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2014江门一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


江门市 2014 年高考模拟考试数学(理科)
参考公式:独立性检验临界值表

P( K 2 ? k0 )
k0

0.50
0.455

0.25
1.323

0.10
2.706

0.025
5.024
<

br />0.010
6.635

0.005
7.879

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 1.在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i ( i 是虚数单位)对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限 )

2.从 2、3、5、7 这四个质数中任取两个相乘,可以得到不相等的积的个数是( A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 )

3.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 f (1) ? ( A. 1 B. ? 1 C. 3 D. ? 3

4.将甲、乙两个篮球队 10 场比赛的得分数据整理成如图所示茎叶图,由图可知( A.甲、乙两队得分的平均数相等 C.甲、乙两队得分的极差相等 B.甲、乙两队得分的中位数相等



D.甲、乙两队得分在 [ 30 , 39 ) 分数段的频率相等
0

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1 , t ) , OB ? (2 , 2) ,若 ?ABO ? 90 ,则 t ? ( A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 )



6.两条不重合直线 l1 、 l 2 斜率分别为 k1 、 k 2 ,则“ l1 // l 2 ”是“ k1 ? k 2 ”成立的( A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件

D1

A1 B1

7.如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 B1 BCC1 上的动点,并且 A1 F // 平面 AED 1 ,则动点 F 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段 )

C1
E D

A B

8.设函数 f ( x) ? x ? sin x ? 2 , g ( x) ? e x ? ln x ? 2 ,若实数 a , b 满足 f (a ) ? 0 ,

C

g (b) ? 0 ,则(
A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b)

) B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
2 9.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 .则命题 p 的否定 ? p :



10.执行如图 3 的程序框图,输出的 S ? 11.定积分



?

1 ?1

| x | dx ?



1

12.已知直线 l 过点 A(2 , 1) 和 B(1 , m 2 ) ( m ? R ) ,则直线 l 斜率的取值范围是 范围是 .

,倾斜角的取值

13.某个部件由三个元件如图 4 方式连接而成,元件 A 或元件 B 正常工作,且元件

1 C 正常工作,则部件正常工作.若 3 个元件的次品率均为 ,且各个元件相互 3
独立,那么该部件的次品率为 .

A C B

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的参数方程为 ?

?x ? t 2 ? y ? 2t

( t 为参数) ,以原点 O

为极点,以 x 轴正半轴为极轴,直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

? ? sin(? ? ) ? m .若直线 l 经过抛物线 C 的焦点,则常数 m ?
4
15. (几何证明选讲选做题)如图 5, AB 是圆 O 的弦, CD 是 AB 的垂直 平分线,切线 AE 与 DC 的延长线相交于 E .若 AB ? 24 , AE ? 20 , 则圆 O 的半径 R ? .



A

E

C
B

O

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1, x ? R . (1)求 f (0) 的值;

(2)若将 y ? f ( x) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得到的曲线恰好经过坐标原点,求 ? 的最小值.

2

17. (本小题满分 14 分)随机询问某大学 40 名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,得到如下列联 表:性别与读营养说明列联表 男 读营养说明 不读营养说明 总计 16 4 20 女 8 12 20 总计 24 16 40

(1)根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与是否读营养说明之 间有关系?(2)从被询问的 16 名不读营养说明的大学生中,随机抽取 2 名学生,求抽到男生人数 ? 的分布列及

n(ad ? bc) 2 其均值(即数学期望) . (注: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

18. (本小题满分 14 分) 如图 6, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PA ? 底面 ABCD ,PA ? 3 ,

AD ? 2 , AB ? 4 , ?ABC ? 600 . (1)求证: AD ? PC ; (2) E 是侧棱 PB 上一点,记 PE ? ? PB ,是否 ADE ? PC ? ? 存在实数 ,使 平面 ?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.

P
E

A D
图6

B

C

3

19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , ?n ? N , a n ?1 ?
?

2a n . 2 ? an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证: ?n ? N ,
?

?a
i ?1

n

2 i

? 3.

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 ? 的焦点为 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) ,点 M (1 , (1)求椭圆 ? 的方程; (2)设双曲线 ? :

3 ) 在椭圆 ? 上. 2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的顶点 A 、 B 都是曲线 ? 的顶点, a2 b2 经过双曲线 ? 的右焦点 F 作 x 轴的垂线,与 ? 在第一象限内相交于 N ,若直线 MN 经过坐标原点 O ,求双曲线 ? 的离心率.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数.试证明: (1) ?a ? R , y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条切线;
/ (2) ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f (? ) ?

f (e) ? f (1) . e ?1

4

江门市 2014 年高考模拟考试数学(理科) 评分参考(理科)
一、选择题 二、 填空题 BCAA CDDB 9. ?x0 ? R (3 分) , x0 ? 2x0 ? 2 ? 0
2

10. 3

11. 1

[0 , 12. (?? , 1] ,

?
4

]? (

?
2

, ?)

13.

11 27

14.

2 2

15. 15

三、解答题 16.解: (1) f (0) ? 4 cos 0 sin

?
6

? 1 ? 4 ?1?

1 ? 1 ? 1 ……4 分(代入 1 分,三角函数值 2 分,结果 1 分) 2

(2)向右平移 ? 个单位,所得到的曲线为 y ? 4 cos( x ? ? ) sin( x ? ? ? 曲线经过坐标原点,得 4 cos( ?? ) sin( ?? ?

?
6

) ? 1……6 分

?
6

) ? 1 ? 0 ……7 分
) ? 0 (或 tan 2? ?

化简(和差化积或积化和差) ,得 sin( 2? ?

?
6

3 )……10 分 3

2? ?

?
6

? k? , k ? Z ……11 分, ? ?

k ? ? ? ? , ? 的最小正值为 ? ? ……12 分. 2 12 12

(若学生在第(1)问化简函数,则相应的分值仍然计入第(2)问) 17.解: (1)由表中数据,得 k ?

40 ? (16 ? 12 ? 8 ? 4) 2 ? 6.67 ? 6.635……4 分(列式 2 分,计算 1 分,比较 24 ? 16 ? 20 ? 20

1 分) ,因此,能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为性别与读营养说明有关……5 分
2 1 1 C12 C12 ? C4 11 2 (2) ? 的取值为 0,1,2……6 分, P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? ? , 2 5 C16 20 C16 2 C4 1 ……12 分, ? 的分布列为 P(? ? 2) ? 2 ? C16 20

?
P
……13 分, ? 的均值为 E? ? 0 ?

0

1

2

11 20

2 5

1 20

11 2 1 1 ? 1? ? 2 ? ? ……14 分. 20 5 20 2

18.解: (1)连接 AC ,则 AC ?

AB2 ? BC2 ? 2 ? AB ? BC ? cos?ABC ? 2 3 ……1 分

(方法一) PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? AC ……2 分

PB ? PA2 ? AB2 ? 5 , PC ? PA2 ? AC 2 ? 21……3 分
PB2 ? PC 2 ? BC 2 ,所以 ?PCB ? 900 , BC ? PC ……4 分,因为 AD // BC ,所以 AD ? PC ……5 分
5

2 2 2 0 (方法二) CD ? AD ? AC ,所以 ?CAD ? 90 , AD ? AC ……2 分

PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AD ……3 分,因为 PA ? AC ? A ,所以 AD ? 平面 PAC ……4 分
因为 PC ? 平面 PAC ,所以 AD ? PC ……5 分 (2) (方法一)过 C 作 CF ? AB 于 F ,则 CF ? 平面 PAB ……6 分 连接 PF ,由(1)知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ……7 分 又 CF ? AE ,所以 AE ? 平面 PCF ……8 分, AE ? PF ……9 分 依题意, BF ?

1 BC ? 1 ,所以 AF ? 3 , AF ? PA ……10 分, 2

AE 是 ?PAF 的平分线,从而也是 ?PAB 的平分线……11 分
在 ?PAE 和 ?ABE 中,

PE PA BE AB ? ? , ……12 分 sin ?PAE sin ?PEA sin ?BAE sin ?BEA

所以

PE PA 3 PE 3 3 ? ? ……13 分, ? ,即所求 ? 的值为 ……14 分. BE AB 4 PB 7 7

(方法二)在平面 ABCD 内过点 A 作 AF ? CD ,以 A 为原点, AF 、 AB 、 AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、

z 轴建立空间直角坐标系……6 分,则 A(0 , 0 , 0) , B(0 , 4 , 0) , P(0 , 0 , 3) ……7 分,C( 3 , 3 , 0) …8 分
设 E (a , b , c) ,由 PE ? ? PB 得, (a , b , c ? 3) ? ? (0 , 4 , ? 3) ……9 分 解得 a ? 0 , b ? 4? , c ? 3 ? 3? ……10 分,由(1)知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ……11 分, 即 PC ? AE ? 0 ……12 分,所以 ( 3 , 3 , ? 3) ? (0 , 4? , 3 ? 3? ) ? 3 ? 4? ? 3(3 ? 3? ) ? 0 ……13 分 解得 ? ?

3 ……14 分. 7

(方法三)过 E 作 EF // BC ,交 PC 于 F ,连接 DF ,则平面 ADE 即平面 ADFE ……6 分, 由(1)知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? DF ……7 分 由⑴ 及余弦定理得

cos?CPD ?
9

PC 2 ? PD2 ? CD 2 9 ……9 分 ? 2 ? PC ? PD 13 ? 21
……12 分

所以 PF ? PD ? cos?CPD ?

21

PF ? PC

9 21 ? 21

?

PE PF 3 3 ? ? ……14 分. ……13 分,又 EF // BC ,所以 ? ? PB PC 7 7

19.解: (1)由 a n ?1 ?

2a n 1 1 1 1 1 1 ,得 ? ? ……1 分, ? ? ……2 分 a n ?1 a n 2 a n ?1 a n 2 2 ? an

所以 ?

?1? 1 1 ? 1 ,公差 d ? 的等差数列……3 分 ? 是首项 2 an ? an ?

2 1 n ?1 n ?1 ? ……4 分,所以 ?n ? N , a n ? ……5 分 ? 1? ? n ?1 an 2 2

6

(2) (方法一) a n ?

2

2 2 4 4 4 ……6 分, ? ? ……7 分 ? 2 ? 2 2 n n?2 (n ? 1) n ? 2n ? 1 n ? 2 n

n ? 4 时,由以上不等式得

?a
i ?1

n

2 i

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )?( ? ) ……9 分 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2

?

2 2 2 2 ? ? ? ……10 分, ? 3 ……11 分 1 2 n ?1 n ? 2

因为 ?

?

n 2 2? ? ? n ? N 是递增数列,所以 , a n ? 3 ……12 分. a ? ? ? i i ?1 ? i ?1 ?

n

(方法二) a n ?

2

4 4 4 4 ……6 分, ? ? ……7 分 ? 2 n n ?1 n(n ? 1) (n ? 1)

n ? 2 时,由以上不等式得

?a
i ?1

n

2 i

n 4 4 4 4 4 4 2 ? 1 ? ? ai ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ……9 分 2 3 3 4 n n ?1 i ?2

? 1?

4 4 ? ……10 分, ? 3 ……11 分 2 n ?1
n

因为 ?

?

n 2 2? ? ? n ? N 是递增数列,所以 , a n ? 3 ……12 分. a ? ? i ? i ?1 ? i ?1 ?

20.解: (1)椭圆 ? 的焦距 2c1 ?| F1 F2 |? 2 ……1 分,长轴 2a1 ?| MF1 | ? | MF2 |? 椭圆 ? 的短轴 2b1 ? 2 3 ……5 分,所以椭圆 ? 的方程为 (2)设双曲线 ? 焦距为 2c ,依题意,

22 ?

9 3 ? ? 4 ……4 分 4 2

x2 y2 ? ? 1 ……6 分 4 3

c 2 | FN | 2 b2 ? ? 1 | FN | ? ……7 分, ……8 分 a a2 b2

(方法一) N (c ,

3 b2 ) ……9 分,直线 OM 的方程为 y ? x ……10 分 2 a

1 3 b2 3 c2 ? a2 3 ? ……12 分, e ? ? , 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ……13 ? c ……11 分,即 e 2 ac 2 a 2 1 分,解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ? 舍去)……14 分. 2
O 、 M 、 N 共线,所以
(方法二)依题意, ?OF2 M ~ ?OFN ……9 分,

| F2 M | | FN | ……10 分 ? | OF2 | | OF |

1 3 3 b2 c2 ? a2 3 ? ……12 分, e ? ? , 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ……13 分,解得双曲线 ? 的 ? ……11 分,即 e 2 ac 2 2 ac 1 离心率 e ? 2 ( e ? ? 舍去)……14 分. 2
所以

7

21.解: (1) f ( x) ? 2 x ? a(1 ?
/

1 ) ……1 分,直线 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 的斜率 k ? 2(a ? 1) ……2 分,由 x

1 2 x ? a(1 ? ) ? 2(a ? 1) ,取 x ? 1 ……3 分 x

f / (1) ? 2a ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 的切线为 y ? f (1) ? (2a ? 2)(x ? 1) ,即 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) ,所 以 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线……4 分
(2)直接计算知

f (e) ? f (1) a ……5 分 ? e ?1? a ? e ?1 e ?1 f (e) ? f (1) a a ……6 分 ? 2 x ? (e ? 1) ? ? e ?1 x e ?1

设函数 g ( x) ? f / ( x) ?

g (1) ? 1 ? e ? a ?

a a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 a a e(e ? 1) 2 ? a ……7 分, g (e) ? e ? 1 ? ? ……8 分 ? ? e ?1 e ?1 e e ?1 e(e ? 1)

当 a ? e(e ? 1) 2 或 a ?

(e ? 1) 2 [a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ][a ? e(e ? 1) 2 ] ? 0 ……10 分, 时, g (1) g (e) ? ? e?2 e(e ? 1) 2

因为 y ? g ( x) 的图象是一条连续不断的曲线, 所以存在 ? ? (1 , e) ,使 g (? ) ? 0 ,即 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?

f (e) ? f (1) ……11 分; e ?1



(e ? 1) 2 ? a ? e(e ? 1) 2 时, g (1) 、 g (e) ? 0 ,而且 g (1) 、 g (e) 之中至少一个为正……12 分, e?2
a ? e2 ?1 ,等号当且仅当 x ? e ?1

由均值不等式知, g ( x) ? 2 2a ?

a ? (1 , e) 时成立, 2

所以 g ( x) 有最小值 m ? 2 2a ?

a ? e 2 ? 1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) , ? e ?1 e ?1

? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? [ a ? 2 (e ? 1)]2 ? (e ? 1)(e ? 3) 且m ? ? ? 0 ……13 分, e ?1 e ?1
此时存在 ? ? (1 , e) ( ? ? (1 ,

a a ,使 g (? ) ? 0 。 ) 或? ? ( , e) ) 2 2
f (e) ? f (1) ……14 分. e ?1

综上所述, ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?

8


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