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2013年全国高中数学联合竞赛试题(一试+加试)(word版,含扫描版答案)


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分 1.设集合 A={2,0,1,3} ,集合 B= {x | ? x ? A , 2 ? x ? A} .则集合 B 中所有元素的和
2

为 ___________
2 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 在抛物线 y

? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?4 ,F 是抛

物线的焦点.则 S ?OFA ? S ?OFB =___________ 3. 在 △ ABC 中 , 已 知 sin A ? 10 sin B sin C , cos A ? 10 cos B cosC , 则 t anA 的 值 为 ____________ 4.已知正三棱锥 P—ABC 底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为___________ 5.设 a , b 为实数,函数 f ( x) ? ax ? b 满足:对任意 x ?[0,1],有 | f ( x) |? 1 .则 ab 的 最大值为___________ 6.从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为___________ 7.若实数 x y ,满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是___________ 8.已知数列 {a n } 共有 9 项,其中 a1 ? a9 ? 1 ,且对每个 i ? {1,2,…,8} ,均有

ai ?1 1 ? {2,1,? } ,则这样的数列的个数为__________ ai 2
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9. (本题满分 16 分)给定正数数列 { x n } 满足 S n ? 2 S n ?1 ,n =2,3,…,这里 S n ? x1 ? …

? x n .证明:存在常数 C ? 0 ,使得 x n ? C ? 2 n , n =1,2,…
10. (本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

A1 、 A2 分别为椭圆的左、右焦点, F1 、 F2 分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上不同于 A1
和 A2 的任意一点.若平面中两个点 Q、R 满足 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 ,

RF2 ? PF2 ,试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明.
11.(本题满分 20 分)设函数 f ( x) ? ax ? b ,求所有的正实数对 (a, b) ,使得对任意实数
2

x , y ,有 f ( xy) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) .

2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题

一、 (本题满分 40 分)如图,AB 是圆ω 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E、F 为线段 AB 上两 点,满足 AE=EF=FB.连接 PE、PF 并延长,与圆ω 分别相交于点 C、D.求证:EF·CD=AC·BD. (解题时请将图画在答卷纸上)

P

A E

F

B

D C

二、 (本题满分 40 分)给定正整数 u , v .数列 {a n } 定义如下: a1 ? u ? v ,对整数 m ? 1 ,

?a 2 m ? a m ? u ? ?a 2 m ?1 ? a m ? v
记 S m ? a1 ? a 2 ? … ? a m (m ? 1,2, …) .证明:数列 {S n } 中有无穷多项是完全平方数. 三、 (本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题, n 个学生参加,其中 m , n ? 2 为给定的 整数. 每道题的得分规则是: 若该题恰有 x 个学生没有答对, 则每个答对该题的学生得 x 分, 未答对的学生得零分.每个学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低 排列为 p1 ? p2 ? … ? p n ,求 p1 ? p n 的最大可能值. 四、 (本题满分 50 分)设 n , k 为大于 1 的整数, n ? 2 .证明:存在 2k 个不被 n 整除的
k

整数,若将它们任意分成两组,则总有若干个数的和被 n 整除.


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