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必修2


必修 2 第三章 直线与方程
1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点: ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.

ⅰ.与 x 轴相交; ② ③ ④

直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 0 . 倾斜角 ? 的范围 00 ? ? ? 1800 .
0? ? ? ? 90?,

k ? 0 ; 90? ? ? ? 180?, k ? 0

(2)直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值, 而倾斜角为 90 0 的直线斜率不存在。 ②经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式是 k ? ( x1 ? x2 ) ③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k2 ,则有 l1 / /l2 ? k1 ? k2 。 特别地,当直线 l1 , l2 的斜率都不存在时, l1与l2 的关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1 , l2 斜率存在,设为 k1 , k2 ,则 l1 ? l2 ? k1 k2 ? ?1 注:两条直线 l1 , l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直 线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一 定为-1。如果 l1 , l2 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时,l1与l2 互相垂直。
y2 ? y1 x2 ? x1

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 点斜式 方程的形式
y ? y1 ? k ( x ? x1 )

已知条件

局限性

( x1 , y1 ) 为直线上一定点, 不包括垂直于 x 轴
k 为斜率

的直线

斜截式

y ? kx ? b

k 为斜率, b 是直线在 y 不包括垂直于 x 轴

轴上的截距 两点式
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

的直线

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 是 直 线 上 不包括垂直于 x 轴

两定点

和 y 轴的直线

(其中x1 ? x2 , y1 ? y2 )

截距式

x y ? ?1 a b

a 是直线在 x 轴上的非零 不包括垂直于 x 轴
截距, b 是直线在 y 轴上 和 y 轴或过原点的 的非零截距 直线 无限制,可表示任 何位置的直线

一般式

Ax ? By ? C ? 0

A , B , C 为系数

(其中A, B不同时为 0)

注:过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线是否一定可用两点式方程表示?(不一 定。 (1)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线垂直于 x 轴,方程为 x ? x1 ; (2)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线垂直于 y 轴,方程为 y ? y1 ; (3)(3)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线方程可用两点式表示) 2、线段的中点坐标公式 若两点 P 1, P 2 的 中 点 M 的 坐 标 为 ( x, y ) , 则 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) , 且 线 段 P
x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?

3. 过定点的直线系 ①斜率为 k 且过定点 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ;

②过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程 为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( ? 为参数) ,其中直线 l2 不在直线系中. 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 两条直线的

? A x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标就是方程组 ? 1 的解, ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标; 若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1)两点间的距离
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 平面上的两点 P 1P 2 ? 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 P

特别地,原点 O(0,0) 与任一点 P ( x, y ) 的距离 OP ? x 2 ? y 2 (2)点到直线的距离 点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? (3)两条平行线间的距离 两条平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离 d ? (注意: ① ② 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; 求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

C2 ? C1 A2 ? B 2

后,才能套用公式计算。 )

补充: 1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角

(2).已知斜率 k 的范围,求倾斜角 ? 的范围时,若 k 为正数,则 ? 的范

? ? 围为 (0, ) 的子集,且 k=tan ? 为增函数;若 k 为负数,则 ? 的范围为 ( , ? ) 的 2 2
子集,且 k=tan ? 为增函数。若 k 的范围有正有负,则可所范围按大于等于 0 或 小于 0 分为两部分,针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 2、利用斜率证明三点共线的方法: 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), 若 x1 ? x2 ? x3或k AB ? k AC ,则有 A、B、C 三点 共线。 注:斜率变化分成两段,90 0 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。 3. 两条直线位置关系的判定: 已知 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则: (1) l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 (2) l1 // l2 ? A1B2 - A2 B1 ? 0, A1C2 ? A2C1 ? 0; (3) l1与l2重合 ? A1B2 - A2 B1 ? 0, A1C2 ? A2C1 ? 0; (4) l1 与 l2 相交 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 如果 A2 B2C2 ? 0 时,则: A A (1) l1 ? l2 ? 1 ? 2 ? ?1 B1 B2 A B C (2) l1 // l2 ? 1 ? 1 ? 1 ( A2 , B2 , C2不为0) ; A2 B2 C2 A B C (3) l1 与 l2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 ( A2 , B2 , C2不为0) A2 B2 C2 A B (4) l1 与 l2 相交 ? 1 ? 1 ( A2 , B2不为0) A2 B2

4. 有关对称问题 常见的对称问题: (1)中心对称 ① 若 点 M ( x1 , y1 ) 及 N ( x2 , y2 ) 关 于 P(a, b) 对 称 , 则 由 中 点 坐 标 公 式 得

? x ? 2a ? x1 ? ? y ? 2b ? y1
②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标 公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出 一个对称点,再利用 l1 // l2 ,由点斜式得到所求直线方程。 (2)轴对称 ①点关于直线的对称 若两点 P 1P 2的 1 ( x1 , y1 ) 与 P 2 ( x2 , y2 ) 关于直线 l : Ax ? By ? C ? 0 对称,则线段 P 中点在对称轴 l 上,而且连接 P 1P 2 的直线垂直于对称轴 l 上,由方程组

y ? y2 ? x1 ? x2 A( ) ? B( 1 )?C ? 0 ? ?x ? 2 2 ? ?? 2 ?y ? y ? y2 ? ? 2 1 ? (? A ) ? ?1 ? B ? x2 ? x1
可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标 ( x2 , y2 ) (其中 A ? 0, x1 ? x2 ) ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线 与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行。 注:①曲线、直线关于一直线 y ? ? x ? b 对称的解法: y 换 x , x 换 y . 例: 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x ? 2 对称曲线方程是 f ( y ? 2, x ? 2) ? 0 ②曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线方程是 f (2a ? x,2b ? y) ? 0 5. 两条直线的交角 ①直线 l 1 到 l 2 的角(方向角) ;直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针 方 向 旋 转 到 与 l 2 重 合 时 所 转 动 的 角 ? , 它 的 范 围 是 (0, ? ) , 当 ? ? 90? 时

tan ? ?

k 2 ?k 1 1 ? k 1k 2

.

②两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角: 两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角, 是指由 l 1 与 l 2 相
? ?? 交所成的四个角中最小的正角 ? , 又称为 l 1 和 l 2 所成的角, 它的取值范围是 ? ? 0, ? , ? 2?

当 ? ? 90? ,则有 tan? ?

k 2 ?k 1 1 ? k 1k 2

.

6. 直线 l 上一动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题” : (1) 在直线 l 上求一点 P,使 PA ? PB 取得最小值, ① 若点 A、B 位于直线 l 的同侧时,作点 A (或点 B )关于 l 的对称点 A/ 或

/ / . B / , 连接A B(或AB )交l于P,则点P即为所求点

② 若点 A、B 位于直线的异侧时,连接 AB 交于 l 点 P ,则 P 为所求点。 可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时,作其中一个点的对称 点;两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可. (2)在直线 l 上求一点 P 使 PA ? PB 取得最大值, 方法与(1)恰好相反,即“异侧对称同侧连” ① 若点 A、B 位于直线 l 的同侧时,连接 AB 交于 l 点 P ,则 P 为所求点。 ② 若点 A、B 位于直线的异侧时, 作点 A (或点 B ) 关于 l 的对称点 A/ 或 B / ,

连接A/ B(或AB/ )交l于P,则点P即为所求点 .
(3) PA ? PB 的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴” 。 7. 直线过定点问题: ① 含有一个未知参数,
y ? (a ? 1) x ? 2a ? 1 ? y ? a( x ? 2) ? x ? 1
2 2

(1)

令 x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 , 将 x ? ?2代入(1)式,得y ? 3 ,从而该直线过定点 (?2,3) ② 含有两个未知参数
? m(3x ? y) ? n(? x ? 2 y ? 1) ? 0

(3m ? n) x ? (m ? 2n) y ? n ? 0

?3x ? y ? 0 令 ? ?? x ? 2 y ? 1

1 ? x?? ? ? 7 ?? ?y ? 3 ? 7 ?

1 3 从而该直线必过定点 ( ? , ) 7 7

8. 点到几种特殊直线的距离 (1)点 P( x0 , y0 ) 到 x 轴的距离 d ?| y0 | 。 (2)点 P( x0 , y0 ) 到 y 轴的距离 d ?| x0 | . (3)点 P( x0 , y0 ) 到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d ?| y0 ? a | 。 (4)点 P( x0 , y0 ) 到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d ?| x0 ? a | . 9. 与已知直线平行的直线系有: (1)平行于直线 Ax ? By ? C ? 0的直线可表示为 Ax ? By ? C / ? 0(C / ? C) (2)平行于直线 y ? kx ? b的所有直线为 y ? kx ? b/ (b/ ? b) 10. 易错辨析: (1) 讨论斜率的存在性: 解题过程中用到斜率,一定要分类讨论: ① 斜率不存在时,是否满足题意; ② 斜率存在时,斜率会有怎样关系。 (2)注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解; (求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。 ) (3) 直线到两定点距离相等,有两种情况: ① 直线与两定点所在直线平行; ② 直线过两定点的中点。 (求解过某一定点的直线方程时,较为常见。 ) (4)过点 A( x0 , y0 ) ,平行于 x 轴的直线方程为 y ? y0 过点 A( x0 , y0 ) ,平行于 y 轴的直线方程为 x ? x0


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