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指数函数和对数函数竞赛培训题

时间:2016-08-18


常德市六中高一数学竞赛培训资料 ——函数与方程(2)

基础知识:指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论
在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指 数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义 重大。 一、 指数概念与对数概念: 指数的概念是由乘方概

念推广而来的。相同因数相乘 a·a……a(n 个)=an 导出乘方,这里 的 n 为正整数。从初中开始,首先将 n 推广为全体整数;然后把乘方、开方统一起来,推广 为有理指数;最后,在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出:“对数源出于指数”。一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 ab=N, 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN=b ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 ab=N 与 b=logaN 是一对等价的式子,这里 a 是给定的不等于 1 的正常数。当给出 b 求 N 时,是指数运算,当给出 N 求 b 时,是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1.指数运算性质主要有 3 条: ax· ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax· bx(a>0,a≠1,b>0,b≠1) 2.对数运算法则(性质)也有 3 条: (1)loga(MN)=logaM+logaN (2)logaM/N=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 3.指数运算与对数运算的关系: X=alogax;mlogan=nlogam 4.负数和零没有对数;1 的对数是零,即 loga1=0;底的对数是 1,即 logaa=1 5.对数换底公式及其推论:

1

换底公式:logaN=logbN/logba 推论 1:logamNn=(n/m)logaN

推论 2: 三、指数函数与对数函数 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是: (1)定义域为全体实数(-∞,+∞) (2)值域为正实数(0,+∞) ,从而函数没有最大值与最小值,有下界,y>0 (3)对应关系为一一映射,从而存在反函数--对数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时为增函数;当 0<a<1 时,为减函数。 (5)无奇偶性,是非奇非偶函数,但 y=ax 与 y=a-x 的图象关于 y 轴对称,y=ax 与 y=-ax 的图象关于 x 轴对称;y=ax 与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称。 (6)有两个特殊点:零点(0,1) ,不变点(1,a) (7)抽象性质:f(x)=ax(a>0,a≠1), f(x+y)=f(x)· f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,它的基本情况是: (1)定义域为正实数(0,+∞) (2)值域为全体实数(-∞,+∞) (3)对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时是增函数,当 0<a<1 时是减函数。 (5)无奇偶性。但 y=logax 与 y=log(1/a)x 关于 x 轴对称,y=logax 与 y=loga(-x)图象关 于 y 轴对称,y=logax 与 y=ax 图象关于直线 y=x 对称。 (6)有特殊点(1,0),(a,1) (7)抽象运算性质 f(x)=logax(a>0,a≠1), f(x· y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y)

例题:
1. 化简:

2

(1)

; (2)

;

(3)

.

2. 若

,求

.

3. 计算

.

4. 试比较



的大小.

3

5. 已知函数 f(x)=logax (a>0,a≠1,x∈R )若 x1,x2∈R ,试比较

+

+



的大小.

6. 已知 y1= (1)y1=y2 ;

,y2= (2)y1>y2

,当 x 为何值时, ; (3)y1<y2.

7. 对于自然数 a,b,c (a≤b≤c) 和实数 x,y,z,w 若 a =b =c =70 (1) 求证:a+b=c.

x

y

z

w

(2)

8. 已知 A=6lgp+lgq,其中 p,q 为素数,且满足 q-p=29,求证:3<A<4.

4

9. 设 f(x)=logax (a>0,a≠1)且

(θ 为锐角),求证:1<a<15.

10. 已知 0<a<1,x2+y=0,求证:

.

11.a、b 分别是方程 log2x+x-3=0 和 2x+x-3=0 的根,求 a+b 及 log2a+2b 的值。

12. 设 f(x)=min(3+

,log2x),其中 min(p,q)表示 p、q 中的较小者,求 f(x)的最大值。

13. 函数

的最小值。

5

14. 解方程: x+log2(2x-31)=5



15.设 a>0 且 a≠1,求证:方程 ax+a-x=2a 的根不在区间[-1,1]内。

16.解方程:lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数 x 的最大整数)。

17. 当 a 为何值时,不等式

有且只有一解。

18.已知函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a>0,a≠1),

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并给以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 取值范围; (4)求它的反函数 f-1(x)。

6


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