.在四边形ABCD中, AB ? DC ? ?11 ,, ? ?BA ? ??? ? ?BC ? ??? ? ?BD,则四边形ABCD的面积为 ______ ? ??? BA BC BD 三、解答题

??? ? 1 ?? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 9. 已知A, B, C三点的坐标分别为? -1, 0 ? 、 -1? 、 EF ? AB ? 3, ?1, 2 ? 并且 AE ? AC , BF ? BC , 求证: 3 3

? ?? 10.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知向量 m =(a,b),向量 n =(cosA,cosB),
? ? ? ?? ? ? ?2 B?C ? 向量 p ? ? 2 2 sin , 2sin A ?,若m // n, p ? 9, 求证:?ABC为等边三角形。 2 ? ?

【体验高考】

? ? ? ? 1. (2013,上海,5,3)已知向量 a ? (1, k ) , b ? (9, k ? 6) .若 a // b ,则实数 k ? __________
??? ? ???? ???? 2. ( 2013 ,四川, 12,5 )在平行四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO , 则
? 3.[2014,福建,8,5]在下列向量组中,可以把向量 a =(3,2)表示出来的是
(A) e1 =(0,0), e2 =(1,2) (C) e1 =(3,5), e2 =(6,10)

? ? _________.
?? ??

?? ? ?? ?

(B) e1 =(-1,2), e2 =(5,-2) (D) e1 =(2,-3), e2 =(-2,3)

?? ??

?? ? ?? ?

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