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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 三角恒等变换与解三角形训练试题 文

时间:2014-09-08


常考问题 6 三角恒等变换与解三角形

(建议用时:50 分钟) 1.(2013· 济宁二模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=1,B=45° , S△ABC=2,则 b 等于________. 1 1 解析 ∵S= acsinB=2,∴ ×1×c×sin 45° =2. 2 2 ∴c=4 2. ∴b2=a2+c2-2acco

s B=1+32-2×1×4 2×cos 45° . ∴b2=25,b=5. 答案 5 2.(2013· 北京东城区期末)在△ABC 中,A,B,C 为内角,且 sin Acos A= sin Bcos B,则△ABC 是________三角形. 解析 由 sin Acos A=sin Bcos B 得 sin 2A=sin 2B=sin(π-2B),所以 2A=2B 或 2A=π π -2B,即 A=B 或 A+B= ,所以△ABC 为等腰或直角三角形. 2 答案 等腰或直角 3.(2013· 浙江卷改编)已知 α∈R,sin α+2cos α= 解析 ∵sin α+2cos α= 10 , 2 10 ,则 tan 2α 等于________. 2

5 ∴sin2α+4sin α· cos α+4cos2α= . 2 化简,得 4sin 2α=-3cos 2α, sin 2α 3 ∴tan 2α= =- . cos 2α 4 3 答案 - 4 4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等 于________. 解析 先用正弦定理求出角 B 的余弦值,再求解. 由 b c = ,且 8b=5c,C=2B, sin B sin C

4 所以 5csin 2B=8csin B,所以 cos B= . 5 7 所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1= . 25
1

答案

7 25

4 5 5.已知 tan β= ,sin(α+β)= ,其中 α,β∈(0,π),则 sin α 的值为________. 3 13 4 3 5 π 解析 依题意得 sin β= ,cos β= ;注意到 sin(α+β)= <sin β,因此有 α+β> (否则, 5 5 13 2 π π 若 α+β≤ ,则有 0<β<α+β≤ ,0<sin β<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sin β”矛盾),则 2 2 12 cos(α+β)=- ,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)· 13 63 cos β-cos(α+β)sin β= . 65 答案 63 65

6.(2013· 衡水调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 a2-c2=2b, 且 sin Acos C=3cos Asin A,求 b=______. a2+b2-c2 解析 在△ABC 中, sin Acos C=3cos Asin C, 则由正弦定理及余弦定理有 a· = 2ab b2+c2-a2 3· · c,化简并整理得 2(a2-c2)=b2.又由已知 a2-c2=2b,则 4b=b2,解得 b=4 2bc 或 b=0(舍). 答案 4 π? 3 1 ? β? ?α ? 7.若 α,β∈? ?0,2?,cos ?α-2?= 2 ,sin ?2-β?=-2,则 cos (α+β)=________. π? π β π π α π 3 ? β? ?α ? 解析 ∵α,β∈? ?0,2?,∴-4<α-2<2,-2<2-β<4,由 cos ?α-2?= 2 和 sin ?2-β? π? 1 β π α π β π α π =- 得 α- =± , -β=- , 当 α- =- , -β=- 时, α+β=0, 与 α, β∈? ?0,2? 2 2 6 2 6 2 6 2 6 β π α π π 1 矛盾;当 α- = , -β=- 时,α=β= ,此时 cos (α+β)=- . 2 6 2 6 3 2 1 答案 - 2 8.(2013· 苏北四市模拟)在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高线,AD=BC,角 A,B,C 的对边 b c 为 a,b,c,则 + 的取值范围是________. c b 1 1 解析 因为 AD=BC=a,由 a2= bcsin A, 2 2 b2+c2-a2 1?b c a2 ? a2 解得 sin A= ,再由余弦定理得 cos A= = ?c+b-bc?= bc 2bc 2 1?b c + -sin A?, ? 2?c b

2

b c 得 + =2cos A+sin A,又 A∈(0,π), c b b c 所以由基本不等式和辅助角公式得 + 的取值范围是[2, 5]. c b 答案 [2, 5]

9. (2010· 江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m).如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角 ∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已测得一组 α,β 的值,算出了 tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α -β 最大? 解 得 H h H (1)由 AB= , BD= , AD= 及 AB+BD=AD, tan α tan β tan β H h H + = , tan α tan β tan β

4×1.24 htan α 解得 H= = =124. tan α-tan β 1.24-1.20 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. H (2)由题设知 d=AB,得 tan α= . d 由 AB = AD - BD = H-h tan α-tan β H h - ,得 tan β = ,所以 tan(α - β) = = tan β tan β d 1+tan α tan β

H?H-h? h h ≤ , 当且仅当 d= , 即 d= H?H-h?= 125×?125-4?= d ?H-h? 2 H?H-h? d+H d 55 5时,上式取等号,所以当 d=55 5时,tan(α-β)最大. π π 因为 0<β<α< ,则 0<α-β< ,所以当 d=55 5时,α-β 最大. 2 2 故所求的 d 是 55 5m. → → → → 10.(2012· 江苏卷)在△ABC 中,已知AB· AC=3BA· BC. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

→ → → → (1)证明 因为AB· AC=3BA· BC,所以 AB· AC· cos A=3BA· BC· cos B, AC BC 即 AC· cos A=3BC· cos B,由正弦定理知 = , sin B sin A
3

从而 sin Bcos A=3sin Acos B, 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A. (2)解 因为 cos C= 5 2 5 ,0<C<π,所以 sin C= 1-cos2C= , 5 5

从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, tan A+tan B 4tan A 1 亦即 =-2,由(1)得 =-2,解得 tan A=1 或- , 3 1-tan Atan B 1-3tan2A π 因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A= . 4 11.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C +csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理,得

sin A=sin Bcos C+sin Csin B,① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理,得 4=a2+c2-2accos . 4 4 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ , 2- 2 当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

4


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