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2016高考数学总复习课时作业堂堂清三角函数4-4


高三总复习

数学 (大纲版)

第四节

三角函数式的求值、化简与证明

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考纲 要求

考试 热点

能运用

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 以及二倍角和半角的正弦、余弦和正切公式 进行简单的恒等变换(包括导出和差化积,积 化和差公式,但不要求记忆). 1.以三角恒等变换的考查为过程,以三角函 数的图象和性质为目标的命题模式仍是高考 的热点内容. 2.以考查两角和与差的三角函数的公式及 倍半角的公式为主,考查代数式的恒等变换 能力以及合理推理能力等. 3.多以选择题、填空题的形式为主,解答 题时常作为其中的一问出现,多属于中、低 档题目.

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1.三角函数式的化简

三角函数式的化简是求值和证明的基础,高考中设计
题目,常以两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数的 公式进行恒等变形,进而讨论三角函数的有关性质. 在化简三角函数式时,要注意运用常值代换、切割化 弦、降幂与升幂来解题.其中:

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常值代换就是将常数用某个三角函数式来代替,如前 3-tan15° 面所讲到“1”的代换,再如:求 时,可用 tan 1+ 3tan15° tan60° -tan15° 60° 代替其中的“ 3”, 即原式= =tan(60° 1+tan60° tan15° -15° )=tan45° =1. 收缩就是利用公式 asinα + bcosα = a2+b2sin(α + φ).将两个三角函数式的和差收缩成一个三角函数式,在 解题时不必死记公式,重要的是这种“收二为一”的思 想.

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化简三角函数式的要求、方法及常用技巧:

(1)要求:
①能求出值的应求出值;②使三角函数种类尽量少; ③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使

被开方数不含三角函数.
(2)方法: ①能直接应用公式时就用公式(包括正用、逆用、变形 应用); ②常用切割化弦,异名化同名,异角化同角.

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(3)常用技巧: ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化; ②注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本 性质; ③注意利用角与角之间的隐含关系; ④注意利用“1”的恒等变形.

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2.三角函数式的求值 有给角求值、给值求值、给值求角: (1)给角求值的关键是正确分析角之间关系,准确地选 用公式,要注意产生特殊角,同时把非特殊角的三角函数 值相约或相消,从而求出三角函数式的值; (2)给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函

数、结构间差异,有目的地将已知式、待求式的一方或两
方加以变换,找出它们之间的联系,最后求出待求式的值;

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(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值, 其次判断该角对应函数的单调区间,最后求出角.

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3.证明问题 它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明. (1)无条件恒等式的证明.证明时要认真分析等式两边 三角函数式的特点,角度、函数、结构的差异,一般由繁 的一边往简的一边证,逐步消除差异,最后达到统一,对 于较难的题目,可以用分析法帮助思考,或分析法和综合

法联用.

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(2)有附加条件的恒等式的证明.证明的关键是恰当地 利用附加条件,要认真分析条件式和结论式中三角函数之 间的联系,从分析过程中发现条件应怎样利用.证明这类 恒等式时,还常常用到消元法和基本量方法.消元法即用 代入、加减、乘除、平方后相加减等手段消去某些量;基 本量方法就是适当选择其中可以独立取值的量作为基本量,

把其他的量都用基本量表示出来,从而将问题归结为研究
这些量之间的关系.

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答案:A

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答案:A

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3.A、B、C为△ABC的内角,且cosA=,sinB= 则sin(A+B)的值为 (

, )

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3 4 π π 解析:∵cosA= .∴sinA= ,∴ <A< 5 5 4 2 5 π 5π ∵sinB = ,故 0<B< , ( 当 <B<π 时 A +B>π 矛 13 6 6 12 盾).∴cosB= 13. 4 12 3 5 ∴sin(A+B)=sinAcosB+cosA sinB=5×13+5×13 63 =65.故选 D.

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答案:D

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5.已知α、β均为锐角,cosα= 求cosβ的值.

,tan(α-β)=-



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化简问题

[ 分析 ]

(1) 作合理的角的变换: 10°=30°-20°,

70°=90°-20° (2) 利用两角和正切公式的变形: tanα + tanβ = tan(α +

β)(1-tanαtanβ).

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[解]

2cos(30° -20° )- sin20° (1)原式= sin70°

3cos20° + sin20° - sin20° 3cos20° = = = 3. sin70° sin70° π π π (2)原式=tan[(6-θ)+(6+θ)][1-tan(6-θ) π π π tan( +θ)]+ 3tan( -θ)tan( +θ)= 3. 6 6 6

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答案:B

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求值问题
[例 2] (2009· 重庆高考)设△ABC 的三个内角为 A, ( ) B,C,向量 m=( 3sinA, sinB),n=(cosB, 3cosA), 若 m· n=1+cos(A+B),则 C= π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6

[分析]

根据数量积的运算得到关于角 A,B的三角函

数之间的关系,通过三角恒等变换转化到角C上去.

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[ 解]

m· n= 3sinAcosB + 3cosA sinB = 3sin(A + B)

= 3sin(π- C) = 3sinC ,又 cos(A + B) = cos(π- C) =- cosC, 故 3sinC=1-cosC, 即 3sinC+cosC=1, 即 2sin(C π π 1 π π 7π +6)=1,即 sin(C+6)=2,由于6<C+6< 6 ,故只有 C+ π 5π 2π 6= 6 ,即 C= 3 .

[答案] C

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[ 拓展提升 ] 本题还可以结合同角三角函数关系 求解. 3sinC+cosC=1,即 cosC=1- 3sinC,两端平 方,得 cos2C=1-2 3sinC+3sin2C,即 1- sin2C= 1- 3 2 3sinC+3sin2C,由于 sinC≠0,解得 sinC= 2 ,故 C π 2π = 或 ,由于解这个方程的过程中进行了平方,有可 3 3 π 能扩大解的范围,要代入原方程检验,将 C= 代入 3 3 2π sinC+cosC=1,得 2=1,矛盾,故舍去,将 C= 3 代 2π 入得符合题意,故 C= . 3

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在直角坐标平面内, 已知三点 A(3,0)、 B(0,3)、 C(cosθ, ?π 3π ? sinθ),其中 θ∈ ? , ?. 2? ?2 → |= |BC → |,求角 θ 的弧度数; (1)若|AC 2 2sin θ+sin2θ → → (2)若AC· BC=-1,求 的值. 1+tanθ

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→ =(cosθ-3 , sinθ),BC → =(cosθ , sinθ 解:(1)因为AC → |= | BC → |,得(cosθ - 3)2 + sin2θ = cos2θ + - 3) ,所以由 |AC (sinθ-3) ,即 cosθ= sinθ.又
2

?π 3π? θ∈?2, 2 ?,所以 ? ?

5π θ= 4 .

→· → =-1,得 cosθ(cosθ-3)+ sinθ(sinθ-3) (2)由AC BC 2 5 =-1,即 sinθ+cosθ= .两边平方,得 2sinθcosθ =- , 3 9 2sin2θ+ sin2θ 2sin2θ+2sinθcosθ 5 所以 = =2sinθcosθ=- 9. sin θ 1+tanθ 1+ cosθ

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证明问题 [例3] 设α、β、γ是锐角,且 α、β、γ成等差数列. [分析] 欲证α、β、γ成等差数列,需证β= 以将 利用倍角公式转化为 即可,所 形式,从而与 tan 联 tan=tan3=tanγ ,求证:

立来证明.

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[解]

1 tanβ=2tanγ= 2γ 1-tan 2

γ tan2

? γ? 2γ tan ?1+tan ? 2? 2? =? ?? ? 2γ 2γ ? 1-tan ? ?1+tan ? 2?? 2? ?

γ γ α 3γ tan2+tan 2 tan 2+tan2 α +γ = = =tan 2 . γ α γ 3γ 1-tan · tan 1-tan · tan 2 2 2 2 π π ∵0<α< ,0<γ< . 2 2

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[ 拓展提升 ]

条件等式的证明问题,要充分挖掘已知

条件和待证结论间的关系,通过凑角、变函数名称、切割 化弦、“1”的变换等手段,寻找联系,逐步实施条件到结

论的转化.

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2α+β β 2α+β β =3sin cos +3cos sin , 2 2 2 2 2α+β β 2α+β β ∴4sin cos =10cos sin , 2 2 2 2 2α+β β 2α+β β 两边同除以 cos2cos 2 , 得 2tan 2 =5tan2.

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三角函数的恒等变换与其他知识的交汇 [例4] 将形如 现规定 的符号称为二阶行列式,

=a11a22-a12a21.
(1)试计算二阶行列式 ;

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(2)若已知函数f(θ)= 的值.

,求锐角θ

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[ 拓展提升 ]

本题属于信息迁移题,是当前高考命题

的一个热点题型.这类问题往往以高等数学中的有关概念 为背景,给出一个定义,然后在此基础上提出新的问题要 求考生加以解决.解决这类问题的关键是弄清给出的定义, 围绕这个定义进行转化,转化成熟悉的问题,利用已有的

知识和方法进行求解.

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(1)若a与b是两个共线向量,求x的值; (2)若f(x)=a·b,求函数f(x)的最小值及相应的x的值.

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-cos2x 2-cos2x 2 (2)f(x)=a· b= + = sinx sinx sinx 1+2sin2x 1 = =2sinx+ . sinx sinx π 因为 x∈(0,2],所以 sinx∈(0,1], 1 1 于是 2sinx + ≥2 2sinx· = 2 2( 当且仅当 sinx sinx 1 2 2sinx= ,即 sinx= 2 时取等号), sinx π 故函数 f(x)的最小值等于 2 2,此时 x=4.

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1 . 转化的思想是实施三角变换的主导思路,变换包 括函数名称变换、角的变换、 1 的变换、幂的升降变换等 等.变换则必须熟悉公式、分清和掌握哪些公式会实现哪 种变换,也要掌握各个公式的相关联系. 2 .恒等变形前需分析已知式中角的差异,函数名称 的差异,运算的差异,寻求联系,实现转化.

3 .掌握基本技巧:切割化弦,异名化同名,异角化
同角,尽量减少函数名称种数,化为同次幂,化为比例式、 化为常数等,还应注意会拆角,拼角,实现已知角与未知

角的转换.

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4 .给角求值要注意诱导公式的应用及符号的确定; 要注意角的象限和范围,要写出所有角而不要遗漏.

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