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山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编19 等差与等比的综合问题 理 新人教A版


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 19:等差与等比的综合问题
一、选择题 1 . (山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理科数学)已知等差数列 ?a n ? 的公差 d 不为 0,等比数 列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数.若 a1 ? d , b1 ? d 2 , 且

a1 ? a2 ? a3 是正整数,则

q 的值可以是 b1 ? b2 ? b3
2 2 2

( A.



1 1 D.2 2 【答案】C【解析】由题意知 a2 ? a1 ? d ? 2d , a3 ? a1 ? 2d ? 3d , b2 ? b1q ? d 2 q, b3 ? b1q 2 ? d 2 q 2 ,所
B.C.
2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 d 2 ? 4d 2 ? 9d 2 14 a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 以 , 因 为 是 正 整 数 , 所 以 令 b1 ? b2 ? b3 b1 ? b2 ? b3 d ? d 2q ? d 2q 2 1 ? q ? q 2 t t 14 2 , 即 q2 ? q ? 1 ? ?0 , 解 得 ? t , t 为 正 整 数 . 所 以 q ? q ?1 ? 2 14 14 1? q ? q

1 7

1 7

1 4 1 4 5 6 ?1 ? 1 ? 4 ( ? 1 ) ? ? 1 ? 4 ?( 1 1 ? ? 1 ? ?3 ) t ? t ? t , 因 为 t 为 正整 数 , 所以 当 t ?8 q? 2 2 2 ?1 ? ?3 ? 7 ?1 ? 2 1 时, q ? ? ? .符合题意,选 C 2 2 2 2 . 山 东 省 莱 芜 五 中 2013 届 高 三 4 月 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 列 {an },{bn } 满 足 ( b a1 ? b1 ? 3 , an ?1 ? an ? n ?1 ? 3 , n ? N ? ,若数列 {cn } 满足 cn ? ban ,则 c2013 ? ( ) bn
A. 9
2012

B. 27

2012

C. 9

2013

D. 27

2013

3 . (山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)已知各项均不为零的数列 ?an ? , 定义向量 cn ? ? an , an ?1 ? , bn ? ? n, n ? 1? , n ? N .下列命题中真命题是
?

【答案】D

?? ?

?? ?





A.若 ?n ? N ? 总有 cn ? bn 成立,则数列 ?an ? 是等比数列 B.若 ?n ? N ? 总有 cn / / bn 成立,则数列 ?an ? 是等比数列 C.若 ?n ? N ? 总有 cn ? bn 成立,则数列 ?an ? 是等差数列 D.若 ?n ? N ? 总有 cn / / bn 成立,则数列 ?an ? 是等差数列

【答案】D【解析】由

?? ?? ? ? cn / / bn

数列 n 是等差数列,选 D. 二、填空题 4 . (山东省莱芜市第一中学 2013 届高三 12 月阶段性测试数学(理)试题)已知等差数列 ?a n ? 中,有

?a ?

an ?1 n ? 1 an ?1 an ? ? na ? (n ? 1)an a n ,所以 an ? na1 ,故 得, n ?1 ,即 n ? 1 n ,所以 n

a11 ? a12 ? ? ? a20 a1 ? a2 ? ? ? a30 ? 10 30 _____________________成立.

成 立 . 类 似 地 , 在 正 项 等 比 数 列

?bn ?

中 , 有

【答案】由算术平均数类比几何平均数,容易得出 10 b11b12 ?b20 ? 30 b1b2 ?b30 . 三、解答题 5 . 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 4 月 巩 固 性 训 练 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 (

1

a1 ? 3 , an?1 ? 3an ? 3n (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 bn ?

an . 3n

(1)证明数列 {bn } 是等差数列并求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n . 【答案】解(1)证明:由 bn ? ∴ bn ?1 ? bn ?

an an?1 ,得 bn?1 ? n ?1 , n 3 3

an ?1 an 1 ? ? 3n ?1 3n 3

所以数列 ?bn ? 是等差数列,首项 b1 ? 1 ,公差为

1 n?2 (n ? 1) ? 3 3 n (2) an ? 3 bn ? (n ? 2) ? 3n ?1
∴ bn ? 1 ?

1 3

? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 3 ?1 ? 4 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? 3n?1 ----①
? 3S n ? 3 ? 3 ? 4 ? 32 ? ? ? (n ? 2) ? 3n -------------------②
①-②得 ? 2S n ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
2 n?1

? (n ? 2) ? 3n

? 2 ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n

3n ? 3 ? ? (n ? 2) ? 3n 2 n 3 ? 3 (n ? 2)3n ? Sn ? ? ? 4 2
6 . 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 数 列 { an } 的 前 n 项 和 (

1 Sn ? ?an ? ( )n?1 ? 2( n ? N * ) ,数列{ bn }满足 bn = 2 n an . 2 (I)求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; n 2 25 (Ⅱ)设 cn ? log 2 ,数列{ }的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn ? ( n ? N * ) 的 n 的最大值. an cn cn ? 2 21 1 1 【答案】解:(Ⅰ)在 S n ? ? a n ? ( ) n ?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ? a n ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? . 2 2 1 1 n ? 2 时 , S n ?1 ? ?a n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 ∴ a n ? S n ? S n ?1 ? ?a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 , 当 2 2 1 n ?1 ∴ 2a n ? a n ?1 ? ( ) , 即 2 n a n ? 2 n ?1 a n ?1 ? 1 .∵ bn ? 2 n a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 , 即 当 n ? 2 2 时, bn ? bn ?1 ? 1 . 又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. n 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,∴ a n ? n 2
(Ⅱ)∵ cn ? log2 ∴
n ? log2 2n ? n , an

2 2 1 1 = = , cn cn+2 n(n+ 2) n n+ 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ? )?( ? ) =1 ? ? 2 n ?1 n ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 25 1 1 1 25 1 1 13 由 Tn ? ,得 1 ? ? ,即 , ? ? ? ? 21 2 n ? 1 n ? 2 21 n ? 1 n ? 2 42
2

1 1 9 13 单调递减,∵ f (4) ? , f (5) ? , ? n ?1 n ? 2 20 42 ∴ n 的最大值为 4 7 . (山东省莱芜五中 2013 届高三 4 月模拟数学 (理) 试题) 在等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 ? 42, a8 ? 30 .
f (n) ?

(1)求数列 {an } 的通项公式 ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? ( 3)
an ? 2

? ? ( ? ? R ),则是否存在这样的实数 ? 使得 ?bn ? 为等比数列;

? 2n ?1 , n为奇数 ? ,Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 T2n . (3)数列 ?cn ? 满足 cn ? ? 1 an ?1 , n为偶数 ? ?2
【答案】解:(1)因为 {an } 是一个等差数列,所以 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 42,? a4 ? 14 . 设数列 {an } 的公差为 d ,则 4d ? a8 ? a4 ? 16 ,故 d ? 4 ;故 an ? a4 ? (n ? 4)d ? 4n ? 2 (2) bn ? ( 3)
an ? 2

? ? ? 9n ? ? .
2

假设存在这样的 ? 使得 ?bn ? 为等比数列,则 bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ,即 (9 整理可得 ? ? 0 . 即存在 ? ? 0 使得 ?bn ? 为等比数列 (3)∵ cn ? ?

n ?1

? ? )2 ? (9n ? ? ) ? (9n?2 ? ? ) ,

?2n ?1 , n为奇数 ?2n ? 3, n为偶数
2

,
4 2 n?2

∴ T2 n ? 1 ? (2 ? 2 ? 3) ? 2 ? (2 ? 4 ? 3) ? 2 ? ? ? 2

? (2 ? 2n ? 3)

? 1? 2 ? 2 ??? 2
2 4

2 n?2

? 4(1 ? 2 ? ? ? n) ? 3n

?

1 ? 4n n(n ? 1) 4n ? 1 ? 4? ? 3n ? ? 2n 2 ? n 1? 4 2 3

8 . (山东省凤城高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 )设等比数列 {an } 的前项和为 S n ,已知

an?1 ? 2Sn ? 2 ,(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
(Ⅱ)在 an 与 an?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 数组成公差为 d n 的等差数列,求 { 【答案】解:(Ⅰ)由 an ?1 ? 2 Sn ? 2(n ? N ? ) 得 an ? 2 Sn ?1 ? 2(n ? N ? , n ? 2 ), 两式相减得: an ?1 ? an ? 2an , 即 an ?1 ? 3an (n ? N ? , n ? 2 ), ∵ {a n } 是等比数列,所以 a2 ? 3a1 ; 又 a2 ? 2a1 ? 2, 则 2a1 ? 2 ? 3a1 ,∴ a1 ? 2 , ∴ an ? 2 ? 3
n ?1 n ?1

1 } 的前 n 项和 Tn . dn

(Ⅱ)由(1)知 a n ? 2 ? 3

,则 a n ?1 ? 2 ? 3

n

∵ an ?1 ? an ? (n ? 1)d n , ∴ d n ? ∵ Tn ?

4 ? 3n ?1 n ?1

1 1 1 1 ? ? ? ? d1 d 2 d 3 dn 2 3 4 n ?1 ∴ Tn ? ① ? ? ??? 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n?1 1 2 3 4 n n ?1 ② Tn ? ? ? ??? ? 1 2 3 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 2 2 1 1 1 1 n ?1 ①-②得 Tn ? ? ? ? ??? ? 0 1 2 3 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n
3

1? 1 ? ?1 ? n ?1 ? 1 1 3 3 ? n ? 1 5 2n ? 5 ? ? ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 8 8 ? 3n 1? 3 15 2n ? 5 ∴ Tn ? ? 16 16 ? 3n?1
9 . (山东省莱芜市莱芜十七中 2013 届高三 4 月模拟数学(理)试题)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足

Sn ? 2an ? 1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 .
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 1001 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? bn bn ?1 2012
an ?2 an ?1

【答案】解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2an ? 1) ? (2an ?1 ? 1) ? 2an ? 2an ?1 , 即

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ an ? 2n ?1 , Sn ? 2n ? 1 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1001 1001 n 由 Tn > ,得 > ,解得 n > 100.1 2012 2n ? 1 2012 1001 ∴ Tn > 的最小正整数 n 是 101 2012
(2) cn ? 10 . 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 等 差 数 列 {an } ( 中, a2 ? a3 ? a4 ? 15, a5 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3
a n ?1 2

,求数列 {

an ?1 , b n } 的前 n 项和 S n . 2

的公差为d首项a1 ,由题意得 【答案】解:(Ⅰ)设数列 ?an ?
且?

?a2 ? a3 ? a4 ? 15 ?3a1 ? 6d ? 15 即? ?a1 ? 4d ? 9 ?a5 ? 9 ?a1 ? 1 ?d ? 2

解得 ?

的通项公式为an ? 2n ? 1 所以数列 ?an ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? 3 所以

an ?1 ? 3n 2

an ?1 .bn ? n.3n 2
4

所以 S n ? 1.3 1 ? 2.32 ? 3.33 ? n.3n ?1 两式相减得 2 S n ? ?(3 ? 3 2 ? 3 ? 3 ? ? 3n ) ? n.3n ?1 10 分
3 4

? ( ? 3n) 31 3 ? 2n ? 1 .n.3n ?1 ( ) n ?1 ? ? n.3 ? 1? 3 2 n ?1 3 ? (2n ? 1).3 即Sn ? 4
11.山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学 ( (理)数列{an}的前 n 项和为 S n , S n ? 2n ?1 ? (n ? 1) , ) 等差数列 {bn } 的各项为正实数,其前 n 项和为 Tn ,且T3 ? 9, 又a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列. (I)求数列{an}、 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ? an .bn ,当 n≥2 时,求数列 {cn } 的前 n 项和 An. 【答案】

12. 山东省泰安市 2013 届高三第二次模拟考试数学 ( (理) 试题) 已知等差数列 ? an ? 的首项 a1 ? 3, 公差d ? 0 , 其前 n 项和为 S n ,且 a1 , a4 , a13 分别是等比数列 ?bn ? 的第 2 项,第 3 项,第 4 项.
5

(I)求数列 ? an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)证明 【答案】

1 1 1 1 3 ? ? ? ??? ? ? . 3 S1 S2 Sn 4

13. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)设等比数列 ? an ? 的前 n 项和为

Sn, a4 ? a1 ? 9, a5 , a3 , a4 成等差数列.
(I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)证明:对任意 R ? N , Sk ? 2 , Sk , Sk ?1 成等差数列. 【答案】
?

6

14. 山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学) ( 已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列, 且 a1 ? b1 ? 2 , b4 ? 54 ,

a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 (2)数列 {cn } 满足 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 由 b4 ? b1q 3 ,得 q 3 ? 因此 bn ? b1 ? q n?1
54 ? 27 ,从而 q ? 3 2 ? 2 ? 3 n ?1

【答案】 【解析】:(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q

又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,? a2 ? 8 从而 d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 a n ? a1 ? ( n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4 (Ⅱ) c n ? a n bn ? 4 ? ( 3n ? 2) ? 3 n?1 令 Tn ? 1 ? 3 0 ? 4 ? 31 ? 7 ? 3 2 ? ? ? ( 3n ? 5) ? 3 n? 2 ? ( 3n ? 2) ? 3 n?1

3Tn ? 1 ? 31 ? 4 ? 3 2 ? 7 ? 3 3 ? ? ? ( 3n ? 5) ? 3 n?1 ? ( 3n ? 2) ? 3 n
两式相减得

? 2Tn ? 1 ? 3 ? 31 ? 3 ? 3 2 ? 3 ? 3 3 ? ? ? 3 ? 3 n?1 ? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1 ? 3 ?
? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1 ?
?Tn ? 7 3n (6n ? 7) ? 4 4

3( 3 n?1 ? 1) 3?1

9(3n ?1 ? 1) ? 3n ? 2) ? 3n ( 2
,又 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3n
7

15. (山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, 且 a3 ? 1是a1 ? 1与a7 ? 1 的等比中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 【答案】

an ? 1 ? n ? N ? ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn. 2n

16. (2012 年山东理)(20)在等差数列 {an} 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84 , a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 {an} 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m?N* ,将数列 {an} 中落入区间 (9m ,92m ) 内的项的个数记为 {bn} ,求数列 {bn} 的前 m 项和 S m . 【答案】(20)解:(Ⅰ)因为 {an} 是一个等差数列, 所以 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 84 ,即 a4 ? 28 . 所以,数列 {an} 的公差 d ?

a9 ? a4 73 ? 28 ? ? 9, 9?4 5

所以, an ? a4 ? (n ? 4)d ? 28 ? 9(n ? 4) ? 9n ? 8 (n ? N*) (Ⅱ)对 m?N* ,若 9m ? an ? 92m , 则 9m ? 8 ? 9n ? 92m ? 8 ,因此 9m?1 ? 1 ? n ? 92m?1 , 故得 bm ? 92m?1 ? 9m (lb ylfx) 于是 Sm ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bm

8

? (9 ? 93 ? 95 ? ... ? 92m ?1) ? (1 ? 9 ? 92 ? ... ? 9 m ?1) 9 ? (1 ? 81m ) 1 ? 9m ? ? 1 ? 81 1? 9 92m ?1 ? 10 ? 9m ? 1 ? 80
17. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知数列 {an } 的前 n 项和为

S n , 且an ?1 ? S n ? n ? 3 , n ? N + , a1 ? 2 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

【答案】解:(Ⅰ)? an ?1 ? S n ? n ? 3, n ? 2时,an ? S n ?1 ? ? n ? 1? ? 3 ,

n ? n ? N + ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn < 4 . 3 Sn ? n ? 2

? a n ?1 ? a n ? a n ? 1, 即a n ?1 ? 2a n ? 1, ? an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1), (n ? 2, n ? N*),
? an ? 1 ? (a2 ? 1)2n ? 2 ? 3 ? 2n ? 2

18. (山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题)已知 ?an ? 是公差不为零的等差数 列, a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等比数列.求: (I)数列 ?an ? 的通项公式; (II)数列 an ? 2an 的前 n 项和 S n 【答案】解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题设知 d ? 0 , 由 a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等比数列,得 解得 d ? 1, d ? 0 (舍去). (Ⅱ)由(I)知 an ? 2
an

?2, n ? 1 an ? ? n?2 ?3 ? 2 ? 1, n ? 2 (Ⅱ)? S n ? an ?1 ? n ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? n ? 2 , n ? bn ? 3 ? 2 n ?1 1? 2 3 n ? ? Tn ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 3? 2 2 2 ? 1 1?1 2 3 n ? Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 3? 2 2 2 2 ? 1 1? 1 1 1 n ? 相减得, Tn ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? , 2 3? 2 2 2 2 ? 4 4? 1 ? 2 n ? Tn ? ?1 ? n ? ? ? n ﹤ 3 3? 2 ? 3 2 ?结论成立.

?

?

1 ? 2d 1 ? 8d ? 1 1 ? 2d

故 {an } 的通项公式为 an =1+(n ? 1) ? 1 ? n

? n ? 2n ,
(1)

S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ,

2 ? Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ,(2) (1) ? (2) ,得 ? S n ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1
9

19.山东省莱钢高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 ) ( 设数列 ?an ? 为等差数列,且 a 5 ? 14 , a7 ? 20 , 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , b1 ?

2 ? 2n ?1 ? n ? 2n ?1. 1? 2 从而 S n =(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2.
所以 ? S n ?

(Ⅰ)求数列 ? an ? , ?bn ? 的通项公式;

2 且 3Sn ? Sn ?1 ? 2 (n ? 2, n ? N ) ;, 3

(Ⅱ)若 cn ? an ? bn , n ? 1, 2,3,? , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和. 【答案】解:(Ⅰ) 数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 易得 a1 ? 2 所以 a n ? 3n ? 1

T

n

<m 对n ? N 恒成立 ,求 m 的最小值.

?

1 (a7-a5 ) ? 3 , 2

由 bn ? 2-2 S n ,令 n ? 1 ,则 b1 ? 2 ? 2 S1 ,又 S1 ? b1 ,所以.

2 9 由 3S n ? S n ?1 ? 2 当 n ? 3 时,得 3S n ?1 ? S n ? 2 ? 2 , bn b 1 1 两式相减得. 3( S n ? S n ?1 ) ? S n ?1 ? S n ? 2 即 3bn ? bn ?1 ? 又 2 ? b1 3 bn ?1 3 2 1 .所以 ?bn ? 是以 b1 ? 为首项, 为公比的等比数列, 3 3 1 于是 bn ? 2 ? n 3 1 (Ⅱ) c n ? a n ? bn ? 2(3n ? 1) ? n 3 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 ? ? 1 Tn ? 2?2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ? 3 3 3 3 ? ? 3 2 1 1 1 1 1 1 两式相减得 Tn ? 2[3 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 3 3 7 7 1 n 所以 Tn ? ? ? n ? n ?1 2 2 3 3 7 7 1 n 7 从而 Tn ? ? ? n ? n ?1 ? 2 2 3 2 3 7 7 ? ∵ T n <m 对n ? N 恒成立 ∴ m ? ∴m 的最小值是 2 2
b2 ? 2 ? 2(b1 ? b2 ) ,则 b2 ?
20 . 山 东 省 莱 芜 市 第 一 中 学 2013 届 高 三 12 月 阶 段 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 列 a n 满 足 (

a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? 2 n?1 a n ?
(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项; (Ⅱ)若 bn ?

n 2

n ,求数列 ?bn ?的前 n 项的和 S n . an
1 2
10

【答案】解:(Ⅰ) n ? 1时a1 ?

n (1) 2 n ?1 (2) a1 ? 2a 2 ? 2 2 a3 ? ? 2 n?2 a n?1 ? 2 1 1 1 1 (1)-(2)得 2 n ?1 a n ? 即 a n ? n (n ? 2 ),又 a1 ? 也适合上式? a n ? n 2 2 2 2 a1 ? 2a2 ? 2 2 a3 ? ? 2 n?1 an ?

21. (山东师大附中 2013 届级高三 12 月第三次模拟检测理科数学)数列 {an } 的前 n 项的和为 S n ,对于任意 的自然数 an ? 0 ,

4 S n ? ? an ? 1?
(Ⅱ)设 bn ?

2

(Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列,并求通项公式

an ,求和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 3n

【答案】解 :(1)令

(2)-(1)

是等差数列

(2) ---① ---②

①-② 所以 22. (山东省兖州市 2013 高三 9 月入学诊断检测数学(理)试题)设等比数列 {a n } 的前 n 项 和为 S n ,已知

an ?1 ? 2Sn ? 2(n ? N * ). (1 )求数列 {a n } 的通项公式;

11

(2)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数列 ? 【答案】( 1)由 an ?1 ? 2 Sn ? 2(n ? Z )
*

?1 ? ? ? 的前 n 项和 Tn . ? dn ? ?

得 an ? 2 Sn ?1 ? 2(n ? Z , n ? 2 ),
*

两式相减得: an ?1 ? an ? 2an , 即 an ?1 ? 3an (n ? Z , n ? 2 ),
*

∵ {a n } 是等比数列,所以 a2 ? 3a1 ; 又 a2 ? 2a1 ? 2, 则 2a1 ? 2 ? 3a1 ,∴ a1 ? 2 , ∴ a n ? 2 ? 3 n ?1 (2)由(1)知 a n ? 2 ? 3 n ?1 ,则 a n ?1 ? 2 ? 3 n ∵ an ?1 ? an ? (n ? 1)d n ,

23. (山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考(数学理))已知各项均为正数的数列 ?a n ? 前 n 项和 为 S n ,首项为 a1 ,且

4 ? 3n ?1 n ?1 1 1 1 1 ∵ Tn ? ? ? ? ? d1 d 2 d 3 dn 2 3 4 n ?1 ∴ Tn ? ①[ ? ? ??? 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n?1 1 2 3 4 n n ?1 ② Tn ? ? ? ??? ? 1 2 3 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 2 2 1 1 1 1 n ?1 ①-②得 Tn ? ? ? ? ??? ? 0 1 2 3 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1? 1 ? ?1 ? n ?1 ? 1 1 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 1? 3 5 2n ? 5 ? ? 8 8 ? 3n 15 2n ? 5 ∴ Tn ? ? 16 16 ? 3n?1
∴ dn ?

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式;
2 (Ⅱ)若 an ? ( ) n ,设 cn ? b

1 , an , S n 等差数列. 2

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an 1 【答案】解(1)由题意知 2an ? S n ? , an ? 0 2 1 1 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n?1 ? 2an?1 ? 2 2 两式相减得 an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 a 整理得: n ? 2 an ?1

1 2

12

∴数列 ?a n ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2 1 an ? a1 ? 2n?1 ? ? 2n?1 ? 2n?2 2 ? bn 2 ? 22n?4 (2) an ? 2
∴ bn ? 4 ? 2n ,

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n 8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ① Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n?1 ? 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 2 2 2 2 2n?1 1 1 ( ? n?1 ) 1 2 16 ? 8n 2 ? 4 ?8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? ( ? n?1 ) ? n?1 41 2 2 4n ? n 2 8n ? Tn ? n . 2 Cn ?
24. (山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学(理)试题)在等比数列 {a n } 中, a 2 ? 设 bn ? log 2 a2 2 ? log 2 a2
n n?1

1 1 , a3 ? a 6 ? . 4 512 2 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和.(Ⅰ)求 an 和 Tn ;(Ⅱ)若对任意的 n ? N ? ,不等 1 5 1 1 得q ? , q ? 16 512 2

式 ?Tn ? n ? 2(?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围.
n

【答案】解:(Ⅰ)设 {a n } 的公比为 q ,由 a3 a6 ? a 2 ? q ?
2 5

∴ an ? a2 ? q

bn ? log 2 a2
n

1 ? ( )n 2 2 ? log 2 a2 2= log
n?2
n?1

1 ( )2 n?1 2

2 ? log

1 ( )2 n?1 2

2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )? (? 1 )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
(Ⅱ) ①当 n 为偶数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? 即 ? ? (2n ? 而 2n ?

(n ? 2)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 3 恒成立, n n

2 ? 3) min , n

2 2 ? 3 随 n 的增大而增大,∴ n ? 2 时 (2n ? ? 3) min ? 0 ,∴ ? ? 0 ; n n
13

②当 n 为奇数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? 即 ? ? ( 2n ?

(n ? 2)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 5 恒成立, n n

2 ? 5) min , n 2 2 2 而 2n ? ? 5 ? 2 2n ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 2n ? ? n ? 1 等号成立, n n n ∴? ? 9
25 .( 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 3 月 高 考 模 拟 理 科 数 学 ) 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 综上,实数 ? 的取值范围 (- ?, 0 )

S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2 S n ? 1 (n ? N * ) ,等差数列 ?bn ? 满足 b3 ? 3, b5 ? 9 .
(1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

bn ? 2 1 (n ? N * ) ,求证 cn ?1 ? cn ? . 3 a n?2
得 an ? 2 S n ?1 ? 1 ----②,

【答案】解:(1)由 an ?1 ? 2 S n ? 1 ----①

① ? ②得 an ?1 ? an ? 2( S n ? S n ?1 ) ,? an ?1 ? 3an

? an ? 3n ?1 ;

? b5 ? b3 ? 2d ? 6,? d ? 3 ? bn ? 3n ? 6
(2)因为 an ? 2 ? 3n ?1 , bn ? 2 ? 3n

26 . 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 ( (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

3n n ? n n ?1 3 3 1 ? 2n 所以 c n ?1 ? c n ? n ?1 ? 0 3 1 cn ?1 ? cn ? ??? ? c1 ? 3 1 所以 cn ?1 ? cn ? 3
所以

cn ?

S n , a3 ? 5, S6 ? 36 ,

? a1 ? 2d ? 5 ? a3 ? 5 ? 【答案】解: (1)设 {an } 的公差为 d, ? ? ;则 ? 6?5 ? S6 ? 35 ?6a1 ? 2 d ? 36 ? ?a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 即? ,解得 ? , ?d ? 2 ? a1 ? 5d ? 6

? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, (n ? N * )
(2) bn ? 2
an

? 22 n ?1

?Tn ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1
14

?

27. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) )设数列 ?an ?为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数 列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? bn ? 2 . (I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (II)若 cn ? 【答案】

2(1 ? 4n ) 2(4n ? 1) ? 1? 4 3

an ?n ? N ? ? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn . bn

28. (山东威海市 2013 年 5 月高三模拟考试数学(理科) )已知 ?an ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和,且

2Sn ? an ? 2n 2 .
(Ⅰ)求 an , S n ; (Ⅱ)若 ak , a2 k ?2 , a2 k ?1 成等比数列,求 k 的值及公比. 【答案】解:(Ⅰ)∵ ?an ? 为其等差数列,设公差为 d

1 a1 ? 1 ,∴ a1 ? 2 2 1 n ? 2 ,有 a1 ? a2 ? a2 ? 4 ,∴ a2 ? 4 ,∴ d ? a2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2 2 ∴ an ? 2+2(n ? 1) ? 2n , n(2 ? 2n) Sn ? ? n(n ? 1) 2 2 (Ⅱ)若 ak , a2 k ?2 , a2 k ?1 成等比数列,则有 a2 k ? 2 ? ak a2 k ?1

n ? 1 ,则有 a1 ?

即 4(2k ? 2) ? 2k ? 2(2k ? 1) ,整理得 2k ? 9k ? 4 ? 0 ,
2

2

解得 k ? 4 或 k ?

1 (舍) 2
a6 3 ? a4 2
15

∴ a4 , a6 , a9 成等比数列, q ?

16


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