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§2。2.2双曲线的几何性质第3课时


§2.2.2 双曲线简单的几何性质

( 第 3 课时)

学习目标: 班,姓名 掌握双曲线的定义,标准方程,几何性质,并运用有关性质解决实际问题。 重点:直线与双曲线问题。 难点:相关弦长、中点问题。
一、直线与双曲线的位置关系 1、判断直线与双曲线位置关系的操作程序:

2、若设直线与双曲线的交点(弦的端点

)坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,将这两点 代入双曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式 子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。 3、若直线 l : y ? kx ? b 与双曲线相交与 A 、 B 两点, A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 弦长 AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( kx 1 ? kx 2 ) 2

? 1 ? k 2 x1 ? x 2
? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

二、一层练习 2 1、已知双曲线方程为 x 2 ? y
4

? 1 ,过

P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共

点,则 L 的条数共有( ) A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 2 x 2、过点(2,-2)且与双曲线 2 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程是( y2 x2 A. 2 - 4 =1 x2 y2 B. 4 - 2 =1 y2 x2 C. 4 - 2 =1

)

x2 y2 D. 2 - 4

3、双曲线

x2 y2 2 2 2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) ? y ? r (r ? 0) 相切,则 r 等于 6 3



) A、 3 B、2 C、3 D、6

4、已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1 总有公共点,试求 实数 k 的取值范围.

三、二层练习 1、已知直线 y ? x ? 1 与双曲线 C : x 2 ?
y2 ? 1 交于 A、B 两点,求 AB 的弦长。 4

2、过点 M (3,?1) 且被点 M 平分的双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程。 4

四、三层练习
2 2 1、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 x ? y ? 1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M

4

16

到此双曲线的右焦点的距离为 2、已知双曲线 x 2 ? y2
a b
2 2



? 1( a ? 0, b ? 0 )的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个

焦点为(4,0) ,则双曲线的方程为


16 的距离的比是常 5

3、点 M(x,y)到定点 F(5, 0)的距离和它到定直线 l: x ? 数 ,求点 M 的轨迹。
5 4

4、 已知双曲线 x 2 ?

y2 ?1, 经过点 M (1,1) 能否作一条直线 l , 使 l 与双曲线交于 A 、 2

B ,且点 M 是线段 AB 的中点。若存在这样的直线 l ,求出它的方程,若不 存在,说明理由。

五、课后练习 1、以 3x ? 4 y ? 0 为渐近线的双曲线经过点(3,-4) ,则该双曲线的离心率为 。

1 2、经过点( ,2) 且与双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 1 仅有一个公共点的直线方程为 2 。 2 x y2 ? 2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,其一条渐近线方程 3、已知双曲线 2 b 为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF 。 1 ? PF 2 等于

x2 y2 ? ? 1 与直线方程 l : y ? x ? 1 相交于 A、B 两点,求 AB 4、已知双曲线方程为 4 9 的弦长

5、已知中心在坐标原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3 ,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA OB >2(其中 O 为坐标原点),求 k 的取值范围.


§2.3.2双曲线的几何性质

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